模煳数学+变分法+Matlab基础教程

绪言绪言 任何新生事物的产生和发展 都要经过一个由弱到强 逐步成长壮大的过程 一种新理论 一种新学科的问世 往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定 模糊数学自 1965 年 L A Zadeh 教授开创以来所走过的道路 充分证实了这一点 然而 实践是检验真理的标准 模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的 巨大成果 不仅消除了人们的疑虑 而且使模糊数学在科学领域中 占有了自 己的一席之地 经典数学是适应力学 天文 物理 化学这类学科的需要而发展起来的 不可能不带有这些学科固有的局限性 这些学科考察的对象 都是无生命的机 械系统 大都是界限分明的清晰事物 允许人们作出非此即彼的判断 进行精 确的测量 因而适于用精确方法描述和处理 而那些难以用经典数学实现定量 化的学科 特别是有关生命现象 社会现象的学科 研究的对象大多是没有明 确界限的模糊事物 不允许作出非此即彼的断言 不能进行精确的测量 清晰 事物的有关参量可以精确测定 能够建立起精确的数学模型 模糊事物无法获 得必要的精确数据 不能按精确方法建立数学模型 实践证明 对于不同质的 矛盾 只有用不同质的方法才能解决 传统方法用于力学系统高度有效 但用 于对人类行为起重要作用的系统 就显得太精确了 以致于很难达到甚至无法 达到 精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑 即要求符合非此即彼的排中律 这对于处理清晰事物是适用的 但用于处理模糊性事物时 就会产生逻辑悖论 如判断企业经济效益的好坏时 用 年利税在 100 万元以上者为经济效益好的 企业 表达 否则 便是经济效益不好的企业 根据常识 显而易见 比经 济效益好的企业年利税少 1 元的企业 仍是经济效益好的企业 而不应被划为 经济效益不好的企业 这样 从上面的两个结论出发 反复运用经典的二值逻 辑 我们最后就会得到 年利税为 0 者仍为经济效益好的企业 的悖论 类似 的悖论有许多 历史上最著名的有 罗素悖论 它们都是在用二值逻辑来处理 模糊性事物时产生的 客观实际中存在众多的模糊性事物和现象 促使人们寻求建立一种适于描 述模糊事物和现象的逻辑模式 模糊集合理论便是在这种形势下应运而生的 模糊方法的逻辑基础是连续值逻辑 它是建立在 0 1 上的 如若我们把年利 税在 100 万元以上者的属于 经济效益好 的企业的隶属度规定为 1 那末 相比之下 年利税少 1 元的企业 属于 经济效益好 的企业的隶属度就应相 应减少一点 比如为 0 99999 依此类推 企业的年利税每减少 1 元 它属于 经济效益好 的企业的隶属度就要相应减少一点 这样下去 当企业的年利 税为 0 时 它属于 经济效益好 的企业的隶属度也就为 0 了 显然 模糊方 法的这种处理方式 是符合于人们的认识过程的 连续值逻辑是二值逻辑的合 理推广 现代科学发展的总趋势是 从以分析为主对确定性现象的研究 进到以综 合为主对不确定性现象的研究 各门科学在充分研究本领域中那些非此即彼的 典型现象之后 正在扩大视域 转而研究那些亦此亦彼的非典型现象 自然科 学不同学科之间 社会科学不同学科之间 自然科学和社会科学之间 相互渗 透的趋势日益加强 原来截然分明的学科界限一个个被打破 边缘科学大量涌 现出来 随着科学技术的综合化 整体化 边界不分明的对象 亦即模糊性对 象 以多种多样的形式普遍地 经常地出现在科学的前沿 模糊集合理论自诞生以来 获得了长足的发展 每年全世界发表的研究论 文的数量 以指数级速度增长 研究范围从开始时的模糊集合 发展为模糊数 模糊代数 模糊测度 模糊积分 模糊规划 模糊图论 模糊拓扑 等众多 的分枝 和模糊集合理论的发展速度相比 模糊技术的应用虽稍迟一步 但也取得 了令人可喜的进展 自 1980 年第一例应用模糊技术的产品问世以来 有关这方 面的研究报告已逾 7000 多篇 制造出近千种模糊产品 如计算机 电饭煲 摄 像机 微波炉 洗衣机 空调器等 如日本松下公司研制的智能化家用空调器 可根据内置的传感器提供的室内空气温度数据 在室温高或低于 25 时 