2012年高考数学《直线和圆》专题 圆的方程学案

1 第第 5 5 课时课时 圆的方程圆的方程 1 1 圆心为 C a b 半径为 r 的圆的标准方程为 2 2 圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0 其中 D2 E2 4F 0 圆心为 半径 r 3 3 二元二次方程 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 表示圆的方程的充要条件是 4 4 圆 C x a 2 y b 2 r2的参数方程为 x2 y2 r2的参数方程为 5 5 过两圆的公共点的圆系方程 设 C1 x2 y2 D1x E1y F1 0 C2 x2 y2 D2x E2y F2 0 则经过两圆公共点的圆系 方程为 例例 1 1 根据下列条件 求圆的方程 1 经过 A 6 5 B 0 1 两点 并且圆心在直线 3x 10y 9 0 上 2 经过 P 2 4 Q 3 1 两点 并且在 x 轴上截得的弦长为 6 解 解 1 AB 的中垂线方程为 3x 2y 15 0 由 09103 01523 yx yx 解得 3 7 y x 圆心为 C 7 3 半径 r 65 故所求圆的方程为 x 7 2 y 3 2 65 2 设圆的一般方程为 x2 y2 Dx Ey F 0 将 P Q 两点坐标代入得 FED FED 103 2042 令 y 0 得 x2 Dx F 0 由弦长 x1 x2 6 得 D2 4F 36 解 可得 D 2 E 4 F 8 或 D 6 E 8 F 0 故所求圆的方程为 x2 y2 2x 4y 8 0 或 x2 y2 6x 8y 0 变式训练变式训练 1 1 求过点 A 2 3 B 2 5 且圆心在直线 x 2y 3 0 上的圆的方 程 由 A 2 3 B 2 5 得直线 AB 的斜率为 kAB 5 3 2 2 1 2 典型例题典型例题 基础过关基础过关 2 线段 AB 的中点为 0 4 线段 AB 的中垂线方程为 y 4 2x 即 y 2x 4 0 解方程组 240 230 xy xy 得 1 2 x y 圆心为 1 2 根据两点间的距离公式 得半径 r 2 1 2 3 2 210 所求圆的方程为 x 1 2 y 2 2 10 例例 2 2 已知圆 x2 y2 x 6y m 0 和直线 x 2y 3 0 交于 P Q 两点 且 OP OQ O 为坐标原点 求该圆的圆心坐标及半径 解解 方法一方法一 将 x 3 2y 代入方程 x2 y2 x 6y m 0 得 5y2 20y 12 m 0 设 P x1 y1 Q x2 y2 则 y1 y2满足条件 y1 y2 4 y1y2 5 12m OP OQ x1x2 y1y2 0 而 x1 3 2y1 x2 3 2y2 x1x2 9 6 y1 y2 4y1y2 m 3 此时 0 圆心坐标为 3 2 1 半径 r 2 5 方法二方法二 如图所示 设弦 PQ 中点为 M O1M PQ 2 1 MO k O1M 的方程为 y 3 2 2 1 x 即 y 2x 4 由方程组 032 42 yx xy 解得 M 的坐标为 1 2 则以 PQ 为直径的圆可设为 x 1 2 y 2 2 r2 OP OQ 点 O 在以 PQ 为直径的圆上 0 1 2 0 2 2 r2 即 r2 5 MQ2 r2 在 Rt O1MQ 中 O1Q2 O1M2 MQ2 2 1 2 1 3 2 2 5 4 4 6 1 2 m m 3 半径为 2 5 圆心为 3 2 1 方法三方法三 设过 P Q 的圆系方程为 x2 y2 x 6y m x 2y 3 0 3 由 OP OQ 知 点 O 0 0 在圆上 m 3 0 即 m 3 圆的方程可化为 x2 y2 x 6y 3 x 2 y 3 0 即 x2 1 x y2 2 3 y 0 圆心 M 2 3 2 2 1 又圆在 PQ 上 2 1 2 3 3 0 1 m 3 圆心为 3 2 1 半径为 2 5 变式训练变式训练 2 2 已知圆 C x 1 2 y 2 2 25 及直线 l 2m 1 x m 1 y 7m 4 m R R 1 证明 不论 m 取什么实数 直线 l 与圆 C 恒相交 2 求直线 l 被圆 C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程 1 证明证明 直线 l 可化为 x y 4 m 2x y 7 0 即不论 m 取什么实数 它恒过两直线 x y 4 0 与 2x y 7 0 的交点 两方程联立 解得交点为 3 1 又有 3 1 2 1 2 2 5 25 