【师说系列】2014届高考数学一轮练之乐 1.2.1变化率与导数、导数的计算 文

1 师说系列师说系列 2014 2014 届高考数学一轮练之乐届高考数学一轮练之乐 1 2 11 2 1 变化率与导数 导变化率与导数 导 数的计算数的计算 文文 一 选择题 1 函数 f x 在点 x0 f x0 处的切线平行于 x 轴 则 f x0 lnx x A B C D e2 1 e 1 e 1 e2 解析 与 x 轴平行的切线 其斜率为 0 所以 f x0 0 故 1 x0 x0 lnx0 x2 0 1 lnx0 x2 0 x0 e f x0 1 e 答案 B 2 阅读下图所示的程序框图 其中 f x 是 f x 的导数 已知输入 f x s inx 运行 相应的程序 输出的结果是 A sinx B sinx C cosx D cosx 解析 f1 x sinx cosx f2 x cosx sinx f3 x sinx cosx f4 x cosx sinx f5 x sinx cosx 它以 4 为周期进行变换 故 f2011 x f3 x cosx 答案 D 3 已知点 P 在曲线 y 上 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角 则 的取值范围是 4 ex 1 A 0 B 4 4 2 2 C D 2 3 4 3 4 解析 设曲线在点 P 处的切线斜率为 k 则 k y 因为 4ex 1 ex 2 4 ex 1 ex 2 ex 0 所以由基本不等式得 k 又 k 0 1 k 0 即 4 2ex 1 ex 2 1 tan 0 所以 3 4 答案 D 4 有一机器人的运动方程为 s t2 t 是时间 s 是位移 则该机器人在时刻 t 2 时 3 t 的瞬时速度为 A B 19 4 17 4 C D 15 4 13 4 解析 s t t2 s t 2t 机器人在时刻 t 2 时的瞬时速度为 s 2 3 t 3 t2 4 3 4 13 4 答案 D 5 已知函数 f x 的导函数为 f x 且满足 f x 2xf 1 x2 则 f 1 A 1 B 2 C 1 D 2 解析 f x 2f 1 2x 令 x 1 得 f 1 2 选 B 答案 B 6 已知函数 f x x2 bx 的图象在点 A 1 f 1 处的切线 l 与直线 3x y 2 0 平行 若数列 的前 n 项和为 Sn 则 S2011 的值为 1 f n A B 2010 2011 2009 2010 C D 2008 2009 2011 2012 解析 f x 2x b 由 f 1 2 b 3 得 b 1 于是 1 f n 1 n2 n 1 n n 1 1 n 1 n 1 S2011 1 1 1 f 1 1 f 2 1 f 2011 1 2 1 2 1 3 1 2011 1 2012 1 2012 2011 2012 答案 D 二 填空题 7 函数 y sinx cosx 在 x 处的切线方程是 解析 当 x 时 y sin cos 1 切点为 1 3 y cosx sinx k cos sin 1 根据点斜式可得此切线的方程为 y 1 1 x 即 y x 1 答案 y x 1 8 若曲线 f x ax3 lnx 存在垂直于 x 轴的切线 则实数 a 的取值范围是 解析 依题意得 f x 3ax2 0 x 0 有实根 1 x a 0 1 3x3 答案 0 9 在平面直角坐标系 xOy 中 点 P 在曲线 C y x3 10 x 3 上 且在第二象限内 已知 曲线 C 在点 P 处的切线斜率为 2 则点 P 的坐标为 解析 设 P x0 y0 x0 0 由题意知 y 0 xx 3x 10 2 2 0 x 4 2 0 x0 2 x0 2 舍去 y0 15 点 P 的坐标为 2 15 答案 2 15 三 解答题 10 设有抛物线 C y x2 x 4 通过原点 O 作 C 的切线 y kx 使切点 P 在第一象 9 2 限 1 求 k 的值 2 过点 P 作切线的垂线 求它与抛物线的另一个交点 Q 的坐标 解析 1 设点 P 的坐标为 x1 y1 则 y1 kx1 y1 x x1 4 2 1 9 2 代入 得 x x1 4 0 2 1 k 9 2 P 为切点 2 16 0 k 9 2 得 k 或 k 17 2 1 2 当 k 时 x1 2 y1 17 17 2 当 k 时 x1 2 y1 1 1 2 P 在第一象限 所求的斜率 k 1 2 2 由 1 得 P 点坐标为 2 1 过 P 点的切线的垂线为 y 2x 5 由Error Error 得Error Error 或Error Error 舍 点 Q 的坐标为 9 2 4 4 11 2013 绍兴调研 设 t 0 点 P t 0 是函数 f x x3 ax 与 g x bx2 c 的图象的 一个公共点 两函数的图象在点 P 处有相同的切线 试用 t 表示 a b c 解析 因为函数 f x g x 的图象都过点 t 0 所以 f t 0 即 t3 at 0 因为 t 0 所以 a t2 g t 0 即 bt2 c 0 所以 c ab 又因为 f x g x 在点 t 0 处有相同的切线 所以 f t g t 而 f x 3x2 a g x 2bx 所以 3t2 a 2bt 将 a t2 代入上式得 b t 因此 c ab t3 故 a t2 b t c t3 12 设函数 f x ax 曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为 7x 4y 12 0 b x 1 求 f x 的解析式 2 求曲线 y f x 上任一点处的切线与直线 x 0 和直线 y x 所围成的三角形面积为定值 并求此定值 解析 1 方程 7x 4y 12 0 可化为 y x 3 7 4 当 x 2 时 y 1 2 又 f x a b x2 于是Error Error 解得Error Error 故 f x x 3 x 2 设 P x0 y0 为曲线上任一点 由 y 1 知曲线在点 P x0 y0 处的切线方程为 3 x2 y y0 1 x x0 3 x2 0 即 y x0 1 x x0 3 x0 3 x2 0 令 x 0 得 y 6 x0 从而得切线与直线 x 0 的交点坐标为 0 6 x0 令 y x 得 y x 2x