会自 动地 稍稍 调节空调器的阀门 进行 4608 种不同状态设定选择 从而获得最 佳开启状态和尽可能少的消耗 而这种 稍稍 的程度 只有通过有经验的人 的感觉来决定 模糊技术方法不是对精确的摒弃 而是对精确更圆满的刻画 它通过模糊 控制规划 利用人类常识和智慧 理解词语的模糊内涵和外延 将各方面专家 的思维互相补充 虽然 目前要使模糊技术接近于人的思维 尚难以做到 但 正如日本夏普公司电子专家日吉考庄所说 一个普遍应用模糊技术的时代 不 久就会到来 我国自 70 年代开始模糊数学研究以来 成就突出 已形成了 2000 至 3000 人的世界最庞大的研究队伍 并在高速模糊推理研究等领域 居世界领先地位 但同时在其它方面 也存在着一些差距 尤其突出的是实验室里的成果 还有 许多未转化成经济效益 需要在政府和工业界的支持和参与下 成立专门的开 发实体 制定规划 并积极开展国际交流 为我国 21 世纪的技术发展和科学腾 飞奠定基础 第二章第二章 模式识别模式识别 2 1 模式识别及识别的直接方法模式识别及识别的直接方法 在日常生活中生活中 经常需要进行各种判断 预测 如图象文字识别 故 障 疾病 的诊断 矿藏情况的判断等 其特点就是在已知各种标准类型前提下 判断识别对象属于哪个类型的问题 这样的问题就是模式识别 一 模糊模式识别的一般步骤 模式识别的问题 在模糊数学形成之前就已经存在 传统的作法主要用统计 方法或语言的方法进行识别 但在多数情况下 标准类型常可用模糊集表示 用 模糊数学的方法进行识别是更为合理可行的 以模糊数学为基础的模式识别方法 称为模糊模式识别 模式识别主要包括三个步骤 第一步 提取特征 首先需要从识别对象中提取与识别有关的特征 并度量 这些特征 设分别为每个特征的度量值 于是每个识别对象就 n xx 1 x 对应一个向量 这一步是识别的关键 特征提取不合理 会影响 21n xxx 识别效果 第二步 建立标准类型的隶属函数 标准类型通常是论域 的模糊集 是识别对象的第个特征 1n xxU i xi 第三步 建立识别判决准则 确定某些归属原则 以判定识别对象属于哪一 个标准类型 常用的判决准则有最大隶属度原则 直接法 和择近原则 间接法 两种 二 最大的隶属度原则 若标准类型是一些表示模糊概念的模糊集 待识别对象是论域中的某一元素 个体 时 往往由于识别对象不绝对地属于某类标准类型 因而隶属度不为 1 这类问题人们常常是采用称为 最大隶属度原则 的方法加以识别 这 种方法 以及下面的 阈值原则 是处理个体识别问题的 称为直接法 最最大大隶隶属属度度原原则则 设是个标准类型 若 21 UFAAA n nUx 0 nkxAxA ki 1 max 00 则认为相对隶属于所代表的类型 0 x i A 例 1 通货膨胀识别问题 通货膨胀状态可分成五个类型 通货稳定 轻度通货膨胀 中度通货膨胀 重 度通货膨胀 恶性通货膨胀 以上五个类型依次用 非负实数域 下同 上 R 的模糊集 表示 其隶属函数分别为 54321 AAAAA 5 3 5 exp 50 1 2 1 x x x xA 5 10 exp 2 2 x xA 7 20 exp 2 3 x xA 9 30 exp 2 4 x xA 50 1 500 15 50 exp 2 5 x x x xA 其中对 表示物价上涨 问时 分别相对隶属于哪种类0 x x40 8 x 型 解 3679 0 8 1 A8521 0 8 2 A 0529 0 8 3 A0032 0 8 4 A 0000 0 8 5 A 0000 0 40 1 A0000 0 40 2 A 0003 0 40 3 A1299 0 40 4 A 6412 0 40 5 A 由最大隶属原则 应相对隶属于 即当物价上涨时 应视8 x 2 A 8 为轻度通货膨胀 应相对隶属于 即当物价上涨时 应视40 x 5 A 40 为恶性通货膨胀 三 阈值原则 在使用最大隶属度原则进行识别中 还会出现以下两种情况 其一是有时待 识别对象关于模糊集中每一个隶属程度都相对较低 这时说明模 0 x n AAA 21 糊集合对元素不能识别 其二是有时待识别对象关于模糊集 n AAA 21 xx 中若干个的隶属程度都相对较高 这时还可以缩小的识别范围 n AAA 21 x 关于这两种情况有如下阈值原则 