直线、平面平行的判定及其性质_测试题(有详解)

金太阳教育网金太阳教育网 第 1 页 共 15 页 金太阳教育网金太阳教育网 直线 平面平行的判定及其性质直线 平面平行的判定及其性质 测试题 有详解 测试题 有详解 A 一一 选选择择题题 1 下列条件中 能判断两个平面平行的是 A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 2 E F G分别是四面体ABCD的棱BC CD DA的中点 则此四面体中与过E F G的截 面平行的棱的条数是 A 0 B 1 C 2 D 3 3 直线及平面 使成立的条件是 ab c ab A B C D ab ab ac bc ab 4 若直线 m 不平行于平面 且 m 则下列结论成立的是 A 内的所有直线与 m 异面 B 内不存在与 m 平行的直线 C 内存在唯一的直线与 m 平行 D 内的直线与 m 都相交 5 下列命题中 假命题的个数是 一条直线平行于一个平面 这条直线就和这个平面内的任何直线不相交 过平 面外一点有且只有一条直线和这个平面平行 过直线外一点有且只有一个平面和这条直 线平行 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行 a 和 b 异面 则经过 b 存在 唯一一个平面与平行 A 4 B 3 C 2D 1 6 已知空间四边形中 分别是的中点 则下列判断正确的是 ABCD M N AB CD A B 1 2 MNACBC 1 2 MNACBC C D 1 2 MNACBC 1 2 MNACBC 二二 填填空空题题 7 在四面体 ABCD 中 M N 分别是面 ACD BCD 的重心 则 四面体的四个面中与 MN 平行的是 8 如下图所示 四个正方体中 A B为正方体的两个顶点 M N P分别为其所在棱的中点 能得到 AB 面 MNP 的图形的序号的 是 金太阳教育网金太阳教育网 第 2 页 共 15 页 金太阳教育网金太阳教育网 D C A B B1 A1 C1 9 正方体 ABCD A1B1C1D1中 E 为 DD 中点 则 BD1和平面 ACE 位置关系是 1 三三 解解答答题题 10 如图 正三棱柱的底面边长是 2 侧棱长是 D 是 AC 的中点 求证 111 CBAABC 3 平面 1C BBDA1 11 如图 在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中 E M N G 分别是 AA1 CD CB CC1的 中点 求证 1 MN B1D1 2 AC1 平面 EB1D1 3 平面 EB1D1 平面 BDG B 一一 选选择择题题 1 是两个不重合的平面 a b 是两条不同直线 在下列条件下 可判定 的是 A 都平行于直线 a b B 内有三个不共线点到 的距离相等 C a b 是内两条直线 且 a b D a b 是两条异面直线且 a b a b 2 两条直线 a b 满足 a b b 则 a 与平面的关系是 A a B a 与相交C a 与不相交D a 3 设表示直线 表示平面 P 是空间一点 下面命题中正确的是 a b A 则 B 则a a a b ab C 则 D 则 ab ab Pa Pa a 4 一条直线若同时平行于两个相交平面 那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是 A 异面B 相交C 平行D 不能确定 5 下列四个命题中 正确的是 夹在两条平行线间的平行线段相等 夹在两条平行线间的相等线段平行 如果一 条直线和一个平面平行 那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等 如果一条直线和 一个平面平行 那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行 A B C D 6 a b 是两条异面直线 A 是不在 a b 上的点 则下列结论 成立的是 A 过 A 有且只有一个平面平行于 a b 金太阳教育网金太阳教育网 第 3 页 共 15 页 金太阳教育网金太阳教育网 B 过 A 至少有一个平面平行于 a b C 过A有无数个平面平行于a b D 过A且平行a b的平面可能不存在 二 填空题二 填空题 7 a b 为三条不重合的直线 为三个不重合的平面 直线均不在平面内 给 出六个命题 a a a ca c c c ba b a ba cb ca 其中正确的命题是 