《信号与系统》-信号与系统教案第五章

信 号 与 系 统,第五章离散时间傅里叶变换离散时间信号的谱分析信息科学技术学院 光电工程系二零零六年第上学期,第五章离散时间傅里叶变换离散时间信号的谱分析,5.1 引言内容概述：（1）抽样定理 解决连续时间和离散时间信号传输间的等效问题（如何采样才能包含x(t)的全部信息）。（2）周期离散时间信号 离散时间傅里叶级数表示。（3）非周期离散时间信号 离散时间傅里叶变换表示。（4）离散傅里叶变换的性质与应用 （5）离散时间信号的卷积、相关定理。,5.2连续时间信号的离散化，时域抽样定理1.连续时间信号的离散化（1）基本概念（2）抽样方法抽样： 即， 或 图形表示,(3). 唯一性问题 问题：T=?时，x p(t)能唯一地表示原信号（包含x(t)的全部信息）例 .下图的采样中 采样间隔不合适，样本函数不能唯一地表示函数。考察抽样信号的频谱：,结论：x(t)离散化后的频谱是以x(t)的频谱X(),以s为间隔的周期性重复，在幅度上为X()/T. 一个函数在一个域（时域或频域）内是周期性的，则在另一个域（频域或时域）内必然具有离散形式，反之亦然。 若s2m或T1/2fm时,样本函数xp(t)的频谱无重叠现象，此时xp(t)能唯一地表征信号x(t)（包含了x(t)的全部信息）。否则s2tm( 频域中信号X()的抽样频率T0大于时域中信号x(t)的时间宽度两倍）或f0 2tm条件下对X()抽样，得 则与一门函数GTo(t)相乘:,x(t),注意：频域抽样时，若T0 1/2tm 在恢复信号时就会出现时域混选 失真。 周期信号有离散谱： ； 离散信号具有周期性的频谱： ； 周期离散信号的频谱既是离散的又是周期的。 5.3 周期的离散时间信号的表示离散傅里叶级数1.离散信号的基函数复指数序列 是周期序列 周期为N， 基波频率：,复指数序列集 谐波分量 (k 1 )的频率是基频 ( k = 1 ) 0=2/N的整数倍,即 因为 中只有 N个是独立的（线性无关的）,并可以证明它们是正交的。 即 （可用数学归纳法证明） 成谐波关系的复指数序列 构成周期为N的离散函数空间的一组基 。,2.周期为N的任意离散时间信号的表示,任意周期为 N 的离散信号x ( t) = x( tN)，有 其中 ck 为傅里叶系数，可利用 的正交特性求解，即离散傅里叶级数对周期离散函数（信号）的表示,类比周期连续函数的傅里叶级数注：周期为N的离散函数xn，可以在N为周期的基函数 的空间分解（N个谐波分量），即有 的谐波分量，或是一系列谐波分量 的合成综合式（5-34）式。 ck是离散傅里叶系数或频谱系数，反映信号对应的谐波分量的大小; 由ck=ck+N，周期离散信号（函数）具有的离散周期性的频谱（可由xn=xn+N推得），这与周期性连续函数的频谱（ck）是不一样的。 同周期连续函数一样，实数序列有c-k= c*k。离散傅里叶系数ck的求解 A. 解联立方程法 由（5-34）式得,B. 正交函数系数法 由（5-35）式 C. 对于xn中只含正弦函数的序列，可直接用欧拉公式求ck。 例1 .已知 xn =sin0 n，求其频谱系数。 解： 0 / 2 =m/N（ m,N互质的整数）时，xn是周期为N离散序列，因而,n 行, m列,即， m=1,N=5的频谱图 m=3,N=5的频谱图 0/ 2不为有理数时， xn不是周期序列，不能展开为傅里叶级数。,例2.已知 x n =1 +sin(2/N)n +3 cos(2/ N)n +cos( 4n /N +/ 2 ) ，式中 N 为整数，求其频谱。解：显然xn是周期为N的周期序列，由欧拉公式得,例3.已知一个周期性方波序列，如图5-12所示，求其频谱。,解：,N=10N=20N=0,周期性方波C kN图,注：N1不变时，周期N越大谱线越密，但kN的包络不变。时，xn称为非周期序列，非周期序列具有连续谱。比较周期矩形脉冲的谱：为什么在离散情况下不能得到这样的结果？原因是：离散（时域）周期性（频域）.离散傅里叶级数的收敛性 傅里叶级数对：考察它的部分和，看是否存在连续函数中的吉伯斯现象：,当 c k为实数时，可用 c k k 0图。