高中文科数学---三角函数习题

DC AE B 三角函数习题三角函数习题 一 选择题 1 sin47sin17 cos30 cos17 A 3 2 B 1 2 C 1 2 D 3 2 2 把函数 y cos2x 1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 然后向左平移 1 个单位长 度 再向下平移 1 个单位长度 得到的图像是 3 将函数 sin 0 f xx 的图像向右平移 4 个单位长度 所得图像经过点 3 0 4 则 的最小值是 A 1 3 B 1C 5 3 D 2 4 如图 正方形ABCD的边长为1 延长BA至E 使1AE 连接EC ED则sinCED A 3 10 10 B 10 10 C 5 10 D 5 15 5 在ABC 中 若CBA 222 sinsinsin 则ABC 的形状是 A 钝角三角形 B 直角三角形 C 锐角三角形 D 不能确定 6 设向量a 1 cos 与b 1 2cos 垂直 则cos2 等于 A 2 2 B 1 2 C 0D 1 7 函数2sin 09 63 x yx 的最大值与最小值之和为 A 23 B 0C 1D 13 8 已知sincos2 0 则sin2 A 1B 2 2 C 2 2 D 1 9 已知 0 0 直线x 4 和x 5 4 是函数 sin f xx 图像的两条相邻的对称轴 则 A B C D 4 3 2 3 4 10 若 sincos1 sincos2 则 tan2 A 3 4 B 3 4 C 4 3 D 4 3 11 在 ABC 中 AC 7 BC 2 B 60 则 BC 边上的高等于 A 3 2 B 3 3 2 C 36 2 D 339 4 12 设ABC 的内角 A B C所对的边分别为 a b c 若三边的长为连续的三个正整数 且ABC 320 cosbaA 则sin sin sinABC为 A 4 3 2B 5 6 7C 5 4 3D 6 5 4 13 解三角形 在ABC 中 若60A 45B 3 2BC 则AC A 4 3B 2 3C 3D 3 2 14 函数 sin 4 f xx 的图像的一条对称轴是 A 4 x B 2 x C 4 x D 2 x 15 已知 为第二象限角 3 sin 5 则sin2 A 24 25 B 12 25 C 12 25 D 24 25 16 若函数 sin 0 2 3 x f x 是偶函数 则 A 2 B 2 3 C 3 2 D 5 3 17 要得到函数cos 21 yx 的图象 只要将函数cos2yx 的图象 A 向左平移 1 个单位B 向右平移 1 个单位 C 向左平移 1 2 个单位D 向右平移 1 2 个单位 二 填空题 18 设 ABC的内角ABC 的对边分别为abc 且 1 cos 4 abC 1 2 则sin B 19 在三角形 ABC 中 角 A B C 所对应的长分别为 a b c 若 a 2 B 6 c 23 则 b 20 在ABC 中 已知60 45 3BACABCBC 则AC 21 当函数sin3cos 02 yxxx 取最大值时 x 22 在 ABC 中 若3a 3b 3 A 则C 的大小为 三 解答题 23 设函数 sin f xAx 其中0 0 A 在 6 x 处取得最大值 2 其图象与轴的 相邻两个交点的距离为 2 I 求 f x的解析式 II 求函数 42 6cossin1 6 xx g x f x 的值域 24 在 ABC 中 内角 A B C 的对边分别为 a b c 且 bsinA 3acosB 1 求角 B的大小 2 若 b 3 sinC 2sinA 求 a c 的值 25 在ABC 中 内角 A B C所对的分别是 a b c 已知 2 2 2 cos 4 acA I 求sinC和b的值 II 求cos 2 3 A 的值 26 已知函数 2 1 cossincos 2222 xxx f x 求函数 f x的最小正周期和值域 若 3 2 10 f 求sin2 的值 27 海事救援船对一艘失事船进行定位 以失事船的当前位置为原点 以正北方向为y轴 正方向建立平面直角坐标系 以 1 海里为单位长度 则救援船恰在失事船的正南方向 12 海 里A处 如图 现假设 失事船的移动路径可视为抛物线 2 49 12 xy 定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援 救 援船出发t小时后 失事船所在位置的横坐标为 t 7 1 当5 0 t时 写出失事船所在位置P的纵坐标 若此时 两船恰好会合 求救援船速度的大小和方向 2 问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船 28 函数 sin 1 6 f xAx 0 0A 的最大值为 3 其图像相邻两条对称轴之间的距离为 2 1 求函数 f x的解析式 xO y P A 2 设 0 2 则 2 2 f 求 的值 29 在 ABC 中 内角 A B C所对的边分别为 a b c 已知sin tantan tantanBACAC 求证 a b c成等比数列 若1 2ac 求 ABC的面积S 30 在ABC 