《信号与系统》-信号与系统教案第三章

信 号 与 系 统,第三章离散时间系统的时域分系信息科学技术学院 光电工程系二零零六年第上学期,第三章 离散时间系统的时域分系,3.1 引言1离散时间系统 连续时间系统对xn进行预定的加工、处理、变换或传输，而成为另一离散函数 yn的设备（软、硬件），装置的集合。 2. 离散时间系统的数学模型差分方程描述离散时间系统,3. 离散时间系统的分析 时域分析法：差分方程法 卷积和 频域分析法：频域分析法（FFT-第六章) 复频域分析法（Z变换-第八章）3.2 离散时间系统的差分方程 1.微分方程的差分方程近似 利用计算机对微分方程进行数值解时，常需要把微分方程离散化： 把 一阶微分方程 离散化，,令 xn=xnT 离散化x(t) yn=ynT 离散化y(t) , T 是抽样间隔 ，n=0,1,2。 一阶导数与一阶差分： 即 一阶差分： 则，上面微分方程可化为,T,yn-1,yn,二阶导数与二阶差分： 即 二阶差分：,三阶导数与二阶差分： 三阶差分： 高阶后差分：注意： 抽样间隔T越小差分方程的解越接近微分方程的解； 前向差分： 通常差分方程的输出（解）不仅与现在的输入有关而且还跟过去的输 出有关（初态影响）,2. 实际问题的差分方程描述一些实际问题本身就具有离散性，因此，只能用差分方程表示。例：由雷达，计算机构成的飞机导航系统 yn-1 表飞机n-1 时刻的实际高度，xn表飞机n 时刻的计算高度。 飞机第n秒上升的高度 应与 差 （xn-yn-1）成正比， 即， yn-yn-1=A(xn-yn-1) 或 yn+(A-1)yn-1=Axn,3. 差分方程的形式 A. 后向差分方程： N 阶递归差分方程： 或 非递归差分方程： 式为有反馈系统。实际应用中常描述无限冲激响应滤波器（IIR滤波器） 式为无反馈系统。实际应用中常描述有限冲激响应滤波器（FIR滤波器）,例. 写出下图表示的有反馈系统的输入输出关系 yn=2( xn-3 yn-1 ) 或 yn=2xn-6yn-1 B. 前向差分方程注意： 差分方程各项序值如果同时加减同一个数，差分方程所描述的 输入输出关系不变，形式虽不一样其实质是一样的 。 前向差分方程和后向差分方程可互相转化，通常用后向差分方程。 例： 把上式的n换成n+1可得,xn 2 yn,4. 差分方程的初始条件（方程的唯一解） 后向差分方程的初始条件： y-1, y-2, y-N； (4.1-1) 对于因果系统，n0，xn=0，则有n0, yn=0, y-1 = y-2, y-N=0. (4.1-2) 前向差分方程的初始条件： yN-1= yN-2= y0； (4.1-3) 对于因果系统，把(4.1-2)式的各序号都加N 得： yN-1, =yN-2,= = y0=0 (4.2-4) 5. 差分方程的解法 递推法； 经典法； 零输入、零状态响应法。,A. 递推法（迭代法） 例 yn-1/2yn-1=xn ，y-1=C, xn=kn，求yn。 解： y0=x0+1/2y-1= k0+1/2C = k+1/2C y1=x1+1/2y0= k0 +1/2(k+1/2C) =(1/2)2 C+1/2k y2=x2+1/2y1= k0 +1/2(1/2)2 C+1/2k) =(1/2) 3C+(1/2)2 k yn=(1/2)n+1 C + (1/2)n k n0. 该法简便，易于计算机处理，但一般只能得到数值解。 B. 经典法 yn=yhn+ ypn全解 先分别求出奇次解 yhn 和特解 ypn，然后代入边界条件求出待定系数。 该法求解过程繁琐，现已很少采用。（略）,C.零输入、零状态响应法 yn=y0n+ yxny0n零输入响应yxn零状态响应 用奇次解的方法求零输入响应y0n。方程： 用卷积和的方法求零状态响应yxn。 yxn= xn* hn3.3 LIT离散时间系统的零输入响应 1. 奇次方程的解 奇次方程： a0 y n+ a1 y n-1+ aN y n-N=0 y0 -1， y0 -2， y0 -N 。 (3-1) 零输入解的形式： 令 y0n=Cn ，并代入到齐次方程（3-1）中，,a0 y0 n+ a1 -1y0 n+ aN -N y0 n=0， (y0 n-k= C (n-k) = -k y0 n) (a0 + a1 -1+ aN -N ) y0 n=0 a0 + a1 -1+ aN -N =0 或 a0 N + a1 N -1+ a2 N -2 + aN =0 特征方程 是特征方程的根 （1）若N个特征根互异，则里输入响应为 y0n=C11n+C22n+CNNn (3-2) 由初始条件定出C1, C2, , CN ： y0-1=C11-1+C22-1+CNN-1 y0-2=C11-2+C22-2+CNN-2 y0-2=C11-N+C22-N+CNN-N 。