阈值原则 是个标准类型 为一阈值 21 UFAAA n n 1 0 0 dUx 置信水平 令 nkxAk 1 max 0 若则不能识别 应查找原因另作分析 d 若 d 且有 则判决相对地属于dxAi 0 1 dxAi 0 2 dxA m i 00 x m iii AAA 21 例 2 三角形识别问题 我们把三角形分成等腰三角形 直角三角形 正三角形 非典型三IRE 角形 这四个标准类型 取定论域T CBACBACBAxxX 180 这里是三角形三个内角的度数 通过分析建立这四类三角形的隶属函CBA 数为 60 1 1 CBBAxI 2 1 xAn 90 90 1 1 AxR 180 1 1 CAxE 902 3 3min 180 1 ACACBBAxT 现给定 对上述四个标准类型的隶属度为 45 50 85 0 CBAx 0 x 06 0 7 0 94 0 916 0 0000 xTxExRxI 由于关于 的隶属程度都相对高 故采用阈值原则 取 0 xIR8 0 d 因 按阈值原则 相对属于 8 0916 0 0 xI8 094 0 0 xR 0 xIR 即可识别为等腰直角三角形 0 x 例 3 癌细胞识别 在癌细胞识别问题中细胞分成四个标准类型 即 癌细胞 重度 M 核异质细胞 轻度核异质细胞 正常细胞 N R T 选取表征细胞状况的七个特征 7 65 42 21 核内平均透光率 核内平均光密度核内总光密度 细胞周长细胞面积 核周长核面积 x xx xx xx 根据病理知识 反映细胞是否癌变的主要指标有以下六个 它们都是 上的模糊集 721 xxxxxX 1 2 3 2 4 6 1 2 1 2 2 5 1 2 67 2 74 1 2 1 3 1 2 5 2 1 2 1 2 1 4 1 4 1 lg 1 1 1 1 x x xFF x x xEE xx x xDD x xCC x xBB a x a xAA 细胞畸形 核畸形 核内染色质不匀 核桨比例置 核染色增深 正常核面积核增大 上述是 适当选取的常数 621 细胞识别中的几个标准类型分别定义为 ccc cc c RNMT NMCBAR MCBAN FEDCBAM 2 1 2 1 2 1 上述定义中的模糊集的隶属函数为 另两个模糊集 2 1 A 2 1 A 2 1 xAx 2 1 B 的隶属函数类似定义 2 1 C 给定待识别细胞 设的核面积等七个特征值为据此可算出Xx 00 x 0 7 0 2 0 1 xxx 最后按最大隶属度原则识别 0 xM 0 xN 0 xR 0 xT 例 4 冬季降雪量预报 内蒙古丰镇地区流行三条谚语 1 夏热冬雪大 2 秋霜晚冬雪大 3 秋分刮 西北风冬雪大 现在根据三条谚语来预报丰镇地区冬季降雪量 为描述 夏热 秋霜晚 秋分刮西北风等概念 在气象 1 A 2 A 3 A 现象中提取以下特征 当年 6 7 月平均气温 1 x 当年秋季初霜日期 2 x 当年秋分日的风向与正西方向的夹角 3 x 于是模糊集 夏热 秋霜晚 秋分刮西北风 的隶属函数可分别 1 A 2 A 3 A 定义为 2 0 2 2 1 1 1 111 1111 2 11 2 1 11 11 xx xxxxx xx xA 其中是丰镇地区若干年 6 7 月份气温的平均值 为方差 实际预报时取 1 x 1 x 0 982 19 c 2 1 22 2 22 2 2 22 2 2 22 0 1 ax xxa ax ax xx xA 其中是若干年秋季初霜日的平均值 是经验参数 实际预报时取 17 即 9 2x 2 a 2x 月 17 日 10 即 9 月 10 日 2 a 900 cosx 18090 0 270081 sinx 360270 1 33 3 33 3 33 x x x x xA 取论域 冬雪大 可以表示为论域上的模糊集 321 xxxxxX X 其隶属函数为 C 11 xAxC 22 xA 33 xA 采用阈值原则 取阈值 测定当年气候因子 计8 0 d 321 xxxx 算 若则预报当年冬季 多雪 否则预报 少雪 xC8 0 xC 用这一方法对丰镇1959 1970 年间隔12 年作了预报 除1965 年以外 均报对 历史拟合率为11 12 2 2 贴近度与模式识别的间接方法贴近度与模式识别的间接方法 一 贴近度 