§47平面图形的密铺

北师大版初二数学 2004 10 27 星期三 1 4 7 平面图形的密铺平面图形的密铺 教学目标教学目标 一 知识目标 平面图形的密铺及多边形密铺的条件 二 能力训练目标 1 经历探索多边形密铺 镶嵌 条件的过程 进一步发展学生的合情推理能力 2 通过探索平面图形的密铺 知道任意一个三角形 四边形或正六边形可以密铺 并能运用这几种图形进行简单的密铺设计 三 情感与价值观目标 1 在探索活动过程中 培养学生的合作交流意识和一定的审美情感 使学生进一步 体会平面图形在现实生活中的广泛应用 2 在探索性活动中 开发 培养学生的创造性思维 使其理论联系实际 教学重点教学重点 多边形密铺的条件 教学难点教学难点 运用三角形 四边形或正六边形进行简单的密铺设计 教学过程教学过程 一 巧设情景问题 引入课题一 巧设情景问题 引入课题 师 同学们好 老师问大家一个问题 你家铺有地板砖吗 生齐 铺有地板砖 师 那你家铺的地板砖是什么图形呢 生甲 正方形 正六边形 师 很好 我们经常能见到各种建筑物的地板 观察地板 就能发现地板常用各 种正多边形地砖铺砌成美丽的图案 出示投影 展示各种地板图片 师 这些地板漂亮吗 生齐 非常漂亮 师 很好 这种用形状 大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接 彼此之 间不留空隙 不重叠地铺成一片 这就是平面图形的密铺 这节课我们来探索平面图形的密铺 二 讲授新课二 讲授新课 师 平面图形的密铺 又称做平面图形的镶嵌 在平面上密铺需注意 各种图形 拼接后要既无缝隙 又不重叠 大家愿意美化生活环境吗 生齐 愿意 师 好 那我们先来探索多边形密铺的条件 大家拿出剪刀和硬纸片分组来做一做 1 用形状 大小完全相同的三角形能否密铺 2 用同一种四边形可以密铺吗 用硬纸板剪制若干形状 大小完全相同的四边形做实 验 并与同伴交流 3 在用三角形密铺的图案中 观察每个拼接点处有几个角 它们与这种三角形的三个 北师大版初二数学 2004 10 27 星期三 2 内角有什么关系 4 在用四边形密铺的图案中 观察每个拼接点处的四个角与这种四边形的四个内角 有什么关系 学生动手制作 教师强调 师 大家要注意 三角形 四边形的形状 可以是任意的 但裁剪出的每种图形 一定是全等形 学生分组拼接 讨论 寻找规律 教师巡视指导 生甲 用形状 大小完全相同的三角形可以密铺 因为三角形的内角和为 180 所以 用 6 个这样的三角形就可以组合起来镶嵌成一个平面 从用三角形密铺的图案中 观察到 每个拼接点处有 6 个角 这 6 个角分别是这种 三角形的内角 其中有三组分别相等 它们可以组成两个三角形的内角 它们的和为 360 生乙 用同一种四边形也可以密铺 在用四边形密铺的图案中 每个拼接点处的 四个角恰好是一个四边形的四个内角 四边形的内角和为 360 所以它们的和为 360 生丙 从拼接活动中 我们知道了 要用几个形状 大小完全相同的图形不留空 隙 不重叠地密铺一个平面 需使得拼接点处的各角之和为 360 师 同学们总结得非常好 通过探索活动 我们得知 用形状 大小完全相同的四边 形或三角形可以密铺一个平面 那么其他的多边形能否密铺 下面大家来想一想 议一 议 出示投影片 4 8 B 1 正六边形能否密铺 简述你的理由 2 分析如下图 讨论正五边形不能密铺 3 还能找到能密铺的其他正多边形吗 学生分析 讨论 归纳 生甲 正六边形能密铺 因为正六边形的每个内角都是 120 在每 6 180 26 个拼接点处 恰好能容纳下 3 个内角 而且相互不重叠 没有空隙 生乙 正五边形的每个内角都是 108 360 不是 108 的整数倍 如图所示 