初二数学经典难题及答案

A P C D B P C G F BQA D E 初二数学经典题型初二数学经典题型 1 1 已知 如图 P 是正方形 ABCD 内点 PAD PDA 150 求证 PBC 是正三角形 证明如下 首先 PA PD PAD PDA 180 150 2 15 PAB 90 15 75 在正方形 ABCD 之外以 AD 为底边作正三角形 ADQ 连接 PQ 则 PDQ 60 15 75 同样 PAQ 75 又 AQ DQ PA PD 所以 PAQ PDQ 那么 PQA PQD 60 2 30 在 PQA 中 APQ 180 30 75 75 PAQ PAB 于是 PQ AQ AB 显然 PAQ PAB 得 PBA PQA 30 PB PQ AB BC PBC 90 30 60 所以 ABC 是正三角形 2 2 已知 如图 在四边形 ABCD 中 AD BC M N 分别是 AB CD 的中点 AD BC 的延长线 交 MN 于 E F 求证 DEN F 证明 连接 AC 并取 AC 的中点 G 连接 GF GM 又点 N 为 CD 的中点 则 GN AD 2 GN AD GNM DEM 1 同理 GM BC 2 GM BC GMN CFN 2 又 AD BC 则 GN GM GNM GMN 故 DEM CFN 3 3 如图 分别以 ABC 的 AC 和 BC 为一边 在 ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形 CBFG 点 P 是 EF 的中点 求证 点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半 证明 分别过 E C F 作直线 AB 的垂线 垂足分别为 M O N 在梯形 MEFN 中 WE 平行 NF 因为 P 为 EF 中点 PQ 平行于两底 所以 PQ 为梯形 MEFN 中位线 所以 PQ ME NF 2 又因为 角 0CB 角 OBC 90 角 NBF 角 CBO 所以角 OCB 角 NBF 而角 C0B 角 Rt 角 BNF CB BF 所以 OCB 全等于 NBF MEA 全等于 OAC 同理 所以 EM AO 0B NF A N F E C D M B 所以 PQ AB 2 4 4 设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点 且 PBA PDA 求证 PAB PCB 过点 P 作 DA 的平行线 过点 A 作 DP 的平行线 两者相交于点 E 连接 BE 因为 DP AE AD PE 所以 四边形 AEPD 为平行四边形 所以 PDA AEP 已知 PDA PBA 所以 PBA AEP 所以 A E B P 四点共圆 所以 PAB PEB 因为四边形 AEPD 为平行四边形 所以 PE AD 且 PE AD 而 四边形 ABCD 为平行四边形 所以 AD BC 且 AD BC 所以 PE BC 且 PE BC 即 四边形 EBCP 也是平行四边形 所以 PEB PCB 所以 PAB PCB 5 5 P 为正方形 ABCD 内的一点 并且 PA a PB 2a PC 3a 正方形的边长 解 将 BAP 绕 B 点旋转 90 使 BA 与 BC 重合 P 点旋转后到 Q 点 连接 PQ 因为 BAP BCQ 所以 AP CQ BP BQ ABP CBQ BPA BQC 因为四边形 DCBA 是正方形 所以 CBA 90 所以 ABP CBP 90 所以 CBQ CBP 90 即 PBQ 90 所以 BPQ 是等腰直角三角形 所以 PQ 2 BP BQP 45 因为 PA a PB 2a PC 3a 所以 PQ 2 2a CQ a 所以 CP 2 9a 2 PQ 2 CQ 2 8a 2 a 2 9a 2 所以 CP 2 PQ 2 CQ 2 所以 CPQ 是直角三角形且 CQA 90 所以 BQC 90 45 135 所以 BPA BQC 135 作 BM PQ 则 BPM 是等腰直角三角形 所以 PM BM PB 2 2a 2 2a 所以根据勾股定理得 AB 2 AM 2 BM 2 2a a 2 2a 2 5 2 2 a 2 所以 AB 5 2 2 a 6 6 一个圆柱形容器的容积为 V 立方米 开始用一根小水管向容器内注水 水面高度达到容 器高度一半后 改用一根口径为小水管 倍的大水管注水 向容器中注满水的全过程共用 A C B P D P A D CB 时间 t 分 求两根水管各自注水的速度 解 设小水管进水速度为 x 则大水管进水速度为 4x 由题意得 t x v x v 82 解之得 t v x 8 5 经检验得 是原方程解 t v x 8 5 小口径水管速度为 