数学建模第三次作业

院 系 数学学院 专 业 信息与计算科学 年 级 2014 级 学生姓名 王继禹 学 号 201401050335 教师姓名 徐霞 6 6 习题习题 3 一个慢跑者在平面上沿着他喜欢的路径跑步 突然一只狗攻击他 这只狗以恒定速率跑 向慢跑者 狗的运动方向始终指向慢跑者 计算并画出狗的轨迹 解 1 模型分析建立 狗的轨迹 在任意时刻 狗的速度向量都指向它的目标慢跑者 假设 1 慢跑者在某路径上跑步 他的运动由两个函数 X t 和 Y t 描述 假设 2 当 t 0 时 狗是在点 x0 y0 处 在时刻 t 时 它的位置是 x t y t 那么下列方程成立 1 狗以恒定速率跑 X 2 y 2 w2 2 狗的速度向量平行于慢跑者与狗的位置的差向量 将上述方程带入等式 可得 再将 代入第二个方程 可得狗的轨迹的微分方程 2 程序及结果 dog 函数 dog m function zs isterminal direction dog t z flag global w w speed of the dog X jogger t h X z nh norm h if nargin 3 isempty flag zs w nh h else switch flag case events zs nh 1e 3 isterminal 1 direction 0 otherwise error Unknow flag flag end end 慢跑者的运动轨迹方程 水平向右 jogger m function s jogger t s 8 t 0 标记的函数 cross m function cross Cx Cy v Kx Cx Cx Cx Cx v Cx v Ky Cy Cy 2 5 v Cy 1 5 v Cy 1 5 v Cy 1 5 v plot Kx Ky plot Cx Cy o 主程序 静态显示 main1 m global w y0 60 70 w 10 options odeset RelTol 1e 5 Events on t Y ode23 dog 0 20 y0 options clf hold on axis 10 100 10 70 plot Y 1 Y 2 J for h 1 length t w jogger t h J J w end plot J 1 J 2 p max size Y cross Y p 1 Y p 2 2 hold off 动态显示 main2 m global w y0 60 70 w 10 options odeset RelTol 1e 5 Events on t Y ode23 dog 0 20 y0 options J for h 1 length t w jogger t h J J w end xmin min min Y 1 min J 1 xmax max max Y 1 max J 1 ymin min min Y 2 min J 2 ymax max max Y 2 max J 2 clf hold on axis xmin 10 xmax ymin 10 ymax title The jogger and the Dog for h 1 length t 1 plot Y h 1 Y h 1 1 Y h 2 Y h 1 2 Color red EraseMode none plot J h 1 J h 1 1 J h 2 J h 1 2 Color green EraseMode none drawnow pause 0 1 end plot J 1 J 2 p max size Y cross Y p 1 Y p 2 2 hold off 结果 t 12 2761812635281 在12 27秒后狗追上慢跑者 慢跑者轨迹是椭圆轨迹 jogger2 m function s jogger2 t s 10 20 cos t 20 15 sin t 狗的微分方程 dog m function zs isterminal direction dog t z flag global w w speed of the dog X jogger2 t h X z nh norm h if nargin 2 个圆 任何两个圆都相交但无 3 个圆共点 试问 n 个圆把平面划分成多 少个不连通的区域 解 一个圆将平面分为 2 份 两个圆相交将平面分为 4 2 2 份 三个圆相交将平面分为 8 2 2 4 份 四个圆相交将平面分为 14 2 2 4 6 份 平面内 n 个圆 其中每两个圆都相交于两点 且任意三个圆不相交于同一点 则该 n 个圆分平面区域数 f n 2 n 1 n n2 n 2 证明 1 当 n 1 时 