M =1M =2M=3M= 4结论：离散傅里叶级数不存在吉伯斯现象； 离散傅里叶级数不存在收敛问题。, 5.5 非周期离散时间信号的表示 离散时间傅立叶变换1.非周期序列的表示考虑： 令,-N -N1 0 N1 N n,(1)离散时间傅里叶变换对 ( 非周期离散时间信号的表示 ) 或 结论： 是周期连续函数，从而有： 非周期离散时间函数xn对应于频域中一个连续的周期性的频率函数 或非周期离散时间函数xn具有连续的周期性的频谱。 时域 频域 连续的（非周期的） 非周期的（连续的） 周期性（离散性） 离散性（周期性） 非周期的、离散的 连续的、周期性的 周期序列的离散傅里叶系数ck等于包络函数X(ejok)的抽样值： (类比连续函数的结果： ，提供了一种求ck的方法）,（2）离散时间傅里叶变换的收敛性若xn是序列长度有限， ，不存在收敛问题。若xn是序列长度无限，当 时， 存在，否则 不 存在。 综合式5-54为有限区间积分，因此离散时间傅里叶积分不存在任何收敛问题。（3）离散时间傅里叶变换和连续时间傅里叶变换的差别 1. 2. 3. X(ej) 的频谱区间 N0为2,(4)离散时间傅里叶变换计算举例例1.求 xt=nun ,| |1，频谱的解：直接用公式求 例1.求 xt=|n| ,01，的频谱解： 能量主要集中在低频,例3. 一矩形脉冲序列 的频谱，其中N1=2.解： （ 是连续的）比较周期矩形脉冲序列的频谱：,NCk,例4. 求单位抽样序列的频谱。解：所有的频率分量具有相等的大小，与连续情况一样( F(t)=1 )。考察部分和：非周期离散序列无吉伯斯现象, 5.6离散傅里叶级数和离散时间傅里叶变换的关系1.离散傅里叶系数和离散时间傅里叶变换的关系 其中 则 （见 5.5节） 即,周期序列 的离散傅里叶系数ck 是它一个周期内序列xn 的离散时间傅立叶变换 的抽样值（取0=2/N).,例1.求周期抽样序列串 的傅里叶系数。解：取第一个周期的序列值： 则 （见上节例4） 2. 周期序列的离散时间傅里叶变换回顾：连续周期函数的傅里叶变换周期序列的离散时间傅里叶变换又是怎样的？,从周期序列的基复指数序列的离散时间傅里叶变换着手。（1）基函数（复指数序列）的傅氏变换即 反证法：,（2）一般序列的离散时间傅里叶变换任意序列都有 （5-78） 证明过程，参见其他有关书。 若 为无理数时，该序列为非周期序列，任意序列的傅氏变换 （5-79） 若 为有理数时，该序列为周期序列，此时 可得周期序列的离散时间傅里叶变换：,（3）周期序列的离散时间傅里叶变换 （5-82）,第一项第二项第三项所有项,可见，在一个周期内只含（5-82）式中每一和式的一项且间隔为2/N，从而：周期序列的离散时间傅里叶变换为比较连续周期函数的傅氏变换：注意：（5-79）式适合于任何序列，不管周期还是非周期的。 （5-82）、（5-83）式仅适合周期序列用； 不管什么序列，在任意2间隔内，只包含（5-79）、 （5-82）式的每一和式中的一项。,例1.求余弦序列 的频谱。解：因不知是否为周期序列，因此，利用任意序列的傅氏变换来做 这一结果对研究余弦载波的振幅调制非常有用。,例2.求周期抽样序列串 的傅里叶变换。解： 可见，时域周期越大，频域间隔越小，它们的乘积总是为2。, 5.7离散傅里叶变换（有限长非周期序列的表示） 回顾： 四类信号的傅里叶变换 周期连续时间信号 傅里叶级数对 非周期离散谱 非周期连续时间信号傅里叶变换对 非周期连续谱 周期离散时间信号 离散傅里叶级数对 周期离散谱 非周期离散时间信号 离散时间傅里叶变换对 周期连续谱,问题：实际中常遇到有限长的非周期信号，为了便于计算机处理常需要离散化成为有限长非周期序列xn，其频谱X(ej)显然为连续频率函数，不能直接进行数字处理。为此，如何将频谱X(ej)变为有限长序列，以便计算机处理。1.有限长序列的表示 离散傅里叶变换 有限长（N）序列 周期为N的序列 ck 显然 取 中的一个周 期，记为Xk，则 称离散傅里叶变换 DFT (Discrete Fourier Transform)。