1.2.3循环语句

级数趣题导学案级数趣题导学案 引例引例 庄子 天下篇 中记述了一个著名命题 一尺之棰 日取其半 万世不竭 反 映这个命题本质的式子是 A B C D 1 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著 书中有如下问题 今有女子善 织 日益功疾 初日织五尺 今一月织九匹三丈 1 匹 40 尺 一丈 10 尺 问日益几何 其意思为 有一女子擅长织布 每天比前一天更加用功 织布的速度也越来越快 从第 二天起 每天比前一天多织相同量的布 第一天织 5 尺 一月织了九匹三丈 问每天增加 多少尺布 若一个月按 30 天算 则每天增加量为 A 尺 B 尺 C 尺 D 尺 变式 1 张丘建算经 卷上第 22 题为 今有女善织 日益功疾 且从第 2 天起 每 天比前一天多织相同量的布 若第一天织 5 尺布 现有一月 按 30 天计 共织 390 尺布 则该女最后一天织多少尺布 A B C D 变式 2 张丘建算经 是我国古代内容极为丰富的数学名著 书中有如下问题 今 有女不善织 日减功迟 初日织五尺 末日织一尺 今三十织迄 问织几何 其意思为 有个女子不善于织布 每天比前一天少织同样多的布 第一天织五尺 最后一天织一尺 三十天织完 问三十天共织布 A 30 尺 B 90 尺 C 150 尺 D 180 尺 探究题组一 等差级数问题 探究题组一 等差级数问题 1 九章算术 是我国古代的数学名著 书中有如下问题 今有五人分五钱 令上二 人所得与下三人等 问各得几何 其意思为 已知甲 乙 并 丁 戊五人分 5 钱 甲 乙 两人所得与丙 丁 戊三人所得相同 且甲 乙 丙 丁 戊所得依次成等差数列 问五 人各得多少钱 钱 是古代的一种重量单位 这个问题中 甲所得为 A 钱 B 钱 C 钱 D 钱 2 我国古代数学名著 张邱健算经 有 分钱问题 如下 今有人与钱 初一人与三 钱 次一人与四钱 次一人与五钱 以次与之 转多一钱 与讫 还数聚与均分之 人得 一百钱 问人几何 则分钱问题中的人数为 引例引例 2 古代数学著作 九章算术 有如下问题 今有女子善织 日自倍 五日织 五尺 问日织几何 意思是 一女子善于织布 每天织的布都是前一天的 2 倍 已知她 5 天共织布 5 尺 问这女子每天分别织布多少 根据上述的已知条件 可求得该女子前 3 天所织布的总尺数为 探究题组二 等比级数问题 探究题组二 等比级数问题 1 在明朝程大位所著 算法统宗 中 有这样的一首歌谣 叫做浮屠增级歌 远看巍 巍塔七层 红光点点倍加增 共灯三百八十一 请问尖头几盏灯 这首古诗描述的这个宝 塔其古称浮屠 它一共有七层 每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍 全塔总共有 381 盏灯 问塔顶有几盏灯 据此 你算出顶层悬挂的红灯的盏数为 A 5 B 4 C 3 D 4 变式变式 一首小诗 数灯 诗曰 远望灯塔高七层 红光点点倍加增 顶层数来有四 盏 塔上共有多少等 答曰 A 252 盏 B 256 盏 C 508 盏 D 512 盏 引例引例 3 古代数学著作 九章算术 有如下问题 今有女子善织 日自倍 五日五 尺 问日织几何 意思是 一女子善于织布 每天织的布都是前一天的 2 倍 已知她 5 天共织布 5 尺 问这女子每天分别织布多少 根据上题的已知条件 若要使织布的总尺数 不少于 30 尺 该女子所需的天数至少为 A 7 B 8 C 9 D 10 探究三 盈不足术 探究三 盈不足术 1 九章算术 中 两鼠穿墙题 是我国数学的古典名题 