一个圆把平面分成两个区域 而 12 1 2 2 命题成立 2 假设 n k k 1 时 命题成立 即 k 个圆把平面分成 k2 k 2 个区域 当 n k 1 时 第 k 1 个圆与原有的 k 个圆有 2k 个交点 这些交点把第 k 1 个圆分成了 2k 段弧 而其中的每一段弧都把它所在的区域分成了两部分 因此增加了 2k 个区域 共有 k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2 个区域 n k 1 时 命题也成立 由 1 2 知 对任意的 n N 命题都成立 9 某人有元钱 他每天买一次物品 每次买物品的品种很单调 或者买一元钱的甲物品 n 或者买二元钱的乙物品 问他花完这元钱有多少不同的方式 n 解 设 an 表示花完这 n 元钱的方案种数 若 n 1 则只能买甲 有一种方法 故 a1 1 若 n 2 则可以买 2 个甲 或者 1 个乙或 1 个丙 即 a2 3 当 n 3 时 花钱的方式由购买甲和购买乙购买丙的种数之和构成 即 an an 1 an 2 an 2 an 1 2an 2 则当 n 3 时 an an 1 2 an 1 an 2 即 an 1 an 是公比 q 2 的等比数列 首项为 a2 a1 1 3 4 则 an 1 an 4 2n 1 2n 1 an an 1 2n 两式相减得 an 1 an 1 2n 1 2 2 n 2 若 n 是奇数 an 2n 1 2n 3 22 a1 2n 1 1 3 若 n 是偶数 an 2n 1 2n 3 23 a2 2n 1 1 3 7 6 习题习题 1 在化工生产中常常需要知道丙烷在各种温度和压力下的导热系数 下面是实验得TPK 到的一组数据 TC 68688787106106140140 P 3 10 KPa 9 798113 3249 007813 3559 791814 2779 656312 463 K0 08480 08970 07620 08070 06960 07530 06110 0651 试求 99和 10 3xKPa 下的 K TC P 3 10 解 找出温度 T 相等时 导热系数 K 与压力 P 的关系 由于在不同温度时 仅给出两个 K P 的值 因此采用线性近似 把 K P 看作是线性关系 建立 M 文件 function y y lagr1 x0 y0 x n length x0 m length x for i 1 m z x i s 0 0 for k 1 n p 1 0 for j 1 n if j k p p z x0 j x0 k x0 j end end s p y0 k s end y i s end 主程序 p1 9 7981 13 324 k1 0 0848 0 0897 T 68 p2 9 0078 13 355 k2 0 0762 0 0807 T 87 p3 9 7918 14 277 k3 0 0696 0 0753 T 106 p4 9 6563 12 463 k4 0 0611 0 0651 T 140 a2 polyfit p2 k2 1 a3 polyfit p3 k3 1 x1 polyval a2 10 3 x2 polyval a3 10 3 x1 x2分别是P 10 3 10 3kPa下87 和106 的K值 plot 10 3 x1 k 10 3 x2 k p1 k1 p2 k2 p3 k3 p4 k4 xlabel 丙烷压力P ylabel 丙烷导热系数K title 在不同温度下丙烷导热系数与压力的关系图 gtext T 68 gtext T 87 gtext T 106 gtext T 140 运行后图中所标点为 P 10 3 10 3kPa 时 T 87 和 T 106 对应的导热系数 K 值 在 T 87 和 T 106 之间仍采用线性近似来求 T 99 时的导热系数 K 程序如下 x 87 106 y x1 x2 a polyfit x y 1 z polyval a 99 z 0 0729 plot 99 z k x y grid xlabel 丙烷温度T ylabel 丙烷导热系数K title 压力P 10 3 10 3kPa时丙烷导热系数与温度的关系 运行结果 T 99 P 10 3 10 3KPa 时 K 0 0729 4 用电压 V 10 伏的电池给电容器充电 电容器上 t 时刻的电压为 v t V V V0 其中 v0 t e T 是电容器的初始电压 是充电常数 试由下面一组 t v 数据确定 V0 和 t s0 51234579 V 伏6 366 487 268 228 668 999 349 63 解 建立 M 文件 function f dianya x t f 10