,是范德蒙矩阵，是非奇异的其逆矩阵为 (3-3),（2）若是r重实根，则零输入响应为 y0 n=(C1 nr-1 +C2 nr-2+ Cr-1 n + Cr )n (3-4) (3)若a0，a1， aN都是实数，当方程有复根i=| | e j时，则必有共轭 复根i+1=| | e -j 。且有系数： Ci=|C| e j ,和Ci+1= Ci * =|C| e -j ,则零输入响应为： y0 n=Ci i n +Ci+1 i+1 n = |C| | |n e j (n +) + |C| | |n e -j (n +) =2 |C| | |n cos(n+)归纳如下表：,例1. 已知 yn-5 yn-1+6 yn-2= xn，y 0-1=7/6， y 0-2=23/36，求 y 0n=? 解：特征方程： 2-5 +6=0，(-2)(-3)=0, 得 1 =2， 2 =3， y 0n=C 12 n + C 23 n由初始条件定常数 C i ： y 0-1=C 12 -1 + C 23 -1=7/6 y 0-2=C 12 -2 + C 23 -2=23/36 得 C 1 =3， C 2 = -1 y 0n=3 (2) n - 3 n 例2. 已知 yn + 2yn-1+2 yn-2= xn，y 0-1=0， y 0-2=1，求 y 0n=? 解：特征方程： 2 +2+2=0 , 得:,则 2. 初始条件有跃变时的零输入响应的求解 当初始条件是由初始状态和输入同时引起时（初始条件有跃变，输入中有n 信号），初始条件为 y 0k 是初始状态引起的初始条件， y xk 是输入信号引起的初始条件 初始条件 y k 含有输入信号的影响，不能直接用来求零输入响应y 0n ,但可用来求经典法的完全响应。 yn=yhn+ ypn全解. 零输入响应由初始条件 y 0k 确定, y 0k一般由初始条件 y k 来确定，要判断y k中间哪些与输入无关，它们就是y 0k，通常的做法是取与输入无关的n值代入原差分方中来确定。 当y 0k， y xk， yk 中的k值不符合求解的要求时，可由系统差分方程通过递推来解决。例1. 已知 2 yn +12yn-1 + 24 yn-2+ 16 yn-3= xn，输入xn= 2n，初始条件 y 00=1， y 0-1= -1， y 0-2=11/8，求 y 0n=? 解：先确定 y 0k，令n= -1 ,则原差分方程为 2 y-1 +12y-2 + 24 y-3+ 16 y-4= x-1=2-1=0 可见 y -1= y 0-1， y -2= y 0-2， y -3= y 0-3， y -4= y 0-4； 把 n=0代入原方程得 2 y0 +12y-1 + 24 y-2+ 16 y-3= x0=20=2， 可见 y 0= y 00 是输入引起的初始条件。 且 y 3=(2- y 00-12 y 0-1-24 y 0-2 )/16= -21/16 从而 y 0k 为： y 0-1 ， y 0-2 ， y 0-3 。,求方程的特征根： 23 + 122 + 24+ 16 =0, 123= -2， 零输入响应为 y0 n=C1 (-2) n +C2 n (-2) n + C3 n 2(-2) n 由如下初始条件确定Ci y0 -1=C1 (-2) -1 -C2 (-2) -1 + C3 (-2) -1 = -1 y0 -2=C1 (-2) -2 -2C2 (-2) -2 + 4C3 (-2) -2=11/8 y0 -3=C1 (-2) -3 -3C2 (-2) -3 + 9C3 (-2) -3= -21/16 得 C1 =0， C2 = -5/4， C3 =3/4。 则， y0 n=-5/4 n (-2) n +4/3 n 2(-2) n,3.4 用抽样序列表示任意序列 单位抽样响应,(t)h(t); x()(t-)x()h(t-);离散系统是否有类似的结论？,1.任意抽样序列可由单位抽样构成 考察下面的任意函数 xn 显然有 xn= x-2n+2+ x-1n+1+ x0n+ x1n-1+ x2n-2 任意离散函数可表示为单位抽样序列（基函数）的加权和：,2. 单位抽样序列响应hn 定义为：有nhn。 单位抽样序列响应的求法 A . 一阶系统 yn +a yn-1= b xn， 令 xn= n，并代入原方程，对应的解就是 yn=hn： hn +a hn-1= b n 或 hn = b n a hn-1 利用因果系统 h-1=0,并以此为起点递推出 n=0,1,2,n时，hn的表达式，即可。 例 .已知系统的差分方程 yn -1/2 yn-1= xn，求单位抽样响应解：令 xn= n、n= -1，原方程化为 hn 1/2 hn-1= n； h-1 1/2 h-2= -1=0，即，n0 ) B . 