今有垣厚 5 尺 两鼠对穿 大鼠日一尺 小鼠也日一尺 大鼠日自倍 小鼠日自半 问几何日相逢 各穿几何 题意 是 有两只老鼠从墙的两边 沿一直线相对打洞穿墙 大老鼠第一天进 尺 以后毎天加 倍 小老鼠第一天也进 尺 以后每天减半 它们几天可以把墙穿透相逢 当堂检测当堂检测 1 我国古代 9 是数字之极 代表尊贵之意 所以中国古代皇家建筑中包含许多与 9 相关的设计 例如 北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成 如图 最高一层是一块 天心石 围绕它的第一圈有 9 块石板 从第二圈开始 每一圈比前一圈多 9 块 共有 9 圈 则前 9 圈的石板总数是 2 中国古代数学著作 算法统宗 中有这样一个问题 三百七十八里关 初行健步 不为难 次日脚痛减一半 六朝才得到其关 要见次日行里数 请公仔细算相还 其大意 为 有一个人走了 378 里路 第一天健步行走 从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天 的一半 走了 6 天后到达目的地 问此人第 1 天走了 里 3 在我国古代著名的数学专著 九章算术 里有 段叙述 今有良马与驽马发长安 至齐 齐去长安一千一百二十五里 良马初日行一百零三里 曰增十三里 驽马初日行九 十七里 曰减半里 良马先至齐 复还迎驽马 二马相逢 问 几日相逢 A 日 B 日 C 日 D 日 中国古代数学名著 中国古代数学名著 九章算术九章算术 张邱建算经张邱建算经 算法统宗算法统宗 孙子算经孙子算经 中国古代数学家 张邱建 刘徽 祖冲之 祖暅 杨辉 赵爽 秦九韶中国古代数学家 张邱建 刘徽 祖冲之 祖暅 杨辉 赵爽 秦九韶 不朽的古代数学名著不朽的古代数学名著 九章算术九章算术 每当提起中国古代数学 肯定会提到 九章算术 九章算术 是流传至今的我国一部古代数学典籍 根据考证 大约成书于东汉初期 作者姓名不详 九章算术 是中国古典数学的一部最重要的经典著作 它总结了我国先秦至西汉的数 学成果 形成以问题为中心的算法体系 它是我国传统文化的一部分 有着鲜明的特色 对世界数学宝库作出了重要贡献 我国杰出的古代数学家刘徽于魏景元四年 263 年 首次注释 九章算术 唐初 数 学家李淳风于显庆元年 656 年 奉命对 九章算术 也作了注释 刘徽在 九章算术注序 中说 往昔暴秦焚书 经术散坏 自时厥后 汉北平侯张苍 大司农中丞耿寿昌皆以善算命世 苍等因旧文之遗残 各称删补 可见 在秦朝以前已 有算书流传 但因受秦始皇焚书而散失 后来张苍和耿寿昌等收集了旧算书的残篇 进行 了删补 他们删补校订旧算书的目的显然是为了培养行政官吏 或教习官家子弟 以实用 为宗旨 1983 年从湖北江陵张家山出土的西汉早年 约公元前 180 年左右 的竹简算书 算数书 也是采用问题集的形式 并按算法将问题分类 其中大部分算法术语 都出现在以后的 九章 算术 之中 因此 算数书 可能是 九章算术 的取材来源之一 九章 算术 就 是在这类算书的基础上 经过多人之手 不断补充 修改 增订而逐步形成的 由于 九章算术 是我国古代数学教材之一 在民间流传较为广泛 所以 对我国古代 数学的影响十分巨大 九章算术 对分数 正负数的记载是世界上早而有系统的论述 这不仅 早于欧洲 也比印度的有关记载早五 六世纪 我国古代虽然没有无理数的明确记载 但是 九章算术 里早有这一概念的萌芽 刘 徽意识到有一种开不尽方的数 为了近似地表示这种开不尽方的数 便创造了十进制分 数 刘徽十分重视比例算法 当比例算法传到欧洲时 欧洲人对比例算法也很重 视 不但称为 