四边形的旋转与翻折

精品文档 1欢迎下载 一 正三角形类型 一 正三角形类型 在正 ABC 中 P 为 ABC 内一点 将 ABP 绕 A 点按逆时针方向旋转 600 使得 AB 与 AC 重合 经过这样 旋转变化 将图 1 1 a 中的 PA PB PC 三条线段集中于图 1 1 b 中的一个 P CP 中 此时 P AP 也为正三角形 例 1 如图 1 1 设 P 是等边 ABC 内的一点 PA 3 PB 4 PC 5 APB 的度数是 二 正方形类型 二 正方形类型 在正方形 ABCD 中 P 为正方形 ABCD 内一点 将 ABP 绕 B 点按顺时针方向旋转 900 使得 BA 与 BC 重合 经过旋转变化 将图 2 1 a 中的 PA PB PC 三条线段集中于图 2 1 b 中的 CPP 中 此时 BPP 为等腰直角三角形 例 2 如图 2 1 P 是正方形 ABCD 内一点 点 P 到正方形的三个顶点 A B C 的距离分别为 PA 1 PB 2 PC 3 求此正方形 ABCD 面积 8 精品文档 2欢迎下载 三 等腰直角三角形类型 三 等腰直角三角形类型 在等腰直角三角形 ABC 中 C Rt P 为 ABC 内一点 将 APC 绕 C 点按逆时针方向旋转 900 使得 AC 与 BC 重合 经过这样旋转变化 在图 3 1 b 中的一个 P CP 为等腰直角三角形 例 3 如图 在 ABC 中 ACB 900 BC AC P 为 ABC 内一点 且 PA 3 PB 1 PC 2 求 BPC 的度 数 平移 旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换 所谓几何变换就是根据确定的法则 对给定的图形 或其 一部分 施行某种位置变化 然后在新的图形中分析有关图形之间的关系 这类实体的特点是 结论开放 注重考查学生的猜想 探索能力 便于与其它知识相联系 解题灵活多变 能够考察学生分析问题和解决 问题的能力 在这一理念的引导下 近几年中考加大了这方面的考察力度 特别是 2006 年中考 这一部分 的分值比前两年大幅度提高 为帮助广大考生把握好平移 旋转和翻折的特征 巧妙利用平移 旋转和翻折的知识来解决相关的问题 下面以近几年中考题为例说明其解法 供大家参考 一 平移 旋转一 平移 旋转 精品文档 3欢迎下载 平移 在平面内 将一个图形沿某个方向移动一定的距离 这样的图形运动称为平移 一定的方向 称为平移方向 一定的距离 称为平移距离 平移特征 图形平移时 图形中的每一点的平移方向都相同 平移距离都相等 旋转 在平面内 将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度成为与原来相等的图形 这样的图形 运动叫做图形的旋转 这个定点叫做旋转中心 图形转动的角叫做旋转角 旋转特征 图形旋转时 图形中的每一点旋转的角都相等 都等于图形的旋转角 例例 1 1 如图 将 ABC绕顶点A顺时针旋转 60 后得到 AB C 且C 为BC的中点 则C D DB A 1 2 B 1 C 1 D 1 3 点评 点评 本例考查灵活运用旋转前后两个图形是全等的性质 等边三角形的判断和含 30 角的直角三角形的 性质的能力 解题的关键是发现 AC C是等边三角形 二 翻折二 翻折 翻折 翻折是指把一个图形按某一直线翻折 180 后所形成的新的图形的变化 翻折特征 平面上的两个图形 将其中一个图形沿着一条直线翻折过去 如果它能够与另一个图形重合 那么说这两个图形关于这条直线对称 这条直线就是对称轴 解这类题抓住翻折前后两个图形是全等的 弄清翻折后不变的要素 翻折在三大图形运动中是比较重要的 考查得较多 另外 从运动变化得图形得特殊位置探索出一般 的结论或者从中获得解题启示 这种由特殊到一般的思想对我们解决运动变化问题是极为重要的 值得大 家留意 例例 2 2 如图 将矩形ABCD沿AE折叠 若 BAD 30 则 AED 