,另一方面，在 一个周期内，有 称离散傅里叶反变换IDFT（Inverse Discrete Fourier Transform)离散傅里叶变换对（有限长序列的表示 ）记为 或比较：周期序列xn，离散时间傅里叶级数对,比较：非周期序列xn，离散时间傅里变换对注意：Xk只是xn的频谱X(ej)的N个样本值，所以Xk是xn的离散近似谱。 离散傅里叶变换与离散傅里叶级数、离散时间傅里叶变换之间有着密切联系，也承袭了离散时间傅里叶变换的某些重要性质，在数字信号分析和系统实现中有着广泛的用途。 DFT有一种快速有效的算法来实现FFT（快速傅里叶变换）。 式（5-89）、（5-90）中的周期N选取很灵活，只要比xn或相应yn的持续期长就可以了。,2.离散傅里叶变换计算举例 首先引入符号： 则，矩阵表示：,注意：系数矩阵具有周期性和对称性，因而有快速算法FFT.例1.求序列xn=1,1,1,1的DFT解：N=4点的DFT， 或 Xk=4k另解：将xn周期N=4 的开拓，得周期冲击序列 ，对应的傅里叶系数（见前面例题） 则，取第一个周期得,例2.求序列Xk=4,0,0,0的IDFT解：N=4点的IDFT，例3.求序列xn=1,2,1,0的DFT解：N=4点的DFT，, 5.8离散时间傅里叶变换的性质1.周期性非周期序列周期序列2.线性 若 则 DFT、DFS也一样。3.共轭对称性 xn是一个实数，则 一般情况X(ej)是复数，即,从而：且又 DFS和DFT也有类似的结果。4.位移性 DFS和DFT也有类似的结果。5.频移性 DFS和DFT也有类似的结果。,6.时域差分 DFS和DFT也有类似的结果。7.时域求和 若 X(ej0)=0,推导： 若 X(ej0)0, 右边出现冲击串，说明求和时可能出现直流或平均值。,例 1.求yn=un的频谱解： DFS和DFT也有类似的结果。8.反转 DFS和DFT也有类似的结果。9.尺度变换性质 图！ DFS和DFT也有类似的结果。,10.频域微分性质11.帕色伐尔定理证：, 5.9.时域卷积定理及其应用1.时域卷积定理（非周期序列）2.时域卷积定理的应用频域分析法：以复指数序列 ejn响应以及这些不同频率的复指数序列的线性组合的响应为基础，分析任意非周期xn序列的响应。 对于 LTI系统（见第六章）且,则，即，xn的零状态响应：显然xn的输出yn的频谱含义： LTI系统对输入序列xn的作用是改变频率振幅|X(ej)|和相位arg X(ej)频率振幅和相位变换器的作用。滤波器：让需要的频率通过，（不改变振幅和相位），抑制干扰频率（噪声）减小其振幅或使其为零。,例1.LTI系统 hn=n-m, xn X(ej) 用频域分析法求xn通过系统后的波形。解： 即，将输入信号xn延时m.例2.LTI系统 hn=nun, xn=nun, 求xn通过系统后的响应。解：先求H(ej)、X(ej),. （1） 时（2） 时 由频域微分性质,注：级联系统 并联系统 只有稳定的LTI系统（ )才有频率响应H(ej) 510周期卷积定理及其应用 用DFT计算两个有限长序列的卷积1.周期卷积的定义对于周期序列 前面的卷积定义不收敛，所以两个周期为N的序列的卷积的重新定义。 卷积的定义：说明： 的计算与选哪一个长度为N的区间无关。,2.周期卷积定理周期序列若 则证明： 的离散傅里叶系数乘以N为注：主要用途是，在系统分析中可用DFT来计算两个有限序列的卷积。,3.用DFT计算两个有限长序列的卷积（用周期序列 算有限长序列 ）有限长序列： 长度分别为N1,N2.即 x 1n=0，n在 区间 0 N1 -1 外时。 x 2n=0，n在 区间 0 N2 -1 外时。 有限长序列 N= N1+ N2-1。 定义周期为N的两个序列即,算法：求 x1n,x2n,的DFT FFT 可做、，从而本算法是一种计算有限长序列卷积的高效算法。,511周期相关定理及其应用 1.序列相关的定义（非周期相关）定义：有限长序列 x1n、x2n，序列长分别为N1，N2。 yn是长N=N1+N2