黄金算法 而且往往还把简单的问题化为比例问题去研究 九章算术 里提出的方程组的解法是 直除 法 直除 法就是连续相 减的消元法 直除 法与现今加减消元法在理论上是完全一致的 可见我国在很早以前就掌握了这种解法 它 不但比印度婆罗摩笈多的解法早五百多年 也比法国别朱的解法早一千五百余年 此外 九 章算术 还给出了世界上最早的 不定方程问题 五家共井 刘徽独立地创造了割圆术 系统而严密地用内接正多边形的面积求得圆周 率的近似值 刘徽的割圆术既给我国古代数学开拓了新的道路 也给近代数学奠定 了必要的基础 在割圆术里刘徽创立并使用了极限观念 这是我国第一个 创立并使用极限 观念的数学家 他的业绩是值得表彰的 九章算术 不但对我国古代数学有极大影响 对世界数学的发展也起着重要作用 因 而引起各国专家的重视 前苏联于 1957 年由别辽迟金娜将 九章 算术 译为俄文 1975 年日本出版 了大矢真一的日译本 1988 年西德出版了福格尔的德译本 侨居英国的王铃作了英译工作 但是 这些译本只译了 九章算术 的经文 却未译刘徽 李淳风的注文 附录 一 九章算术 简介 九章算术 是一部问题集形式的算书 共有 246 个问题 按不同算法类型分为九章 每章所含问题数目不相等 大致按照由简到繁的次序排列 第一章 方田 列题 38 个 主要讲平面几何图形面积 土地面积 的计算方法 包括长 方形 直田 等腰三角形 圭田 直角梯形 邪田 等腰梯 形 箕田 圆 圆田 及圆环 环田 等的面积公式 方田章从第五题开始就系统讲述分数的运算 其中包括约分 通分 分数的四则 运算 比较分数的大小 以及求几个分数的算术平均数等 第二章 粟米 列题 46 个 主要讲各种粮食折算的比例问题 在成比例的四个数中 根 据三个已知数求第四个数 所用方法称为 今有术 第三章 衰分 列题 20 个 衰分是按比例递减分配的意思 这一章主要讲按比例分配物 资或按一定比例摊派税收的比例分配问题 其中含有用比例方法解决的等差数列 等比数 列问题 第四章 少广 列题 24 个 主要讲已知正方形面积或长方体体积反求边长 即开平方或 开立方的方法 还给出了由圆面积求周长 由球体积求直径的近似公式 由于取圆周率为 3 所以精确度较差 第五章 商功 列题 28 个 主要讲各种形体的体积计算公式 涉及的几何体有长方体 棱柱 棱锥 棱台 圆柱 圆锥 圆台 楔形体等 问题的大都来源于营造城 垣 开凿沟渠 修造仓窖等实际工程 第六章 均输 列题 28 个 均输意为按人口多少 路途远近和谷物贵贱合理摊派税收和 劳役等 这一章主要讲以赋税计算和其它应用问题为中心的较为复杂的比例问题的计算方 法 第七章 盈不足 列题 20 个 主要讲以盈亏问题为中心的计算方法 第八章 方程 列题 18 个 主要讲一次方程组问题的解法 并提出了关于正 负数加减 运算的 正负术 第九章 勾股 列题 24 个 主要讲勾股定理的应用和测量问题 以及勾股容方和容圆问 题的法 二 算数书简介 1984 年在湖北省江陵县张家山 247 号西汉楚墓里出土了一部古代数学著作 算数书 它由二百余支竹简组成 其中有185 支比较完整 全书共有小标题60 余个 小标题的内容分两大类 第一类是计算方法 其中又可分为两小类 一是关于整数乘法和分数加法 减法 乘 法 除法的计算法则 如 乘 合 分 分数加法 矢曾 增 减分 分 数加减法 分乘 分数乘法 径 经 分 分数除法 约分 等 二是关 于某一问题的具体算法 第二大类是关于生产实践的应用题 这类标题最多 共有 50 余题 此 外 还有 20 多道题没有标题 算数书 的成书时间约在公元前二世纪 是中国现已发现的最古的一部算书 