高阶系统 a0 y n+ a1 y n-1+ aN y n-N= x n y0 -1， y0 -2， y0 -N ， 当 x n=n 时，成为 a0 h n+ a1 h n-1+ aN hn-N=n (3-33)按前面的递推法对（3-33）求出初始条件： 显然，hn=0，n2时有 奇次解（零转态响应）为 用递推法求得初始条件为 要同时考虑n 和-3 n-2 的影响，初始条件应选h1和h2，或h2与h3 有：,解得 则为了得到 n0的结果，须补上h0=1和h1=5的值即可：注意：由于选的初始条件是h1=5和h2=16，其解实际上是n1的结果，即为了得到 n0的结果，须补上h0=1值即可：这和前面的结果是一样的,3.5 LTI离散时间系统的零状态响应 卷积和 1. 卷积和及其意义 nhn xk n-k xk hn-k 卷积和(离散卷积）： 或 y xn=xn*hn =hn *xn 卷积和的意义： 系统的零状态输出y xn是输入xn与单位抽样响应hn的卷积和； hn 是系统特性的描述。,当为有始信号时， 因 n0时， hn=0 。有： LTI离散系统零状态响应常用的卷积公式： 例1.已知LTI系统的单位抽样序列 hn=b nun，输入xn=a nun,求其零状态响应。 解：,例2.已知系统的差分方程 y n - 5y n-1 + 6 y n-2 = x n ，输入xn=un, 求零状态响应。 解：由上面C中例题知所以，零状态响应为为了方便，下面列出常用序列的离散卷积：,常用序列的离散卷积表,例 3. 已知系统的差分方程 y n 5/2y n-1 + y n-2 = 6x n-7x n-1 +5x n-2 ，输入xn=un, 初始状态y0 -1 ， y0 -2 =7/2，求系统全响应。 解：（1）零输入响应 特征方程为 32 -5/2 + 1 = (2-1) (/2-1) =0 , 得 1=1/2， 2=2。 y0 n= c1(1/2) n + c2 (2) n 由初始条件 y0 -1= 2c1 + c2 /2=1 y0 -2=4 c1 + c2 /4=7/2 解得 c1 =1， c2 = -2。代入y0 n中得： y0 n= (1/2) n - 2 (2) n （2）零状态响应 单位抽样响应 令 x n=n ，则 y n= hn。 hn- (5/2) hn-1+ hn-2=6 n -7 n-1 +5 n-2,先求n 的响应 零状态响应 由 yn=xn*hn,(3) . 全响应 yn= y0 n+ yx n =(1/2)n -2 (2)n + 4(1/2)n +10 (2)n -8 = 5 (1/2)n + 8 (2)n 8， n03.6 卷积和的图解 P90，略。,3.7 用单位抽样响应表示系统的性质单位抽样响应hn反映了系统的因果性、稳定性、记忆性可逆性和连接性质等。1. LTI系统的稳定性 稳定系统 输入有界，输出也有界的系统。 稳定系统条件分析 有界信号xn，存在 | xn | 稳定条件例. 已知一个LTI离散时间系统的单位抽样响应 hn=n un 是判断它是否为稳定系统。 解： 当| |1时，1/(1- ), 为不稳定系统。,2. LTI系统的因果性 因果系统输出不领先于输入出现的系统，即输出仅决定于此时的输入 和过去的输入xn, xn-1, xn-2, ，而与未来的输入xn+1, xn+2, 无关。 因果条件分析 对于 xn yn 有 显然，当 hn=0, nn， 此时， yn与未来的输入无关，是因果系统的输出。 因果系统的充要条件 hn=0, n0。,例. 下面LTI离散时间系统的单位抽样响应，判断它们是否是因果系统。 (a).hn=n u n; (b).hn= n+n0,； (c).hn= n n-1； (d).hn= u 2-n; 解: (a)，(c)是因果系统，因为它们满足充要条件 hn=0, n0。(b)中当n00时，是因果系统；当n00时，不是是因果系统。 2. LTI系统的记忆性无记忆系统输出仅决定于同一时刻的输入的系统： yn=k x n ; 显然, 无记忆系统条件 hn= k n.,记忆系统输出不仅与现在的输入xn有关，且与过去的输入xn-k输出yn-k有关的系统. 记忆系统判定方法： 利用卷积和 判断，当含有 例1. 判断 ：a. hn=n +n-1；b. hn=un，是否为记忆系统。 解 a： yn= hn* xn= (n +n-1)* xn = xn+ xn-1， yn与过去输入xn-1有关，为记忆系统。 b. 此时，yn与过去输入xk有关，所以，为记忆系统。,4. LTI系统的可逆性 可逆系统可以找到一个逆系统，使它与原系统级联后的输出等于原系统 的输入。 图3-10. 可逆系统 可逆系统分析 如图3-10， zn= h 1n* yn =h 1n* (hn* xn) =(h 1n* hn) *xn = xn . 要想上式成立，必须 h 1n* hn=n。 可逆条件： h n* h1 n=n。,例. 已知LTI系统的单位抽样响应 h n=un,是判断它是否为可逆系统。解：可找到一单位抽样响应 h 1n=n +n-1， 且 hn* h 1n= (n +n-1)* un = un- un-1 = n 所以，该系统为可逆系统。 5. LTI系统的联接 k个子系统级联： hn= h 1n *h