点 3 1 在圆内部 不论 m 为何实数 直线 l 与圆恒相交 2 解解 从 1 的结论和直线 l 过定点 M 3 1 且与过此点的圆 C 的半径垂直时 l被圆 所截的弦长 AB 最短 由垂径定理得 AB 2 22 CMr 54 21 13 252 22 此时 kt CM k 1 从而 kt 31 12 1 2 l 的方程为 y 1 2 x 3 即 2x y 5 例例 3 3 知点 P x y 是圆 x 2 2 y2 1 上任意一点 1 求 P 点到直线 3x 4y 12 0 的距离的最大值和最小值 2 求 x 2y 的最大值和最小值 3 求 1 2 x y 的最大值和最小值 解解 1 圆心 C 2 0 到直线 3x 4y 12 0 的距离为 d 5 6 43 1204 2 3 22 P 点到直线 3x 4y 12 0 的距离的最大值为 4 d r 5 6 1 5 11 最小值为 d r 5 6 1 5 1 2 设 t x 2y 则直线 x 2y t 0 与圆 x 2 2 y2 1 有公共点 22 21 2 t 1 5 2 t 5 2 tmax 5 2 tmin 2 5 3 设 k 1 2 x y 则直线 kx y k 2 0 与圆 x 2 2 y2 1 有公共点 1 23 2 k k 1 4 33 k 4 33 kmax 4 33 kmin 4 33 变式训练变式训练 3 3 已知实数 x y 满足方程 x2 y2 4x 1 0 1 求 y x 的最大值和最小值 2 求 x2 y2的最大值和最小值 解解 1 y x 可看作是直线 y x b 在 y 轴上的截距 当直线 y x b 与圆相切时 纵截距 b 取 得最大值或最小值 此时 3 2 02 b 解得 b 2 6 所以 y x 的最大值为 2 6 最小值为 2 6 2 x2 y2表示圆上的一点与原点距离的平方 由平面几何知识知 在原点与圆心连线与圆 的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心到原点的距离为 22 00 02 2 所以 x2 y2的最大值是 2 3 2 7 43 x2 y2的最小值是 2 3 2 7 43 例例 4 4 设圆满足 截 y 轴所得的弦长为 2 被 x 轴分成两段圆弧 其弧长的比为 3 1 在满足条件 的所有圆中 求圆心到直线 l x 2y 0 的距离最小的圆的方程 解法一解法一设圆的圆心为 P a b 半径为 r 则点 P 到 x 轴 y 轴的距离分别为 b a 由题设条件知圆 P 截 x 轴所得的劣弧所对的圆心角为 90 圆 P 截 x 轴所得的弦长为r 2 故 r2 2b2 又圆 P 截 y 轴所得的弦长为 2 所以有 r2 a2 1 从而得 2b2 a2 1 5 点 P 到直线 x 2y 0 的距离为 d 2 5 ab 5d2 a 2b 2 a2 4b2 4ab 2a2 2b2 4ab 1 2 a b 2 1 1 当且仅当 a b 时取等号 此时 5d2 1 d 取得最小值 由 a b 及 2b2 a2 1 得 11 11 aa bb 或 进而得 r2 2 所求圆的方程为 x 1 2 y 1 2 2 或 x 1 2 y 1 2 2 解法二解法二同解法一 得 d 2 5 ab 所以 a 2b d 5 a2 4b2 4bd 5d2 将 a2 2b2 1 代入整理得 2b2 4bd 5d2 1 0 55 把 看成关于 b 的二次方程 由于方程有实数根 故 0 即 8 5d2 1 0 5d2 1 可见 5d2有最小值 1 从而 d 有最小值 将其代入 式得 2b2 4b 2 0 b 1 r2 2b2 2 a2 2b2 1 1 a 1 由 a 2b 1 知 a b 同号 故所求圆的方程为 x 1 2 y 1 2 2 或 x 1 2 y 1 2 2 变式训练变式训练 4 4 如图 图 O1和圆 O2的半径都等于 1 O1O2 4 过动点 P 分别作圆 O1和圆 O2的 切线 PM PN M N 为切点 使得 PM 2PN 试建立平面直角坐标系 并求动点 P 的轨迹方 程 解 解 以 O1 O2的中点为原点 O1O2所在的直线为 x 轴 建立平面直角坐标系 则 O1 2 0 O2 2 0 如图 由 PM 2PN 得 PM2 2PN2 PO12 1 2 PO22 1 设 P x y x 2 2 y2 1 2 x 2 2 y2 1 即 x 6 2 y2 33 为所求点 P 的轨迹方程 1 本节主要复习了圆的轨迹方程 要明确 必须具备三个独立条件 才能确定一个圆的方 程 2 求圆的方程时一般用待定系数法 若已知条件与圆心 半径有关 可先由已知条件