比 周 髀算经 略早 比 九章算术 要早约二百年 而且是出土的竹简书 使人更可以了解中 国古代算术的原貌 由于 算数书 的内容和书写体例与 九章算术 相似 因此 可以认为 九章算术 源于 算数书 三 刘徽简介 刘徽 生于公元 250 年左右 魏晋数学家 魏景元四年注 九章算术 九卷 撰 重差 一卷 九章重差图 一卷 唐代初年 九章重差图 失传 重差 一卷单行 被称为 海岛算 经 他在注 九章算术 中提出了很多的创见 尤其是在割圆术和四面体体 积 公式的推算中应用极限概念 是他的最大创造 他正确地计算出圆内接正 192 边形的 面积 从而得到圆周率 的近似值为 157 50 3 14 又计算出圆内接正 3072 边形的面积 从而得到 3927 1250 3 1415 在注文中 他还定义了一些重要数学概 念 并对 九章算术 中的许多算法进行了推理证明 刘徽是中国数学史上一个非常伟大的数学家 在世界数学史上 也占有杰 出的地 位 他的杰作 九章算术注 和 海岛算经 是我国最宝贵的数学遗产 九章算术 在许多方面 如解联立方程 分数四则运算 正负数运算 几何图形的体积面积计算等 都属于世 界先进之列 但因解法比较原始 缺乏必要的证明 而刘徽则对此均作了补充证明 在这些证明中 显示了他 多方面的创造性的贡献 他是世界上最早提出十进 小 数 概 念 的 人 并 用 十 进 小 数 来 表 示 无 理 数 的 立 方根 在代数方面 他正确地提出了正负数的概念 及其加 减运算的法则 改进了线性方程组的解法 在几何方面 提出了 割圆 术 即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法 他利用割圆 术科学地求出了圆周率 3 14 的结果 刘徽在割圆术中提出的 割之弥细 所 失弥少 割之又割以至于不可割 则与圆合体而无所失矣 这可视为中国古代 极限观念的佳作 课后作业 1 在 增删算法统宗 中有这样一则故事 三百七十八里关 初行健步不为难 次日脚 痛减一半 六朝才得其关 意思是某人要走三百七十八里的路程 第一天脚步轻快有力 走了一段路程 第二天脚痛 走的路程是第一天的一半 以后每天走的路程都是前一天的 一半 走了六天才走完这段路程 则下列说法错误的是 A 此人第二天走了九十六里路 B 此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 C 此人第三天走的路程占全程的 D 此人后三天共走了 42 里路 2 九章算术 是我国古代内容极为丰富的一部数学专著 书中有如下问题 今有女子善 织 日增等尺 七日织二十八尺 第二日 第五日 第八日所织之和为十五尺 则第九日 所织尺数为 A 8 B 9 C 10 D 11 3 在 张邱建算经 中有一道题 今有女子不善织布 逐日所织的布比同数递减 初日 织五尺 末一日织一尺 计织三十日 由此推断 该女子到第 10 日时 大约已经完成三 十日织布总量的 A 33 B 49 C 62 D 88 4 古代中国数学辉煌灿烂 在 张丘建算经 中记载 今有十等人 大官甲等十人官赐 金 以等次差降之 上三人先入 得金四斤持出 下四人后入 得金三斤持出 中央三人 未到者 亦依等次更给 问 各得金几何及未到三人复应得金几何 则该问题中未到三人 共得金多少斤 A B C 2 D 5 南北朝时期的数学古籍 张邱建算经 有如下一道题 今有十等人 每等一人 宫赐 金以等次差 即等差 降之 上三人 得金四斤 持出 下四人后入得三斤 持出 中间 三人未到者 亦依等次更给 问 每等人比下等人多得几斤 A B C D 6 莱因德纸草书