等于 A 30 B 45 C 60 D 75 精品文档 4欢迎下载 点评点评 本例考查灵活运用翻折前后两个图形是全等的性质的能力 解题的关键是发现 EAD EAD AED AED 点评点评 图形沿某条线折叠 这条线就是对称轴 利用轴对称的性质并借助方程的的知识就能较快得到 计算结果 由此看出 近几年中考 重点突出 试题贴近考生 贴近初中数学教学 图形运动的思想 图形的 旋转 翻折 平移三大运动 都一一考查到了 因此在平时抓住这三种运动的特征和基本解题思路来指导我 们的复习 将是一种事半功倍的好方法 平移与旋转实际上是一种全等变换 由于具有可操作性 因而是考查同学们动手能力 观察能力的好 素材 也就成了近几年中考试题中频繁出现的内容 题型多以填空题 计算题呈现 在解答此类问题时 我们通常将其转换成全等求解 根据变换的特征 找到对应的全等形 通过线段 角的转换达到求解的目 的 例 1 如图 直角梯形 ABCD 中 AD BC AB BC AD 2 BC 3 将腰 CD 以 D 为中心 逆时针旋转 90 至 ED 连结 AE CE 则 ADE 的面积是 A 1 B 2 C 3 D 不能确定 精品文档 5欢迎下载 点评 明确 ADE 的边 AD 上的高的概念不要误写成 DE 作梯形高是常见的解题方法之一 变式题 1 如图 已知 ABC 中 AB AC BAC 90 直角 EPF 的顶点 P 是 BC 中点 两边 PE PF 分 别交 AB AC 于点 E F 给出以下五个结论 1 AE CF 2 APE CPF 3 EPF 是等腰直角三角形 4 EF AP 5 S四边形 AEPF S ABC 2 当 EPF 在 ABC 内绕顶点 P 旋转时 点 E 不与 A B 重合 上述结论中始终正确的序号有 例 2 D E 为 AB 的中点 将 ABC 沿线段 DE 折叠 使点 A 落在点 F 处 若 B 50 则 BDF 点评 几何变换没有可套用的模式 关键是同学们要善于多角度 多层次 多侧面地思考问题 观察问题 分析问题 变式题 2 如图 矩形纸片 ABCD AB 2 ADB 30 将它沿对角线 BD 折叠 使 ABD 和 EBD 落在同一 平面内 则 A E 两点间的距离为 旋转具有以下特征 1 图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度 2 对应点到旋转中心的距离相等 3 对应角 对应线段相等 4 图形的形状和大小都不变 利用旋转的特征 可巧妙解决很多数学问题 如 一一 求线段长求线段长 精品文档 6欢迎下载 例 如图 已知长方形 ABCD 的周长为 20 AB 4 点 E 在 BC 上 且 AE EF AE EF 求 CF 的长 二二 求角的大小求角的大小 例 如图 在等边 ABC中 点 E D 分别为 AB BC 上的两点 且 BE CD AD 与 CE 交于点 M 求 AME 的 大小 三三 进行几何推理进行几何推理 例 如图 点 F 在正方形 ABCD 的边 BC 上 AE 平分 DAF 请说明 DE AF BF 成立的理由 数学思想是解数学题的精髓和重要的指导方法 在平移和旋转中的应用也相当的广泛 一般可以归结为 两种思想 对称的思想和旋转的思想 具体的分析如下 1 1 对称的思想 对称的思想 在平移 旋转 对称这些概念中 对称这一概念非常重要 它包括轴对称 旋转对称 中心对称 对称是一种种要的思想方法 在解题的应用非常广泛 例 例 观察图中所给的图案 它可以看成由哪个较基本的图形经过哪些运动变换产生的 它是不是轴对 称图形 旋转对称图形 中心对称图形 分析 分析 这是一个涉及轴对称平移 旋转的综合性例子 解题思路主要通过直观观察取得 精品文档 7欢迎下载 这个图案较基本的图形是正方形 一个小正方形沿对角线方向平移一个对角线长 两个对角线长后得 一正方形串 然后在串的轴线上找一点O为旋转中心 旋转三个 90 后得到题目中给出的图案 整个过程 如图所示 