将正确的序号都填上 8 设平面 A C B D 直线 AB 与 CD 交于 S 若 AS 18 BS 9 CD 34 则 CS 9 如图 正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 E F G H 分别是棱 CC1 C1D1 DD1 DC 中点 N 是 BC 中点 点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动 则 M 满足 时 有 MN 平面 B1BD D1 三 解答题三 解答题 10 如图 在正四棱锥中 点在棱PABCD PAABa E 上 问点在何处时 并加以证明 PCE PAEBD平面 11 如下图 设 P 为长方形 ABCD 所在平面外一点 M N 分别为 AB PD 上的点 且 求证 直线 MN 平面 PBC MB AM NP DN C 1 平面内两正方形ABCD与ABEF 点M N分别在对角线AC FB上 且 AM MC FN NB 沿 AB 折起 使得 DAF 900 1 证明 折叠后 MN 平面 CBE 2 若AM MC 2 3 在线段 AB 上是否存在一点G 使平面MGN 平 面CBE 若存在 试确定点 G 的位置 2 设平面 平面 AB CD 是两条异面直线 M N 分别是 AB CD 的中点 且 A C B D 求证 MN 平面 E P DC B A 金太阳教育网金太阳教育网 第 4 页 共 15 页 金太阳教育网金太阳教育网 A B C D E MN a b 金太阳教育网金太阳教育网 第 5 页 共 15 页 金太阳教育网金太阳教育网 参考答案参考答案 A 一 选择题 1 D 提示 当时 内有无数多条直线与交线 平行 同时这些直线也与平面l l 平行 故 A B C 均是错误的 2 C 提示 棱 AC BD 与平面 EFG 平行 共 2 条 3 C 提示 则或异面 所以 A 错误 则或异 ab ab a b ab ab a b 面或相交 所以 B 错误 则或异面 所以 D 错误 a b ab ab a b 则 这是公理 4 所以 C 正确 ac bc ab 4 B 提示 若直线 m 不平行于平面 且 m 则直线 m 于平面相交 内不存在与 m 平行的直线 5 B 提示 错误 过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行 有无数多条直线 与它平行 过直线外一点有无数个平面和这条直线平行 平行于同一条直线的两条直线 和同一平面平行或其中一条在平面上 6 D 提示 本题可利用空间中的平行关系 构造三角形的两边之和大于第三边 二 填空题 7 平面 ABC 平面 ABD 提示 连接 AM 并延长 交 CD 于 E 连结 BN 并延长交 CD 于 F 由重心性质可知 E F 重合为一点 且该点为 CD 的中点 E 由 得 MN AB 因此 MN 平面 MA EM NB EN 2 1 ABC 且 MN 平面 ABD 8 提示 对于 面 MNP 面 AB 故 AB 面 MNP 对于 MP AB 故 AB 面 MNP 对于 过 AB 找一个平面与平面 MNP 相交 AB 与交线显然不平行 故 不能推证 AB 面 MNP 9 平行 提示 连接 BD 交 AC 于 O 连 OE OE B D OEC 平面 ACE B D 平面 11 ACE 三 解答题 10 证明证明 设与相交于点 P 连接 PD 则 P 为中点 1 AB BA1 1 AB 金太阳教育网金太阳教育网 第 6 页 共 15 页 金太阳教育网金太阳教育网 D 为 AC 中点 PD CB1 又PD平面D 平面D BA1 CB1BA1 11 证明证明 1 M N 分别是 CD CB 的中点 MN BD 又BB1DD1 四边形 BB1D1D 是平行四边形 所以 BD B1D1 又 MN BD 从而 MN B1D1 2 法 1 连 A1C1 A1C1交 B1D1与 O 点 四边形 A1B1C1D1为平行四边形 则 O 点是 A1C1的中点 E 是 AA1的中点 EO 是AA1C1的中位线 EO AC1 AC1面 EB1D1 EO面 EB1D1 所以 AC1 面 EB1D1 法 2 作 BB1中点为 H 点 连接 AH C1H E H 点为 AA1 BB1中点 所以 EHC1D1 则四边形 EHC1D1是平行四边形 所以 ED1 HC1 又因为 EAB1H 则四边形 EAHB1是平行四边形 所以 EB1 AH AHHC1 H 面 AHC1 面 EB1D1 而 AC1面 