中 角A B C的对边分别为a b c 角A B C成等差数列 求cosB的值 边a b c成等比数列 求sinsinAC的值 31 已知a b c分别为ABC 三个内角A B C的对边 3 sinsincaCcA 求A 若a 2 ABC 的面积为3 求b c 32 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 3cos B C 1 6cosBcosC 1 求 cosA 2 若 a 3 ABC 的面积为2 2 求 b c 33 已知函数 sin 0 0 2 f xAxxR 的部分图像如图 5 所示 求函数 f x 的解析式 求函数 1212 g xf xf x 的单调递增区间 34 设函数 22 sin2 3sincoscos f xxxxxxR 的图像关于直线x 对称 其中 为常数 且 1 1 2 1 求函数 f x的最小正周期 2 若 yf x 的图像经过点 0 4 求函数 f x的值域 35 三角函数 已知函数 cos 46 x f xA x R 且2 3 f 求A的值 设 0 2 430 4 317 f 28 4 35 f 求 cos 的值 37 ABC 中 内角A B C成等差数列 其对边 a b c满足 2 23bac 求A 38 已知函数 sincos sin2 sin xxx f x x 1 求 f x的定义域及最小正周期 2 求 f x的单调递减区间 39 设ABC 的内角 A B C所对的边为 a b c 且有2sincossincoscossinBAACAC 求角A的大小 来 II 若2b 1c D为BC的中点 求AD的长 三角函数参考答案 一 选择题 1 答案 C 解析 sin47sin17 cos30sin 3017 sin17 cos30 cos17cos17 sin30 cos17cos30 sin17sin17 cos30sin30 cos171 sin30 cos17cos172 考点定位 本题考查三角恒等变化 其关键是利用473017 2 答案 A 命题意图 本题主要考查了三角函数中图像的性质 具体考查了在 x 轴上的伸缩变换 在 x 轴 y 轴上 的平移变化 利用特殊点法判断图像的而变换 解析 由题意 y cos2x 1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 即解析式为 y cosx 1 向左平移一个单位为 y cos x 1 1 向下平移一个单位为 y cos x 1 利用特殊点 0 2 变 为1 0 2 选 A 3 解析 函数向右平移 4 得到函数 4 sin 4 sin 4 xxxfxg 因为此时函数过 点 0 4 3 所以0 44 3 sin 即 2 44 3 k 所以Zkk 2 所以 的最小值 为 2 选 D 4 答案 B 10 10 cos1sin 10 103 ECED2 CD ECED CEDcos 1CD 5CBABEAEC 2ADAEED11AE 2 222 2 2 22 CEDCED 正方形的边长也为解析 点评 注意恒等式 sin2 cos2 1 的使用 需要用 的的范围决定其正余弦值的正负情况 5 解析 由条件结合正弦定理 得 222 cba 再由余弦定理 得0cos 2 222 ab cba C 所以C是钝角 选 A 6 解析 0a b 2 12cos0 2 cos22cos10 故选 C 7 解析 由90 x可知 6 7 363 x 可知 1 2 3 36 sin x 则2sin 3 2 63 x y 则最大值与最小值之和为23 答案应选 A 8 答案 A 解析 2 sincos2 sincos 2 sin21 故选 A 点评 本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力 属于容易题 9 命题意图 本题主要考查三角函数的图像与性质 是中档题 解析 由题设知 5 44 1 4 2 k kZ 4 k kZ 0 4 故选 A 10 答案 B 解析 主要考查三角函数的运算 分子分母同 时除以cos 可得tan3 带入所求式可得结果 11 答案 B 解析 设ABc 在 ABC 中 由余弦定理知 222 2cosACABBCAB BCB 即 2 742 2cos60cc 2 230 3 1 cccc 即 0 又0 3 cc 设 BC 边上的高等于h 由三角形面积公式 11 sin 22 ABC SAB BCBBC h A AAA 知 11 3 2 sin602 22 h 解得 3 3 2 h 点评 本题考查余弦定理 三角形面积公式 考查方程思想 运算能力 是历年常考内容 12 D 解析 因为 a b c为连续的三个正整数 且 ABC 可得abc 所以2 1 acbc 又 因为已知320 cos baA 所以 3 cos 20 b A a 由余弦定理可得 222 cos 2 bca A bc 则由 可得 222 3 202 bbca abc 联立 得 2 713600 cc 解得4 c或 15 7 c 舍去 则6 a 5 b 故由正弦定理可得 sin sin sin 6 5 4 ABCa b c 故应选 D 点评 本题考查正 