二次函数与最值问题

二次函数与最值问题二次函数与最值问题 题型一 题型一 1 如图所示 已知点 A 1 0 B 3 0 C 0 t 且 t 0 tan BAC 3 抛物线经过 A B C 三点 点 P 2 m 是抛物线与直线的一个交点 1 xkyl 1 求抛物线的解析式 2 对于动点 Q 1 n 求 PQ QB 的最小值 3 若动点 M 在直线 上方的抛物线上运动 求 AMP 的边 AP 上的高 h 的最大值 l 2 如图 已知点A 4 8 和点B 2 n 在抛物线 2 yax 上 1 求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标 并在x轴上找一点Q 使得AQ QB最短 求出点Q的坐 标 2 平移抛物线 2 yax 记平移后点A的对应点为A 点B的对应点为B 点C 2 0 和点D 4 0 是x轴上的两个定点 当抛物线向左平移到某个位置时 A C CB 最短 求此时抛物线的函数解析式 当抛物线向左或向右平移时 是否存在某个位置 使四边形A B CD的周长最短 若存在 求出此 时抛物线的函数解析式 若不存在 请说明理由 4x2 2 A 8 2O 2 4 y 6 B C D 4 4 3 如图 9 在矩形中 已知 两点的坐标分别为 为的中点 设点OABCAC 4 0 0 2 AC DOA 是平分线上的一个动点 不与点重合 PAOC O 1 试证明 无论点运动到何处 总与相等 PPCPD 2 当点运动到与点的距离最小时 试确定过三点的抛物线的解析式 PBOPD 3 设点是 2 中所确定抛物线的顶点 当点运动到何处时 的周长最小 求出此时点EPPDE 的坐标和的周长 PPDE 4 设点是矩形的对称中心 是否存在点 使 若存在 请直接写出点的NOABCP90CPN P 坐标 4 如图 17 某公路隧道横截面为抛物线 其最大高度为 6 米 底部宽度 OM 为 12 米 现以O点为原点 OM所在直线为x轴建立直角坐标系 1 直接写出点M及抛物线顶点P的坐标 2 求这条抛物线的解析式 3 若要搭建一个矩形 支撑架 AD DC CB 使C D点在抛物线上 A B点在地面OM上 则这个 支 撑架 总长的最大值是多少 y O x P D B 4 0 A 0 2 C 图 9 5 如图 抛物线与 x 轴交 A B 两点 A 点在 B 点左侧 直线 与抛物线交于 A C 两点 其中 C 点的横坐标为 2 1 求 A B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式 2 P 是线段 AC 上的一个动点 过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点 求线段 PE 长度的最大值 3 点 G 抛物线上的动点 在 x 轴上是否存在点 F 使 A C F G 这样的四个点为顶点的四边形是平行 四边形 如果存在 求出所有满足条件的 F 点坐标 如果不存在 请说明理由 6 已知抛物线 y x2 2n 1 x n2 1 n 为常数 1 当该抛物线经过坐标原点 并且顶点在第四象限时 求出它所对应的函数关系式 2 设 A 是 1 所确定的抛物线上位于 x 轴下方 且在对称轴左侧的一个动点 过 A 作 x 轴的平行线 交 抛物线于另一点 D 再作 AB x 轴于 B DC x 轴于 C 当 BC 1 时 求矩形 ABCD 的周长 试问矩形 ABCD 的周长是否存在最大值 如果存在 请求出这个最大值 并指出此时 A 点的坐标 如 果不存在 请说明理由 7 如图 在平面直角坐标系中 直线与轴交于点 与轴交于点 抛物线33yx xAyC 经过三点 2 2 3 0 3 yaxxc a ABC 1 求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标 ABC F 2 在抛物线上是否存在点 使为直角三角形 若存在 直接写出点坐标 若不存在 请PABP P 说明理由 3 在抛物线上是否存在点 使 BC 为直角边 为直角三角形 若存在 直接写出点坐标 PBCP P 若不存在 请说明理由 4 试探究在直线上是否存在一点 使得的周长最小 若存在 求出点的坐标 若ACMMBF M 不存在 请说明理由 9 如图 直线与 x 轴 y 轴分别交于 B C 两点 抛物线经过点 B 和点 C 3 xycbxxy 2 点 A 是抛物线与 x 轴的另一个交点 1 求抛物线的解析式和顶点坐标 2 若点 Q 在抛物线的对称轴上 能使 QAC的周长最小 请求出 Q 点的坐标 3 在直线 BC 上是否存在一点 P 且 若存在 求 P 点的坐标 若不存在 请说明理31 PABPAC SS 由 A O x y B F C 图 16 10 已知抛物线 y x2 2n 1 x n2 1 n 为常数 1 当该抛物线经过坐标原点 并且顶点在第四象限时 求出它所对应的函数关系式 2 设 A 是 