AHC1 所以 AC1 面 EB1D1 3 因为 EAB1H 则四边形 EAHB1是平行四边形 所以 EB1 AH 因为 ADHG 则四边形 ADGH 是平行四边形 所以 DG AH 所以 EB1 DG 又BB1DD1 四边形 BB1D1D 是平行四边形 所以 BD B1D1 BDDG G 面 EB1D1 面 BDG B 一 选择题 1 D 提示 A 错 若 a b 则不能断定 B 错 若 A B C 三点不在 的同一侧 则不 能断定 C 错 若 a b 则不能断定 D 正确 2 C 提示 若直线 a b 满足 a b b 则 a 或 a 3 D 提示 根据面面平行的性质定理可推证之 4 C 提示 设 l a a 过直线 a 作与 都相交的平面 记 b c 则 a b 且 a c b c 又 b l b l a l 5 A 提示 6 D 提示 过点 A 可作直线 a a b b 则 a b A a b 可确定一个平面 记为 如果 a b 则 a b 由于平面可能过直线 a b 之一 因此 过 A 且平行于 金太阳教育网金太阳教育网 第 7 页 共 15 页 金太阳教育网金太阳教育网 a b 的平面可能不存在 二 填空题 7 8 68 或 3 68 提示 如图 1 由 可知 BD AC 即 SC 68 SA SB SC SD 18 9 SC SC34 S S A A B B C C a a b b 1 2 D D 如图 2 由 知 AC BD 即 SB SA SD SC SCCD SC 9 18 SC SC 34 SC 3 68 9 MHF 提示 易证平面 NHF 平面 BD D1 B1 M 为两平面的公共点 应在交线 HF 上 三 解答题 10 解解 当 E 为 PC 中点时 PAEBD平面 证明证明 连接 AC 且 由于四边形 ABCD 为正方ACBDO 形 O 为 AC 的中点 又 E 为中点 OE 为 ACP 的中位线 又 PAEOPAEBD 平面 PAEBD平面 11 证法一证法一 过 N 作 NR DC 交 PC 于点 R 连接 RB 依题意得 NR NRDC NP DN MB AM NR MB NR DC AB 四边形 MNRB 是平行四边形 MN RB 又 MB MBAB MB MBDC RB平面 PBC 直线 MN 平面 PBC 证法二证法二 过 N 作 NQ AD 交 PA 于点 Q 连接 QM QM PB 又 MB AM NP DN QP AQ NQ AD BC 平面 MQN 平面 PBC 直线 MN 平面 PBC C C 1 1 证明证明 设直线 AN 与 BE 交与点 H 连接 CH O F A B CD P E 金太阳教育网金太阳教育网 第 8 页 共 15 页 金太阳教育网金太阳教育网 ANF HNB NH AN NB FN 又 则 MN CH NB FN MC AM NH AN MC AM 又 MN 平面 CBE CBECBEMN平面 平面 CH 2 解解 存在 过 M 作 MG AB 垂足为 G 则 MG BC MG 平面 CBE 又 MN 平面 CBE 平面 MGN 平面 CBE MMNMG 即 G 在 AB 线上 且 AG GB AM MC 2 3 2 证明证明 连接 BC AD 取 BC 的中点 E 连接 ME NE 则 ME 是 BAC 的中位线 故 ME AC ME ME 同理可证 NE BD 又 设 CB 与 DC 确定的平面 BCD 与平面交于直线CF 则CF BD NE CF 而 NE平面 CF NE 又 ME NE E 平面 MNE 而 MN平面 MNE MN 平面 一一 选选择择题题 1 下列条件中 能判断两个平面平行的是 A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 2 E F G分别是四面体ABCD的棱BC CD DA的中点 则此四面体中与过E F G的截 面平行的棱的条数是 A 0 B 1 C 2 D 3 3 直线及平面 使成立的条件是 ab c ab A B C D ab ab ac bc ab 4 若直线 m 不平行于平面 且 m 则下列结论成立的是 A 内的所有直线与 m 异面 B 内不存在与 m 平行的直线 C 内存在唯一的直线与 m 平行 D 内的直线与 m 都相交 5 下列命题中 假命题的个数是 一条直线平行于一个平面 这条直线就和这个平面内的任何直线不相交 过平 面外一点有且只有一条直线和这个平面平行 过直线外一点有且只有一个平面和这条直 线平行 