高考数学集合总复习-古典概型

古典概型古典概型 导学目标导学目标 1 理解古典概型及其概率计算公式 2 会计算一些随机事件所含的基本事件 数及事件发生的概率 自主梳理 1 基本事件有如下特点 1 任何两个基本事件是 的 2 任何事件 除不可能事件 都可以表示成 2 一般地 一次试验有下面两个特征 1 有限性 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 2 等可能性 每个基本事件出现的可能性相同 称这样的概率模型为古典概型 判断一个试验是否是古典概型 在于该试验是否具有古典概型的两个特征 有限性和 等可能性 3 如果一次试验中可能出现的结果有 n 个 而且所有结果出现的可能性都相等 那么 每一个基本事件的概率都是 如果某个事件 A 包括的结果有 m 个 那么事件 A 的概率 P A 自我检测 1 2011 滨州模拟 若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m n 作为点 P 的横 纵坐标 则点 P 在直线 x y 5 下方的概率为 A B C D 1 6 1 4 1 12 1 9 2 2011 临沂高新区期末 一块各面均涂有油漆的正方体被锯成 1 000 个大小相同的小 正方体 若将这些小正方体均匀地搅混在一起 则任意取出一个 其两面涂有油漆的概率 是 A B C D 1 12 1 10 3 25 12 125 3 2010 辽宁 三张卡片上分别写上字母 E E B 将三张卡片随机地排成一行 恰 好排成英文单词 BEE 的概率为 4 有 100 张卡片 编号从 1 号到 100 号 从中任取 1 张 取到卡号是 7 的倍数的概率 为 5 2011 大理模拟 在平面直角坐标系中 从五个点 A 0 0 B 2 0 C 1 1 D 0 2 E 2 2 中任取三个 这三点能构成三角形的概率是 用分数表示 探究点一 基本事件的概率 例 1 投掷六个面分别记有 1 2 2 3 3 3 的两颗骰子 1 求所出现的点数均为 2 的概率 2 求所出现的点数之和为 4 的概率 变式迁移 1 一只口袋内装有大小相同的 5 只球 其中 3 只白球 2 只黑球 从中一次 摸出两只球 问 1 共有多少个基本事件 2 摸出的两只球都是白球的概率是多少 探究点二 古典概型的概率计算 例 2 班级联欢时 主持人拟出了如下一些节目 跳双人舞 独唱 朗诵等 指定 3 个男生和 2 个女生来参与 把 5 个人分别编号为 1 2 3 4 5 其中 1 2 3 号是男生 4 5 号是 女生 将每个人的号分别写在 5 张相同的卡片上 并放入一个箱子中充分混合 每次从中 随机地取出一张卡片 取出谁的编号谁就参与表演节目 1 为了选出 2 人来表演双人舞 连续抽取 2 张卡片 求取出的 2 人不全是男生的概率 2 为了选出 2 人分别表演独唱和朗诵 抽取并观察第一张卡片后 又放回箱子中 充 分混合后再从中抽取第二张卡片 求独唱和朗诵由同一个人表演的概率 变式迁移 2 同时抛掷两枚骰子 求至少有一个 5 点或 6 点的概率 探究点三 古典概型的综合问题 例 3 2009 山东 汽车厂生产 A B C 三类轿车 每类轿车均有舒适型和标准型两 种型号 某月的产量如下表 单位 辆 轿车 A轿车 B轿车 C 舒适型100150z 标准型300450600 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆 其中有 A 类轿车 10 辆 1 求 z 的值 2 用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本 将该样本看成一个总体 从中任取 2 辆 求至少有 1 辆舒适型轿车的概率 3 用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆 经检测它们的得分如下 9 4 8 6 9 2 9 6 8 7 9 3 9 0 8 2 把这 8 辆轿车的得分看成一个总体 从中任取一个数 求该 数与样本平均数之差的绝对值不超过 0 5 的概率 变式迁移 3 为了了解 中华人民共和国道路交通安全法 在学生中的普及情况 调 查部门对某校 6 名学生进行问卷调查 6 人得分情况如下 5 6 7 8 9 10 把这 6 名学生的得 分看成一个总体 1 求该总体的平均数 2 用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名 他们的得分组成一个样本 求该样 本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0 5 的概率 分类讨论思想的应用 例 12 分 甲 乙二人用 4 张扑克牌 分别是红桃 2 红桃 3 红桃 4 方片 4 玩游戏 他们将扑克牌洗匀后 背面朝上放在桌面上 甲先抽 乙后抽 抽出的牌不放回 各抽一 张 1 设 i j 分别表示甲 乙抽到的牌的牌面数字 写出甲 乙二人抽到的牌的所有情况 2 若甲抽到红桃 3 则乙抽到的牌面数字比 3 大的概率是多少 3 甲 乙约定 若甲抽到的牌的牌面数字比乙大 则甲胜 反之 则乙胜 你认为此 游戏是否公平 说明你的理由 多角度审题 本题属于求较复杂事件的概率 关键是理解题目的实际含义 把实际 