大口径水管速度为 t v 8 5 t v 2 5 7 7 如图 11 已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M 2 1 且 P 1 2 为双曲线上的一点 Q为坐标平面上一动点 PA垂直于x轴 QB垂直于 y轴 垂足分别是A B 1 写出正比例函数和反比例函数的关系式 2 当点Q在直线MO上运动时 直线MO上是否存在这样的点Q 使得 OBQ与 OAP面 积相等 如果存在 请求出点的坐标 如果不存在 请说明理由 3 如图 12 当点Q在第一象限中的双曲线上运动时 作以OP OQ为邻边的平行四边形 OPCQ 求平行四边形OPCQ周长的最小值 解 1 设正比例函数解析式为ykx 将点M 坐标代入得 1 2 k 所以正2 1 比例函数解析式为 1 2 yx 同样可得 反比例函数解析式为 2 y x 2 当点Q在直线DO上运动时 设点Q的坐标为 1 2 Q mm 于是 2 1111 2224 OBQ SOBBQmmm 而 1 1 2 1 2 OAP S 图 11 x y B h x 2 x AO M Q P 图 12 x y f x 2 x B C AO M P Q 所以有 2 1 1 4 m 解得2m 所以点Q的坐标为 1 2 1 Q 和 2 2 1 Q 3 因为四边形OPCQ是平行四边形 所以OP CQ OQ PC 而点P 是定点 所以OP的长也是定长 所以要求平行四边形OPCQ周长的1 2 最小值就只需求OQ的最小值 因为点Q在第一象限中双曲线上 所以可设点Q的坐标为 2 Q n n 由勾股定理可得 222 2 42 4OQnn nn 所以当 2 2 0n n 即 2 0n n 时 2 OQ有最小值 4 又因为OQ为正值 所以OQ与 2 OQ同时取得最小值 所以OQ有最小值 2 由勾股定理得OP 5 所以平行四边形OPCQ周长的最小值是 8 8 如图 P是边长为 1 的正方形ABCD对角线AC上一动点 P与A C不重合 点E在射线 BC上 且PE PB 1 求证 PE PD PE PD 2 设AP x PBE的面积为y 求出y关于x的函数关系式 并写出x的取值范围 当x取何值时 y取得最大值 并求出这个最大值 解 1 证法一 四边形ABCD是正方形 AC为对角线 BC DC BCP DCP 45 PC PC PBC PDC SAS PB PD PBC PDC 又 PB PE PE PD i 当点E在线段BC上 E与B C不重合 时 PB PE PBE PEB PEB PDC PEB PEC PDC PEC 180 DPE 360 BCD PDC PEC 90 PE PD ii 当点E与点C重合时 点P恰好在AC中点处 此时 PE PD iii 当点E在BC的延长线上时 如图 A BC D P E 1 2 H PEC PDC 1 2 DPE DCE 90 PE PD 综合 i ii iii PE PD 2 过点P作PF BC 垂足为F 则BF FE AP x AC 2 PC x PF FC 2 xx 2 2 1 2 2 2 BF FE 1 FC 1 x 2 2 1 x 2 2 S PBE BF PF x 2 2 x 2 2 1 xx 2 2 2 1 2 即 0 x xxy 2 2 2 1 2 2 4 1 2 2 2 1 2 2 2 1 22 xxxy 0 2 1 a 当时 y最大值 2 2 x 4 1 1 证法二 过点P作GF AB 分别交AD BC于G F 如图所示 四边形ABCD是正方形 四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形 AGP和 PFC都是等腰直角三角形 GD FC FP GP AG BF PGD PFE 90 又 PB PE BF FE GP FE EFP PGD SAS PE PD 1 2 1 3 2 3 90 DPE 90 PE PD 2 AP x BF PG PF 1 x 2 2 x 2 2 S PBE BF PF x 2 2 x 2 2 1 xx 2 2 2 1 2 即 0 x xxy 2 2 2 1 2 2 A BC P D EF A BC P D EF G 1 2 3 4 1 2 2 2 1 2 2 2 1 22 xxxy 0 2 1 a 当时 y最大值 2 2 x 4 1 9 如图 直线 y k1x b 与反比例函数 y k2x 的图象交于 A 1 6 B a 3 两点 1 求 k1 k2的值 2 直接写出 k1x b k2x 0 时 x 的取值范围 3 如图 等腰梯形 OBCD 中 BC OD OB CD OD 边在 x 轴上 过点 C 作 CE OD 于点 E CE 和反比例函数的图象交于点 P 当梯形 OBCD 的面积为 12 时 请判断 PC 和