1 所确定的抛物线上位于 x 轴下方 且在对称轴左侧的一个动点 过 A 作 x 轴的平行线 交 抛物线于另一点 D 再作 AB x 轴于 B DC x 轴于 C 当 BC 1 时 求矩形 ABCD 的周长 试问矩形 ABCD 的周长是否存在最大值 如果存在 请求出这个最大值 并指出此时 A 点的坐标 如 果不存在 请说明理由 11 如图 在直角坐标系中 点A的坐标为 2 0 连结OA 将线段OA绕原点O顺时针旋转 120 得到线段OB 1 求点B的坐标 2 求经过A O B三点的抛物线的解析式 3 在 2 中抛物线的对称轴上是否存在点C 使 BOC的周长最小 若存在 求出点C的坐标 若不 存在 请说明理由 4 如果点P是 2 中的抛物线上的动点 且在x轴的下方 那么 PAB是否有最大面积 若有 求出 此时P点的坐标及 PAB的最大面积 若没有 请说明理由 B AO y x x y O x 1 A C B 1212 已知抛物线y ax2 bx c经过A 4 3 B 2 0 两点 当x 3 和x 3 时 这条抛物线上对 应点的纵坐标相等 经过点C 0 2 的直线l与 x轴平行 O为坐标原点 1 求直线AB和这条抛物线的解析式 2 设直线AB上的点D的横坐标为 1 P m n 是抛物线y ax2 bx c上的动点 当 PDO的周长 最小时 求四边形CODP的面积 1 y x O 1 2 3 4 2 4 3 3 1 2 3 4412 14 已知抛物线 2 1yaxbx 经过点 A 1 3 和点 B 2 1 1 求此抛物线解析式 2 点 C D 分别是x轴和y轴上的动点 求四边形 ABCD 周长的最小值 3 过点 B 作x轴的垂线 垂足为 E 点 点 P 从抛物线的顶点出发 先沿抛物线的对称轴到达 F 点 再 沿 FE 到达 E 点 若 P 点在对称轴上的运动速度是它在直线 FE 上运动速度的2倍 试确定点 F 的位置 使 得点 P 按照上述要求到达 E 点所用的时间最短 要求 简述确定 F 点位置的方法 但不要求证明 15 如图 已知抛物线y ax2 bx c a 0 的对称轴为x 1 且抛物线经过A 1 0 B 0 3 两点 与x轴交于另一点B 1 求这条抛物线所对应的函数关系式 2 在抛物线的对称轴x 1 上求一点M 使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小 并求出此时点 M的坐标 3 设点P为抛物线的对称轴x 1 上的一动点 求使 PCB 90 的点P的坐标 x y 12 36 O 题型二 1 如图 1 中 点在线段上运动 点 分别在线段 Rt ABC 90A 3 tan 4 B PABQRBC 上 且使得四边形是矩形 设的长为 矩形的面积为 已知是的函数 ACAPQRAPxAPQRyyx 其图象是过点 12 36 的抛物线的一部分 如图 2 所示 1 求的长 AB 2 当为何值时 矩形的面积最大 并求出最大值 APAPQR 为了解决这个问题 孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论 张明 图 2 中的抛物线过点 12 36 在图 1 中表示什么呢 李明 因为抛物线上的点是表示图 1 中的长与矩形面积的对应关系 那么 12 36 x yAPAPQR 表示当时 的长与矩形面积的对应关系 12AP APAPQR 赵明 对 我知道纵坐标 36 是什么意思了 孔明 哦 这样就可以算出 这个问题就可以解决了 AB 请根据上述对话 帮他们解答这个问题 2 2 如图 11 在梯形 ABCD 中 AB 2 DC 10 AD BC 5 点 M N 分别在边 AD BC 上运动 并 ABCD 保持 垂足分别为 E F MNABMEDC NFDC 1 求梯形 ABCD 的面积 2 探究一 四边形 MNFE 的面积有无最大值 若有 请求出这个最大值 若无 请说明理由 探究二 四边形 MNFE 能否为正方形 若能 请求出正方形的面积 若不能 请说明理由 R Q P C BA 3 如图 抛物线cbxxy 2 与 x 轴交与 A 1 0 B 3 0 两点 1 求该抛物线的解析式 3 在 1 中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P 使 PBC的面积最大 若存在 求出点 P 的 坐标及 PBC的面积最大值 若没有 请说明理由 4 如图 14 1 抛物线 2 2yxxk 与x轴交于A B两点 与y轴交于点C 0 3 图 14 2 图 14 3 为解答备用图 1 k 点A的坐标为 点B的坐标为 2 设抛物线 2 2yxxk 的顶点为M 求四边形ABMC的面积 3 在x轴下方的抛物线上是否存在一点D 使四边形ABDC的面积最大 若存在 请求出点D的坐标 若不存在 请说明理由 4 在抛物线 2 2yxxk 上求点Q 使 BCQ是以BC为直角边的直角三角形 图 14 