表示两个模糊集接近程度的数量指标 称为贴近度 其严格的数学定义如下 定定义义 1 设映射 N 1 0 UFUF 满足下列条件 1 UFA 1 AAN 2 UFBA ABNBAN 3 若满足 UFCBA xBxAxCxA Ux 有 BANCAN 则称映射为上的贴近度 称为与的贴近度 N UF BANAB 贴近度的具体形式较多 以下介绍几种常见的贴近度公式 1 Hamming 贴近度 n i iiH xBxA n BAN 1 1 1 或 b a H dxxBxA ab BAN 1 1 2 Euclid 贴近度 n i iiE xBxA n BAN 1 2 1 1 或 b a iiE dxxBxA ab BAN 2 1 1 3 格贴近度 定义 7 映射 1 0 UFUFNg 或 ABABANBA g c B ABA 2 1 cB 称为格贴近度 称为与格贴近度 其中 BANgAB 称为与的内积 UxxBxABA AB 称为与的外积 A UxxBxAB AB 若 则 n xxxU 21 1 ii n i xBxABA A 1 ii n i xBxAB 值得注意的是 这里的格贴近度是通过定义来规定的 事实上 格贴近度不 满足定义1 中 1 即 但是 当时 1 AANgUAsuAUFA pp 1 格贴近度满足定义1 的 1 3 另外格贴近度的计算很方便 且用于表示相 同类型模糊度的贴近度比较有效 所以在实际应用中也常选用格贴近度来反映模 糊集接近程度 还有许多贴近度 这里不在一一介绍 贴近度主要用于模糊识别等具体问题 以上介绍的贴近度表示式各有优劣 具体应用时 应根据问题的实际情况 选用合适的贴近度 二 模式识别的间接方法 择近原则 在模式识别问题中 各标准类型 模式 一般是某个论域上的模糊集 用模式识别X 的直接方法 最大隶属度原则 阈值原则 解决问题时 其识别对象是论域中的元素 X 另有一类识别问题 其识别对象也是上的模糊集 这类问题可以用下面的择近原则来识X 别判决 择近原则择近原则 已知个标准类型 为待识别的对n 1 A 2 A XFAn XFB 象 上的贴近度 若 XFN为 nkBANBAN ki 2 1 max 则认为与最贴近 判定属于一类 B i AB i A 例 5 岩石类型识别 岩石按抗压强度可以分成五个标准类型 很差 差 较好 好 1 A 2 A 3 A 很好 它们都是上的模糊集 其隶属函数如下 图 2 1 4 A 5 A 0 X 0 200 400 600 900 1100 1800 2000 1 2 cmkg A 5 xA 4 xA 3 xA 2 xA 1 xA x 图 2 1 200 0 200100 200 100 1 100 x0 1 1 x xxxA x xx x x x xA 600 0 600400 600 200 1 400200 1 2000 200 2 其它 0 1100900 1100 200 1 900600 1 600040 400 200 1 3 xx x xx xA 其它 0 22000081 2200 400 1 18000011 1 1100090 900 200 1 4 xx x xx xA x xx x xA 2002 1 22001800 1800 400 1 1800 0 5 今有某种岩体 经实测得出其抗压强度为上的模糊集 隶属函数为 图 2 3 XB 图 2 3 其它 0 11201000 1120 120 1 1000800 1 800712 712 88 1 xx x xx xB 试问岩体应属于哪一类 B 计算与的格贴近度 得 B 5 1 iAi 0 68 0 1 0 0 54 321 BANBAN BANBANBAN gg ggg 按择近原则 应属于类 即属于 较好 类 类 的岩石 B 3 AB 3 A 例 6 小麦亲本识别 在小麦杂交育种过程中 亲本选择是关键 现有五种类型的小麦亲本 它们是 早熟型 矮杆型 大粒型 1 A 2 A 3 A 高肥丰产型 中肥丰产型 4 A 5 A 判断小麦亲本类型的主要依据是以下五种性状特征 抽穗期 株高 有效穗数 1 x 2 x 3 x 主穗粒数 百粒重 4 x 5 x 第 种类型亲本的第个特征 是模糊集 这些模糊集除 早熟型的抽穗期 ij ij A 11 A 与 矮杆型的株高 外 