这个图形是轴对称 旋转对称 中心对称图形 方法探究方法探究 这里的较基本图形也可以看成线段 一线段经平移 旋转后得一正方形 然后重复上面的过程 2 2 旋转的思想 旋转的思想 旋转也是图形的一种基本变换 通过图形旋转变换 从而将一些简单的平面图形按要求旋 转到适当的位置 使问题获得简单的解决 它是一种要的解题方法 例 例 如图 正方形 ABCD 内一点 P PAD PDA 15 连结 PB PC 请问 PBC 是等边三角形吗 为什么 精品文档 8欢迎下载 1 如图 ABC 是等腰直角三角形 BC 为斜边 将 ABP 绕点 A 逆时针旋转后 能与 ACP 重合 如果 AP 3 请求出 PP 的长 2 如图 在 ABC 中 BAC 120 以 BC 为边向形外作等边三角形 BCD ABD 绕点 D 按顺时针方向旋 转 60 后得到 ECD 若 AB 3 AC 2 求 BAD 的度数与 AD 的长 3 如图 点 O 是等边 ABC 内一点 AOB 110 BOC 将 BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60 得 ADC 连接 OD 1 试说明 COD 是等边三角形 2 当 150 时 试判断 AOD 的形状 并说明理由 3 探究 当为多少度时 AOD 是等腰三角形 4 如图在 ABCD中 E F 分别是 AD BC 边上的任意两点 P C A B P C B D A E Q P D A CB E F 精品文档 9欢迎下载 则 S 阴影 22 30 20cmScmS CDQAPB 5 如图 已知在 ABCD中 E F是对角线BD上的两点 BE DF 点G H分别在BA和DC的延长线上 且 AG CH 连接GE EH HF FG 求证 四边形GEHF是平行四边形 6 如图 在四边形 ABCD 中 AB CD 点 E F 分别是 BC AD 的中点 连接 EF 并延长 分别与 BA CD 的 延长线交于点 M N 则 BME CNE 不需证明 精品文档 10欢迎下载 小明的思路是 在图 1 中 连接 BD 取 BD 的中点 H 连接 HE HF 根据三角形中位线定理 证明 HE HF 从而 1 2 再利用平行线性质 可证得 BME CNE 1 如图 2 在四边形 ADBC 中 AB 与 CD 相交于点 O AB CD E F 分别是 BC AD 的中点 连接 EF 分别交 DC AB 于点 M N 判断 OMN 的形状 请直接写出结论 2 如图 3 在 ABC 中 AC AB D 点在 AC 上 AB CD E F 分别是 BC AD 的中点 连接 EF 并 延长 与 BA 的延长线交于点 G 若 EFC 60 连接 GD 判断 AGD 的形状并证明 7 如图 在 ABC 中 AB AC AD 是 ABC 的角平分线 点 O 位 AB 的中点 连接 DO 并延长到点 E 使 OE OD 连接 AE BE 1 求证 四边形 AEBD 是矩形 2 当 ABC 满足什么条件时 矩形 AEBD 是正方形 并说明理由 8 如图 平行四边形ABCD中 ABAC 1AB 5BC 对角线ACBD 相交于点O 将直 线AC绕点O顺时针旋转 分别交BCAD 于点EF 1 证明 当旋转角为90 时 四边形ABEF是平行四边形 精品文档 11欢迎下载 2 试说明在旋转过程中 线段AF与EC总保持相等 3 在旋转过程中 四边形BEDF可能是菱形吗 如果不能 请说明理由 如果能 说明理由并求出此 时AC绕点O顺时针旋转的度数 9 在 ABC 中 AB AC BAC 0 60 将线段 BC 绕点 B 按逆时针方向旋转 60 得到线段 BD 1 如图 1 直接写出 ABD 的大小 用含 的式子表示 2 如图 2 BCE 150 ABE 60 判断 ABE 的形状并加以证明 3 在 2 的条件下 连接 DE 若 DEC 45 求 的值 10 在 ABC 中 AB AC 点 D 在边 BC 边所在的直线