1 图 14 2 图 14 3 第 26 题图 A B C 5 已知一元二次方程的一根为 2 2 10 xpxq 1 求关于的关系式 qp 2 求证 抛物线与轴有两个交点 2 yxpxq x 3 设抛物线的顶点为 M 且与 x 轴相交于A 0 B 0 两点 求使 AMB 2 yxpxq 1 x 2 x 面积最小时的抛物线的解析式 6 如图 已知抛物线3 2 bxaxy a 0 与x轴交于点A 1 0 和点B 3 0 与y轴交于 点C 1 求抛物线的解析式 2 设抛物线的对称轴与x轴交于点M 问在对称轴上是否存在点P 使 CMP为等腰三角形 若存在 请直接写出所有符合条件的点P的坐标 若不存在 请说明理由 3 如图 若点E为第二象限抛物线上一动点 连接BE CE 求四边形BOCE面积的最大值 并求此 时E点的坐标 7 如图 在直角坐标系中 点A的坐标为 2 0 连结OA 将线段OA绕原点O顺时针旋转 120 得到线段OB 1 求点B的坐标 2 求经过A O B三点的抛物线的解析式 3 在 2 中抛物线的对称轴上是否存在点C 使 BOC的周长最小 若存在 求出点C的坐标 若不 存在 请说明理由 4 如果点P是 2 中的抛物线上的动点 且在x轴的下方 那么 PAB是否有最大面积 若有 求出 此时P点的坐标及 PAB的最大面积 若没有 请说明理由 8 8 如图 已知抛物线经过点 1 5 和 2 4 1 求这条抛物线的解析式 2 设此抛物线与直线相交于点A B 点B在点A的右侧 平行于轴的直线 与抛物线交于点M 与直线交于点N 交轴于点P 求线段MN的长 用含 的代数式表示 3 在条件 2 的情况下 连接OM BM 是否存在的值 使 BOM的面积S最大 若存在 请求出 的值 若不存在 请说明理由 B AO y x 9 9 已知 如图 抛物线与 y 轴交于点 C 0 4 与 x 轴交于点 A B 点 A 的 坐标为 4 0 1 求该抛物线的解析式 2 点 Q 是线段 AB 上的动点 过点 Q 作 QE AC 交 BC 于点 E 连接 CQ 当 CQE 的面积最大时 求点 Q 的坐标 3 若平行于 x 轴的动直线 与该抛物线交于点 P 与直线 AC 交于点 F 点 D 的坐标为 2 0 问 是 否存在这样的直线 使得 ODF 是等腰三角形 若存在 请求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 10 如图 1 已知直线与抛物交于两点 1 2 yx 2 1 6 4 yx AB 1 求两点的坐标 AB 2 如图 2 取与线段等长的一根橡皮筋 端点分别固定在两处 用铅笔拉着这根橡皮筋使ABAB y xO y xO P A 图 2图 1 B B A 笔尖在直线上方的抛物线上移动 动点将与构成无数个三角形 这些三角形中是否存在PABPAB 一个面积最大的三角形 如果存在 求出最大面积 并指出此时点的坐标 如果不存在 请简要说明P 理由 11 如图 10 在平面直角坐标系中 二次函数的图象的顶点为 D 点 与 y 轴交 0 2 acbxaxy 于 C 点 与x轴交于 A B 两点 A 点在原点的左侧 B 点的坐标为 3 0 OB OC tan ACO 3 1 1 求这个二次函数的表达式 2 经过 C D 两点的直线 与x轴交于点 E 在该抛物线上是否存在这样的点 F 使以点 A C E F 为顶点的四边形为平行四边形 若存在 请求出点 F 的坐标 若不存在 请说明理由 3 如图 11 若点 G 2 y 是该抛物线上一点 点 P 是直线 AG 下方的抛物线上一动点 当点 P 运动 到什么位置时 APG 的面积最大 求出此时 P 点的坐标和 APG 的最大面积 14 如图 11 已知二次函数的图像经过三点 A B C 它的顶点为 y x O E D C B A 图 10 G A B C D O x y 图 11 M 又正比例函数的图像于二次函数相交于两点 D E 且 P 是线段 DE 的中点 求该二次函数的解析式 并求函数顶点 M 的坐标 已知点 E 且二次函数的函数值大于正比例函数时 试根据函数图像求出符合条件的自变量的 取值范围 当时 求四边形 PCMB 的面积的最小值 1515 如图 已知抛物线经过点 1 5 和 2 4 1 求这条抛物线的解析式 2 设此抛物线与直线相交于点A B 点B在点A的右侧 平行于轴的直线 与抛物线交于点M 与直线交于点N 交轴于点P 求线段MN的长 用含 的代数式表示 3 在条件 2 的情况下 连接OM BM 是否存在的值 使 BOM的面积S最大 若存在 请求出 的值 若不存在 请说明理由 1616 如图 已知抛物线cbxxy 2 2 1 与y轴相交于 C 与x轴相交于 A B 点 A 的坐标为 2 0 点 C 的坐标为 0 1 1 求抛物线的解析式 2 点 E 是线段 AC 上一动点 过点 E 作 DE x 轴于点 D 连结 DC 当 DCE 的面积最大时 求点 D