其余都是中间型的正态分布模糊集 为简单计 将正态分布 22 A 函数展开 取前两项作它的近似值 则有 2 2 2 2 1 1 2 2 axe ax 于是的隶属函数可表示为 ij A 其它 0 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 ijijijij ij ijij ijijijij ij ij abxbbx bxa axaax xA 而 的隶属函数取为偏小值型 11 A 22 A iiii ii ii bxbx bx xA 2 1 1 1 2 2 2 1 i 为确定隶属函数中的参数值 在熟知的标准类型中 每类型选出个新本为样本 分k 别计算各样本的第个特征的均值及方差 取j ijlx 2 1 kl ijl k l ijlij ijl ij ijl ij k klxb klxa 1 21 2 1 max 2 1 min 以上参数值见表 2 1 表 2 1 早熟矮杆大粒高肥丰产中肥丰产亲本 参数 性状 j a1 j b1 j1 2 1 2 j a2 j b2 j2 2 1 2 j a3 j b3 j3 2 1 2 j a4 j b4 j4 2 1 2 j a5 j b5 j5 2 1 2 抽穗期 6 71 15 59 61 05 811 91 25 211 30 95 18 91 2 株高67 187 750 0 70 072 467 990 952 267 981 235 976 584 657 5 有效穗数9 111 218 18 318 210 89 413 215 69 813 211 37 213 25 8 主穗粒数40 255 092 037 552 580 744 254 521 241 251 013 337 648 393 9 百粒重3 04 40 32 43 40 34 06 00 33 64 20 33 34 00 2 现有一待识对象 它的第个特征是中间型正态分布模糊集 隶属函数可近似表Bj j B 示为 其它 0 22 2 1 2 2 j j j j j j j xxx xx xB 5 4 3 2 1 j 式中参数值见表 2 2 表表 2 2 特性 参数 抽穗期株高有效穗数主穗粒数百粒重 x 8 585 66 236 23 43 2 1 541 9700 28 计算识别对象的第个特征与第 种标准类型对应特征的格贴近度Bji ij A 并定义第 种标准类型与识别对象的贴近度为 5 4 3 2 1 iBA jij i i AB 5 1 jij j i BABA 计算结果列于表 2 3 表表 2 3 早熟 1 A 矮杆 2 A 大粒 3 A 高肥 4 A 中肥 5 A g N 1 i A 1 B 0 501 001 001 001 00 g N 2i A 2 B 1 000 001 000 760 99 g N 3i A 3 B 1 000 880 770 640 96 g N 4i A 4 B 0 230 980 890 830 98 g N 5i A 5 B 1 001 000 981 001 00 N i AB 0 230 000 770 640 96 表 2 3 的最后一行为与各标准类型的贴近度 由于与的贴近度最高BB 5 A 0 96 故判定识别对象为代表的类型 即为中肥丰产类型的亲本 B 5 AB 例 7 遥感土地复盖类型分类 遥感是根据不同的地物对电磁波谱有不同的响应这一原理 来识别土地复盖的类型 空间遥感的一个象元相当于地面 0 45 公倾地物的综合 遥感图象识别分类中 要涉及不少 模糊概念 例如 以红松为主的针叶林 就是一个没有明确界线的模糊概念 这是遥感本 身的特性决定的 因此用模糊数学的方法对遥感图象进行识别分类应该是行之有效的方法 美国爱达荷大学 R C Heller 教授指出 国际上当以水体 沙地 森林 城镇 作物 干草 作为分类单位 即标准类型 时 空间遥感的分类精度可达 83 93 甚至更高 但当分类单 位深入到更小的土地复盖单元时 精度就不理想了 现在将分类单位细分阶段为以下五种标准类型 公路 村庄农田 红松为主的针叶林 1 A 2 A 3 A 阔 针混交林 白桦林 4 A 5 A 对于多波段遥感技术 假设采用个波段 则每一地物对应一个维pp 数据向量 1975 年 1 