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行 a 和 b 异面 则经过 b 存在 唯一一个平面与平行 金太阳教育网金太阳教育网 第 9 页 共 15 页 金太阳教育网金太阳教育网 D C A B B1 A1 C1 A 4 B 3 C 2D 1 6 已知空间四边形中 分别是的中点 则下列判断正确的是 ABCD M N AB CD A B 1 2 MNACBC 1 2 MNACBC C D 1 2 MNACBC 1 2 MNACBC 二二 填填空空题题 7 在四面体 ABCD 中 M N 分别是面 ACD BCD 的重心 则 四面体的四个面中与 MN 平行的是 8 如下图所示 四个正方体中 A B为正方体的两个顶点 M N P分别为其所在棱的中点 能得到 AB 面 MNP 的图形的序号的 是 9 正方体 ABCD A1B1C1D1中 E 为 DD 中点 则 BD1和平面 ACE 位置关系是 1 三三 解解答答题题 10 如图 正三棱柱的底面边长是 2 侧棱长是 D 是 AC 的中点 求证 111 CBAABC 3 平面 1C BBDA1 11 如图 在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中 E M N G 分别是 AA1 CD CB CC1的 中点 求证 1 MN B1D1 2 AC1 平面 EB1D1 3 平面 EB1D1 平面 BDG B 一一 选选择择题题 1 是两个不重合的平面 a b 是两条不同直线 在下列条件下 可判定 的是 A 都平行于直线 a b B 内有三个不共线点到 的距离相等 金太阳教育网金太阳教育网 第 10 页 共 15 页 金太阳教育网金太阳教育网 C a b 是内两条直线 且 a b D a b 是两条异面直线且 a b a b 2 两条直线 a b 满足 a b b 则 a 与平面的关系是 A a B a 与相交C a 与不相交D a 3 设表示直线 表示平面 P 是空间一点 下面命题中正确的是 a b A 则 B 则a a a b ab C 则 D 则 ab ab Pa Pa a 4 一条直线若同时平行于两个相交平面 那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是 A 异面B 相交C 平行D 不能确定 5 下列四个命题中 正确的是 夹在两条平行线间的平行线段相等 夹在两条平行线间的相等线段平行 如果一 条直线和一个平面平行 那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等 如果一条直线和 一个平面平行 那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行 A B C D 6 a b 是两条异面直线 A 是不在 a b 上的点 则下列结论 成立的是 A 过 A 有且只有一个平面平行于 a b B 过 A 至少有一个平面平行于 a b C 过A有无数个平面平行于a b D 过A且平行a b的平面可能不存在 二 填空题二 填空题 7 a b 为三条不重合的直线 为三个不重合的平 面 直线均不在平面内 给出六个命题 a a a ca c c c ba b a ba cb ca 其中正确的命题是 将正确的序号都填上 8 设平面 A C B D 直线 AB 与 CD 交于 S 若 AS 18 BS 9 CD 34 则 CS 9 如图 正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 E F G H 分别是棱 CC1 C1D1 DD1 DC 中点 N 是 BC 中点 点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动 则 M 满足 时 有 MN 平面 B1BD D1 三 解答题三 解答题 10 如图 在正四棱锥中 点在棱PABCD PAABa E 上 问点在何处时 并加以证明 PCE PAEBD平面 E P DC B A 金太阳教育网金太阳教育网 第 11 页 共 15 页 金太阳教育网金太阳教育网 11 如下图 设 P 为长方形 ABCD 所在平面外一点 M N 分别为 AB PD 上的点 且 求证 直线 MN 平面 PBC MB AM NP DN C 1 平面内两正方形ABCD与ABEF 点M N分别在对角线AC FB上 且 AM MC FN NB 沿 AB 折起 使得 DAF 900 1 证明 