余弦定理以及三角形中大角对大边的应用 本题最终需求解三个角的正弦的比值 明 显是要利用正弦定理转化为边长的比值 因此必须求出三边长 来年需注意正余弦定理与和差角公式的 结合应用 13 解析 B 由正弦定理 可得 sin45sin60 ACBC 所以 3 22 2 3 23 2 AC 14 答案 C 解析 把 4 x 代入后得到 1f x 因而对称轴为 4 x 答案 C 正确 考点定位 此题主要考查三角函数的图像和性质 代值逆推是主要解法 15 答案 A 命题意图 本试题主要考查了同角三角函数关系式的运用以及正弦二倍角公式的运用 解析 因为 为第二象限角 故cos0 而 3 sin 5 故 2 4 cos1 sin 5 所以 24 sin22sincos 25 故选答案 A 16 答案 C 命题意图 本试题主要考查了偶函数的概念与三角函数图像性质 解析 由 sin 0 2 3 x f x 为偶函数可知 y轴是函数 f x图像的对称轴 而三角函数 的对称轴是在该函数取得最值时取得 故 3 0 sin13 3322 fkkkZ 而 0 2 故0k 时 3 2 故选答案 C 17 解析 选C cos2cos 21 yxyx 左 1 平移 1 2 二 填空题 18 答案 15 4 解析 1 1 2 cos 4 abC 由余弦定理得 222 1 2cos1 42 1 24 4 cababC 则2c 即 BC 故 2 115 sin1 44 B 考点定位 利用同角三角函数间的基本关系式求出sin B的值是本题的突破点 然后利用正弦定理建 立已知和未知之间的关系 同时要求学生牢记特殊角的三角函数值 19 解析 由余弦定理得 222 2cos4bacacB 所以2b 20 答案 2 解析 由正弦定理得 3 2 sin45sin60 AC AC 考点定位 本题考查三角形中的三角函数 正弦定理 考醒求解计算能力 21 答案 5 6 命题意图 本试题主要考查了三角函数性质的运用 求解值域的问题 首先化为单一三角函数 然后利 用定义域求解角的范围 从而结合三角函数图像得到最值点 解析 由sin3cos2sin 3 yxxx 由 5 02 333 xx 可知22sin 2 3 x 当且仅当 3 32 x 即 11 6 x 时取得最小值 32 x 时即 5 6 x 取得最大值 22 答案 2 解析 222 cos2 3 2 bca Ac bc 而 sinsin ca CA 故sin1 2 CC 考点定位 本小题主要考查的是解三角形 所用方法并不唯一 对于正弦定理和余弦定理此二者会其 一都可以得到最后的答案 三 解答题 23 答案 6 77 5 1 44 2 22 31 cos1 cos 22 xx 因 2 cos 0 1 x 且 2 1 cos 2 x 故 g x 的值域为 77 5 1 44 2 24 命题意图 本题主要考查了正弦定理 余弦定理 三角形内角和定理 考查考生对基础知识 基本技 能的掌握情况 解析 1 bsinA 3acosB 由正弦定理可得sinsin3sincosBAAB 即得tan3B 3 B 2 sinC 2sinA 由正弦定理得2ca 由余弦定理 222 2cosbacacB 22 9422 cos 3 aaaa 解得3a 22 3ca 25 解 1 在ABC 中 由 2 cos 4 A 可得 14 sin 4 A 又由 sinsin ac AC 及2a 2c 可得 7 sin 4 C 由 2222 2cos20abcbcAbb 因为0b 故解得1b 所以 7 sin 1 4 Cb 2 由 2 cos 4 A 14 sin 4 A 得 2 3 cos22cos1 4 AA 7 sin2sincos 4 AAA 所以 321 cos 2 cos2 cossin2 sin 3338 AAA 26 解析 1 由已知 f x 2 1 2 x cos 2 x sin 2 x cos2 2 1 sinx 2 1 cosx1 2 1 4 xcos 2 2 所以 f x 的最小正周期为 2 值域为 2 2 2 2 2 由 1 知 f 10 23 4 cos 2 2 所以 cos 5 3 4 所以 4 2cos2 2 cos2sin 25 7 25 18 1 4 cos21 2 点评 本小题主要考查三角函数的性质 两角和的正 余 弦公式 二倍角公式等基础知识 考查运算能 力 考查化归与转化等数学思想 27 解 1 5 0 t时 P的横坐标xP 2 7 7 t 代入抛物线方程 2 49 12 xy 中 得P的纵坐标yP 3 由 AP 2 949 得救援船速度的大小为949海里 时 由 tan OAP 30 7 123 2 7 得 OAP arctan 30 7 故救援船速度的方向 为北偏东 arctan 30 7 弧度 2 设救援船的时速为v海里 经过t小时追上失事船 此时位置为 12 7 2 tt 由 222 1212 7 ttvt 整理得337 144 2 1 22 t tv 因为2 2 1 2 t t 当且仅当t 1 时等号成立 所以 22 253372144 v 即25 v 因此 救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船 