月 22 日 美国发射LandSat 2 提供 21p xxxx 了 MSS 4 5 6 7 这四个波段的数据 故有 取论域4 p 4321 xxxxxxX 其中分别为象元对应于 MSS 4 5 6 7 各波段的光谱强度 于是五种 4321 xxxx 标准类型可表为上的模糊集 5 1 iAiX 由于各波段光谱强度是正态分布模糊集 故第 个标准类型的 3 波段光谱强度ij 的隶属函数为 2 exp ij ijj jij ax xA 4 3 2 1 j 定义第 种标准类型为 i i A 4321iiiii AAAAA 因而 2 4141 maxexp min ij ijj j jij j i ax xAxA 其中为若干个第 种类型第 3 个波段光谱强度的均值 为方差 东北凉水林场 ij aij ij 的这些参数值见表 2 4 表表 2 4 标准类型MSS 4MSS 5MSS 6MSS 7 1 i a 1 i 2i a 2i 3i a 3i 4i a 4i 1 A19 060 5618 241 6051 244 3225 241 98 2 A21 892 8824 684 8247 374 0921 632 39 3 A15 461 2212 580 8836 543 5517 332 08 4 A16 220 6412 780 5842 412 8721 221 50 5 A170 8213 20 42450 9423 200 42 设为识别对象 定义与的贴近度为 B i AB 1 4 1 jijg j i BANBAN 其中 2 jijg BAN ijjij ABA 2 1 c j B 表表 2 5 判别 类型 N 识别对象 1 A 2 A 3 A 4 A 5 Amax 结果效果 1 B0 920 720 500 500 500 92 1 A正确 2 B0 650 990 500 500 500 99 2 A正确 3 B0 500 500 990 600 500 99 3 A正确 4 B0 500 500 610 990 650 99 4 A正确 5 B0 500 500 500 620 890 89 5 A正确 按及 XxxBxABA c 1 A ccc BAB 3 2 1 2 1 2 jij jij aa jijg eBAN 6 这里与是的均值与方差 j a j j B 现有东北凉水林场空间遥感象元 待识别对象 五个 按 1 与 2 计算它们与五 个标准类型的贴近度 计算结果在表 2 5 按择近原则进行识别判决 准确率 100 例 8 雷达识别 现有个雷达类 每个雷达类可用发射频率 脉冲重复频率 脉冲宽度等特征来刻画 n 假设共有个特征 第 类雷达的第个特征可以取个值 由于保密的需要及信号环境jij ij n 的日益复杂 这些特征及其取值都带有一定的模糊性 设第 类雷达的个特i 1 ni k 征为类雷达的第个特征取值为 其隶属iAAA ikii 21 j 1 kj 2 1 ij m ij nmA 函数为中间型柯西分布 即 12 1 m ij m ijm ij au uA 设为待识别对象 它的个特征为的第个特征的隶属函数XkXXXX k 21 j j X 也取中间型柯西分布 1 2 j 1 12 k xu uX j j j 采用格贴近度 令 ij m ijij j m ij m ij nmdd XAd 1 max 则为识别对象的第个特征与 类雷达第个特征贴近程度的度量 ij dXjij 一般情况可令 k j ijji dad 1 是各的加权平均值 权系数表示个特征的重要性程度 可作为识别对 i d ij d j aj i d 象与第 类雷达总贴近的度量 根据的大小可判定属于何类雷达 但是 由于权Xi i dX 系数的确定有一定的模糊性 及的隶属函数的确定带有一定的主观性 从而导 j a m ij A j X 致贴近度有一定的模糊性 因此对及进行模糊化处理 设 m ij d j a ij d RLijijijijRLjjjj wwdDccaA 这里 都是模糊数 见第五章 取 j A ij DRL RL 令 m j ijii ijijijjjj DAD ddwaac 1 1 1 的隶属函数为 i D sup 1 1 ijijjj m j dad ii uDuAdD k j ijji 