折叠后 MN 平面 CBE 2 若AM MC 2 3 在线段 AB 上是否存在一点G 使平面MGN 平 面CBE 若存在 试确定点 G 的位置 2 设平面 平面 AB CD 是两条异面直线 M N 分别是 AB CD 的中点 且 A C B D 求证 MN 平面 A B C D E MN a b 金太阳教育网金太阳教育网 第 12 页 共 15 页 金太阳教育网金太阳教育网 参考答案参考答案 A 一 选择题 1 D 提示 当时 内有无数多条直线与交线 平行 同时这些直线也与平面l l 平行 故 A B C 均是错误的 2 C 提示 棱 AC BD 与平面 EFG 平行 共 2 条 3 C 提示 则或异面 所以 A 错误 则或异 ab ab a b ab ab a b 面或相交 所以 B 错误 则或异面 所以 D 错误 a b ab ab a b 则 这是公理 4 所以 C 正确 ac bc ab 4 B 提示 若直线 m 不平行于平面 且 m 则直线 m 于平面相交 内不存在与 m 平行的直线 5 B 提示 错误 过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行 有无数多条直线 与它平行 过直线外一点有无数个平面和这条直线平行 平行于同一条直线的两条直线 和同一平面平行或其中一条在平面上 6 D 提示 本题可利用空间中的平行关系 构造三角形的两边之和大于第三边 二 填空题 7 平面 ABC 平面 ABD 提示 连接 AM 并延长 交 CD 于 E 连结 BN 并延长交 CD 于 F 由重心性质可知 E F 重合为一点 且该点为 CD 的中点 E 由 得 MN AB 因此 MN 平面 MA EM NB EN 2 1 ABC 且 MN 平面 ABD 8 提示 对于 面 MNP 面 AB 故 AB 面 MNP 对于 MP AB 故 AB 面 MNP 对于 过 AB 找一个平面与平面 MNP 相交 AB 与交线显然不平行 故 不能推证 AB 面 MNP 9 平行 提示 连接 BD 交 AC 于 O 连 OE OE B D OEC 平面 ACE B D 平面 11 ACE 三 解答题 10 证明证明 设与相交于点 P 连接 PD 则 P 为中点 1 AB BA1 1 AB 金太阳教育网金太阳教育网 第 13 页 共 15 页 金太阳教育网金太阳教育网 D 为 AC 中点 PD CB1 又PD平面D 平面D BA1 CB1BA1 11 证明证明 1 M N 分别是 CD CB 的中点 MN BD 又BB1DD1 四边形 BB1D1D 是平行四边形 所以 BD B1D1 又 MN BD 从而 MN B1D1 2 法 1 连 A1C1 A1C1交 B1D1与 O 点 四边形 A1B1C1D1为平行四边形 则 O 点是 A1C1的中点 E 是 AA1的中点 EO 是AA1C1的中位线 EO AC1 AC1面 EB1D1 EO面 EB1D1 所以 AC1 面 EB1D1 法 2 作 BB1中点为 H 点 连接 AH C1H E H 点为 AA1 BB1中点 所以 EHC1D1 则四边形 EHC1D1是平行四边形 所以 ED1 HC1 又因为 EAB1H 则四边形 EAHB1是平行四边形 所以 EB1 AH AHHC1 H 面 AHC1 面 EB1D1 而 AC1面 AHC1 所以 AC1 面 EB1D1 3 因为 EAB1H 则四边形 EAHB1是平行四边形 所以 EB1 AH 因为 ADHG 则四边形 ADGH 是平行四边形 所以 DG AH 所以 EB1 DG 又BB1DD1 四边形 BB1D1D 是平行四边形 所以 BD B1D1 BDDG G 面 EB1D1 面 BDG B 一 选择题 1 D 提示 A 错 若 a b 则不能断定 B 错 若 A B C 三点不在 的同一侧 则不 能断定 C 错 若 a b 则不能断定 D 正确 2 C 提示 若直线 a b 满足 a b b 则 a 或 a 3 D 提示 根据面面平行的性质定理可推证之 4 C 提示 设 l a a 过直线 a 作与 都相交的平面 记 b c 则 a b 且 a c b c 又 b l b l a l 5 A 提示 6 D 提示 过点 A 可作直线 a a b b 则 a b A a b 可确定一个平面 记为 如果 a b 则 a b 由于平面可能过直线 a b 之一 因此 过 A 且平行于 金太阳教育网金太阳教育网 第 14 页 共 15 页 金太阳教育网金太阳教育网 a b 的平面可能不存在 二 填