28 29 解 I 由已知得 sin sincoscossin sinsinBACACAC sinsin sinsinBACAC 则 2 sinsinsinBAC 再由正弦定理可得 2 bac 所以 a b c成等比数列 II 若1 2ac 则 2 2bac 222 3 cos 24 acb B ac 2 7 sin1cos 4 CC ABC的面积 1177 sin1 2 2244 SacB 30 答案与解析 1 由已知 1 2 cos 32 B A C A B CBB 2 解法一 2 bac 由正弦定理得 2 3 sinsin sin 4 ACB 解法二 2 bac 22222 1 cos 222 ac bac ac B acac 由此得 22 ac ac ac得 a c 所以 3 A B C 3 sinsin 4 AC 点评 本题主要考查三角形的正弦定理 余弦定理 三角形内角和定理及等差 等比数列的定义 考 查转化思想和运算求解能力 属于容易题 第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系 也 可以利用余弦定理得到边之间的关系 再来求最后的结果 31 命题意图 本题主要考查正余弦定理应用 是简单题 解析 由3 sinsincaCcA 及正弦定理得 3sinsinsinsinsinACACC 由于sin0C 所以 1 sin 62 A 又0A 故 3 A ABC 的面积S 1 sin 2 bcA 3 故bc 4 而 222 2cosabcbcA 故 22 cb 8 解得bc 2 法二 解 已知 AcCaccossin3 由正弦定理得 ACCACcossinsinsin3sin 因0sin C 所以 AAcossin31 由公式 2 tan 0sincossin 22 a b axbaxbxa得 2 1 6 sin A A是 的内角 所以 66 A 所以 3 A 2 1 sin34 2 SbcAbc 222 2cos4abcbcAbc 解得 2bc 32 解析 1 3 coscossinsin 16coscos 3coscos3sinsin1 3cos 1 1 cos 3 BCBCBC BCBC BC A 则 1 cos 3 A 2 由 1 得 2 2 sin 3 A 由面积可得 bc 6 则根据余弦定理 22222 91 cos 2123 bcabc A bc 则 22 13bc 两式联立可得 3 2 b a 或 3 2 a b 33 解析 由题设图像知 周期 1152 2 2 1212 T T 因为点 5 0 12 在函数图像上 所以 55 sin 2 0 sin 0 126 A 即 又 5545 0 26636 从而 即 6 又点0 1 在函数图像上 所以sin1 2 6 AA 故函数 f x 的解析式为 2sin 2 6 f xx 2sin 22sin 2 126126 g xxx 2sin22sin 2 3 xx 13 2sin22 sin2cos2 22 xxx sin23cos2xx 2sin 2 3 x 由222 232 kxk 得 5 1212 kxkkz g x 的单调递增区间是 5 1212 kkkz 点评 本题主要考查三角函数的图像和性质 第一问结合图形求得周期 115 2 1212 T 从而求 得 2 2 T 再利用特殊点在图像上求出 A 从而求出 f x 的解析式 第二问运用第一问结论和三 角恒等变换及sin yAx 的单调性求得 34 解析 1 因为 22 sincos2 3sincoscos23sin22sin 2 6 f xxxxxxx 由直线x 是 yf x 图像的一条对称轴 可得sin 2 1 6 x 所以2 62 xkkZ 即 1 23 k kZ 又 1 1 2 kZ 所以1k 时 5 6 故 f x的最小正周期是 6 5 2 由 yf x 的图象过点 0 4 得 0 4 f 即 5 2sin 2sin2 6264 即2 故 5 2sin 2 36 f xx 函数 f x的值域为 22 22 点评 本题考查三角函数的最小正周期 三角恒等变形 考查转化与划归 运算求解的能力 二倍角公 式 辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛 它在三角恒等变形中占有重要的地位 可谓是百考不厌 求 三角函数的最小正周期 一般运用公式 2 T 来求解 求三角函数的值域 一般先根据自变量x的范围 确定函数x 的范围 来年需注意三角函数的单调性 图象变换 解三角形等考查 35 解析 12 coscos2 343642 fAAA 所以2A 41430 42cos42cos2sin 3436217 f 所以 15 sin 17 2128 42cos42cos 34365 f 所以 4 cos 5 因为 0 2 所以 2 8 cos1sin 17 2 3 sin1cos 5 所以 8415313 coscoscossinsin 17517585 36 考点定位 本题主要考查同角函数关系 两角和与差的三角函数公式 二倍角公式 考查运算能力 特殊与一般思想 化归与转化的思想 解 1 选择 2 式计算如下 2 13