则为识别对象与第 类雷达的贴近程度的模糊测度 i DXi 为得到所属雷达类别的确切判决 类似于阈值法则 给定水平值 令X inf sup iiii iiii Dddd Dddd 若 且唯一 则判定为类雷达 nidd ii 1 max 00 iX 0 i 若 且 则判定为类雷达 niddd iii 1 max 21 21 ii dd X 1 i 用上述方法 将权系数及贴近度模糊化 经上千次仿真试验 比传统的贴近度及线性加弘 平均法 误判率有所下降 第第三三章章 模模糊糊规规划划 3 1 模模糊糊极极值值 一一 有有界界函函数数的的模模糊糊极极值值 设 为实数集 RXf R xfyx 是有界函数 求函数的普通极值问题是求使 xf x Xxxfxf max 满足上式的为在上的最大值点 为最大值 最大值点不一定 x xfX xf 唯一 设的一切最大值点的集合为 xf XxxfxfxM f max 称为的优越集 当时 函数在处取到最大值 使 f M xf f Mx x xfx 达到最优 当时 虽不是最大值 但对不同的 与 xf f Mx xfx xf 最大值的差异有所不同 也就是说 对于不属于的 它们的 优越性 f Mx 程度有所不同 为了反映中各点不同的优越程度 将优越集模糊化 X f M 并利用它将极值模糊化 定定义义 1 设是有界函数 定义的隶属函数为 RXf f M XxxfXxxf Xxxfxf xM f min max min Xx 称为的无条件模糊优越集称的的无条件模糊极大值 这里 f Mf f Mff 它的求属函数按扩张原理为 RFMf f 约定 yxfxMyMf ff 0 注 1 当为的极大点 即时 1 xx xf Xxxfxf max 1 1 1 xM f 当为的极小点 即时 2 xx xf Xxxfxf min 2 0 2 xM f 充分必要条件是 21 xfxf 21 xMxM ff Xxx 21 2 当时 Xxxfy max 1 1 yMf f 1 yxfxM f 当时 Xxxfy min 2 2 yMf f 2 yxfxM f 当时 RXfy 0 xfyyxfxMyMf ff 因此 反映了在模糊意义下 对的模糊数大值的求属程度 yMf f yf 例 1设 54321 xxxxxX RXf 定义 则0 1 xf3 2 xf1 3 xf1 4 xf1 5 xf 并且 3 max xf1 min xf 5 4 3 2 1 4 1 i xf xM i f 于是 5 0 5 0 1 0 25 0 f M 又 25 0 0 0 1 xMxfxMMf fff 1 3 2 xMMf ff 0 1 3 xMMf ff 5 0 1 1 54 xMxMxfxMMf ffff 故 1 5 03 11 10 25 0 f Mf 的无条件模糊极小集定义为的无条件极大集 显然有f f mf XxxfXxxf xfXxxf xmf min max max Xx 且有 所有极小集是极大集的余集 1 xMxm ff f m f M 二二 模模糊糊约约束束下下有有界界函函数数的的模模糊糊极极值值 设 是有界函数 考虑在约束下的最大值问RXf XFC fC 题 这是一个模糊规划问题 求解这个问题意味着既要最大限度地满足约束 又 要最大限度地达到理想目标 为此定义如下 定定义义 2 设目标函数是有界函数 是模糊约束 令RXf XFC f MCD 这里的是定义1 中的无条件模糊优越集 称为在约束下的 f MfDfC 条件模糊优越集 称为在约束下的条件模糊极大值 它们的求属 DffC 函数分别为 XxxfXxxf Xxxfxf xM f min max min xMxCxD f yxfxMxCxDyDf f 求解目标函数在模糊约束下的条件极大值有如下三个步骤 xfC 1 求无条件模糊优越集 f M 2 求条件模糊优越集 f MCD 3 求条件最佳决策 即选择 使 x XxxDxD max 就是所求的条件极大点 就是在模糊约束下的条件极大值 x xfC 例 2 采区巷道布置是矿井开拓中的重要内容 其目的就是建立完善的矿井生 产系统 实现采区合理集中生产 改善技术经济指标 因此 合理地选择最 优巷道布置方案 对于矿井生产具有十分重要的意义 根据煤矿开采的特点 和采区在矿井生产的作用 在选择最优巷道布置方案时 