问题转化为概率模型 联想掷骰子试验 把红桃 2 红桃 3 红桃 4 和方片 4 分别用数字 2 3 4 4 表示 抽象出基本事件 把复杂事件用基本事件表示 找出总体 I 包含的基本事 件总数 n 及事件 A 包含的基本事件个数 m 用公式 P A 求解 m n 答题模板 解 1 甲 乙二人抽到的牌的所有情况 方片 4 用 4 表示 其他用相应的数字表示 为 2 3 2 4 2 4 3 2 3 4 3 4 4 2 4 3 4 4 4 2 4 3 4 4 共 12 种不同情况 6 分 2 甲抽到红桃 3 乙抽到的牌的牌面数字只能是 2 4 4 因此乙抽到的牌的牌面数字 比 3 大的概率为 9 分 2 3 3 甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有 3 2 4 2 4 3 4 2 4 3 共 5 种 故甲胜的概率 P1 同理乙胜的概率 P2 因为 P1 P2 所以此游戏公平 12 5 12 5 12 分 突破思维障碍 1 对一些较为简单 基本事件个数不是太大的概率问题 计数时只需要用枚举法即可 计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率 但应特别注意 计算时要严防遗 漏 绝不重复 2 取球模型是古典概型计算中的一个典型问题 好多实际问题都可以归结到取球模型 上去 特别是产品的抽样检验 解题时要分清 有放回 与 无放回 有序 与 无序 等条件的影响 易错点剖析 1 题目中 红桃 4 与 方片 4 属两个不同的基本事件 应用不同的数字或字母标 注 2 注意 抽出的牌不放回 对基本事件数目的影响 1 基本事件的特点主要有两条 任何两个基本事件都是互斥的 任何事件都可以 表示成基本事件的和 2 古典概型的基本特征是 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 每个基 本事件出现的可能性相等 3 计算古典概型的基本步骤有 判断试验结果是否为等可能事件 求出试验包括 的基本事件的个数 n 以及所求事件 A 包含的基本事件的个数 m 代入公式 P A 求概率值 m n 满分 75 分 一 选择题 每小题 5 分 共 25 分 1 2011 浙江宁波十校联考 将一枚骰子抛掷两次 若先后出现的点数分别为 b c 则方程 x2 bx c 0 有实根的概率为 A B C D 19 36 1 2 5 9 17 36 2 2009 福建 已知某运动员每次投篮命中的概率低于 40 现采用随机模拟的方法估 计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率 先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数 指定 1 2 3 4 表示命中 5 6 7 8 9 0 表示不命中 再以每三个随机数为一组 代表三次投篮 的结果 经随机模拟产生了如下 20 组随机数 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计 该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 A 0 35 B 0 25 C 0 20 D 0 15 3 2011 西南名校联考 连掷两次骰子分别得到点数 m n 则向量 m n 与向量 1 1 的夹角 90 的概率是 A B C D 5 12 7 12 1 3 1 2 4 设集合 A 1 2 B 1 2 3 分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b 确定平 面上的一个点 P a b 记 点 P a b 落在直线 x y n 上 为事件 Cn 2 n 5 n N 若事件 Cn的概率最大 则 n 的所有可能值为 A 3 B 4 C 2 5 D 3 4 5 在一个袋子中装有分别标注数字 1 2 3 4 5 的五个小球 这些小球除标注的数字外完 全相同 现从中随机取出 2 个小球 则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是 A B C D 1 12 1 10 1 5 3 10 二 填空题 每小题 4 分 共 12 分 6 在一次教师联欢会上 到会的女教师比男教师多 12 人 从这些教师中随机挑选一 人表演节目 若选到男教师的概率为 则参加联欢会的教师共有 人 9 20 7 2011 上海十四校联考 在集合 x x n 1 2 3 10 中任取一个元素 所取 n 6 元素恰好满足方程 cos x 的概率是 1 2 8 2009 江苏 现有 5 根竹竿 它们的长度 单位 m 分别为 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 若从中 一次随机抽取 2 根竹竿 则它们的长度恰好相差 0 3 m 的概率为 三 解答题 共 38 分 9 12 分 2011 北京朝阳区模拟 袋子中装有编号为 a b 的 2 个黑球和编号为 c d e 的 3 个红球 从中任意摸出 2 个球 1 写出所有不同的结果 2 求恰好摸出 1 个黑球和 1 个红球的概率 3 求至少摸出 1 个黑球的概率 10 12 分 2010