在每 个拼接点处 三个内角之和为 324 小于 360 而四个内角之和都大于 360 师 很好 乙同学说的也就是 在每个拼结处 拼三个内角不能保证没空隙 而 拼四个角时 必定有重叠现象 生丙 老师 我知道了 要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看 这种正多边 形的一个内角的倍数是否是 360 在正多边形里 正三角形的每个内角都是 60 正 四边形的每个内角都是 90 正六边形的每个内角都是 120 这三种多边形的一个内 角的倍数都是 360 而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是 360 所以说 在正 多边形里只有正三角形 正四边形 正六边形可以密铺 而其他的正多边形不可密铺 北师大版初二数学 2004 10 27 星期三 3 师 很好 事实上 对于正 n 边形 它的每一个内角都为 在每个拼 n n 180 2 接点处 设可以将 m 个内角彼此无重叠 无缝隙地拼接在一起 由于这些角的和应为 360 因此有 m 360 此式可化为 m 2 n 2 4 m n 都是正整 n n 180 2 数 因此 m 2 n 2 都是 4 的因子 所以 m n 的取值仅有三种可能 即 6 3 4 4 3 6 n m n m n m 这正是正多边形的三种可以密铺的情况 当然 一般三角形 四边形也可以密铺 虽然 它们的内角未必都相等 出示投影片 4 8 C 师 这是用一种正多边形镶嵌平面的三种情况 图案漂亮吗 生齐 漂亮 师 好 下来我们可以利用多边形设计一些美丽的图案 m m 2 n平面镶嵌图案 3 4 5 6 7 北师大版初二数学 2004 10 27 星期三 4 生 老师 我们讨论了用正多边形镶嵌平面 那非正多边形能否镶嵌一个平面呢 师 这个问题我们以后要涉及到 因为用非正多边形镶嵌平面比较复杂 所以这 节课我们不进行讨论 三 课堂练习三 课堂练习 1 如图 在一个正方形的内部按图示 1 的方式剪去一个正三角形 并平移 形成如 图 2 所示的新图案 以这个图案为 基本单位 能否进行密铺 说说你的理由 答案 可以进行密铺 因为正方形是可以密铺的 这个题只是在整个密铺图案中 将其 中一个正方形的某一部分平移到了另一正方形的相应部位 因而它也是可以密铺的 2 利用习题 3 7 第三题所得的 鱼 形图案能否密铺 根据上面的思路 自己独立设 计一个可以密铺的 基本单位 图形 二 读一读 课本 P114漂亮的密铺图案 三 试一试 同时用边长相同的正八边形和正方形能否密铺 用硬纸板为材料进行实验 答案 可以密铺 学生进行操作 来实验 从而得证 四 看课本 P113后总结 四 课时小结四 课时小结 本节课我们通过活动 探讨 知道任意一个三角形 四边形或正六边形可以镶嵌成 一个平面 并且探索出正多边形密铺的条件 即 一种正多边形的一个内角的倍数是否是 360 五 课后作业五 课后作业 课本 P115习题 4 12 1 2 3 试一试 六 六 教后感教后感 1 数学教学是数学活动的教学 本节课能充分体现新课程精神 充分体现学生主动 参与意识 每个同学都可以在不同的场合表现自己 从而使学生在活动中学习数学 感知数学 使人人都能学到有价值的数学 人人都学必需的数学 有些同学能密铺图 形 有些同学能摆出图案并设置问题 有些同学能利用正多边形的一个内角的度数归 纳能否密铺问题 这也就体现了不同的人在数学上有不同的发展 2 教学情景的设置 数学活动的安排 体现出创造性的使用教材 学生的探究过程 自我评价张扬了学生的个性 激发了学生的学习热情 体现了 标准 的人文性 本 节课把数学活动贯穿于整个教学活动始终 学生