要求达到下列标准 1 生产集中程度高 2 采煤机械化程度高 3 采区生产系统十分完善 4 安全生产可靠性好 5 煤炭损失率低 6 巷道掘进费用尽可能低 上述问题 实际上就是一个模糊约束下的条件极值问题 我们可以把 1 5 作为模糊约束 而把 6 作为目标函数 设某矿井的采区巷道布置有六种方案可供选择 即 方案 X 1 x 方案 方案 方案 方案 方案 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 经过对六种方案进行审议 评价后 将其结果列于表1 方案 评价项目 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 生产集中程度高 1 C较低高较高很高较高较高 采煤机械化程度高 2 C高较高较高高很高高 采区生产系统完善 3 C一级较低较低很高高较高 安全生产可靠度高 4 C较低一般较低高一般高 煤炭损失率低 5 C高较高一般一般一般很低 巷道掘进费用 万元 6 C f m 59 4069 1078 8034 5044 2063 60 将表 1 中的语言真值 评价结果 转化为各模糊约束集 XFCi 的隶属度转化的对应关系如下 5 4 3 2 1 i 对 而言 对应关系为 1 C 2 C 3 C 4 C 很 低较 低一 般较 高高很 高 0 00 20 40 60 81 0 对 而言 对应关系为 5 C 很 低较 低一 般较 高高很 高 1 00 80 60 40 20 0 将表 1 中的巷道掘进费用目标函数用公式 f ff xff xm if minmax max 计算出 因此得表2 其值语言与隶属函数转换表2 方案 fI mC 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 1 C0 20 80 41 00 60 6 2 C0 80 60 60 81 00 8 3 C0 40 20 21 00 80 6 4 C0 20 40 20 80 40 8 5 C0 20 40 60 60 61 0 f m 0 440 22010 780 34 计算模糊判决集为D 按列求最小 54321 CCCCCmD f 654321 34 0 4 0 6 0 0 2 0 2 0 xxxxxx 由 6 0 max 4 xDxD i Xxi 根据最大求属度原则 方案四最优 例 3 在某种食品中投放某种调味剂 每公斤食品中的含量设为克 x 对顾客爱好作调查统计 得爱好函数为 100 0 1000 2 10 1 x xe x xf x 对于使爱好函数值越大的值 所制产品越畅销 因而收益越大 但是由x 于成本核算等等原因 对值需要进行限制 这种限制集合的边界是模糊的 x 即的约束条件为一模糊集 其隶属函数为xA 1 1 1 1 1 0 1 2 x x x xA 试确定合理的剂量 使得在接受约束的条件下 获得最优收益 x 解 这是一个规划问题 分三步进行 1 求无条件模糊优越集 由于 f M 10 1 10 1 202 1 xx e x exf 令 得 又当时 时 0 x f10 x10 x0 x f10 x 因而 因此0 x f5 10 sup fxf0 0 inf fxf 100 0 100 10 10 1 x xe x xM x f 2 求条件模糊优越集 f A 100 0 100 1 1 1 0 10 2 100 1 x xx x xxe x xMxAxA x ff 其中满足方程 x 2 10 1 1 1 1 10 x e x x 3 选择 使 x 4593 0 1 1 1 2 x xAf 即对目标的可能度为45 93 而要实现这种可能性 应选择调味剂Af 的最佳剂量为2 085 克 xA xM f 0 1 1 x xAf X 需要说明的是 在本例中如果将约束条件确切化 以的核 0 1 为约A 束 这是一个普通规划问题 所得结论是选择最佳剂量为1 克 从约束条 件看 已是100 遵守 但所能达到的最高目标相对整个目标函数来说是很低 的 由 说明相对整个目标来说 其优越程度仅达24 6 如246 0 1 f M 果把条件放松为模糊约束条件 且适当降低的水平 却可以获得较A xA 好的目标值 如例中的结果 当时 从接受约束条件来看虽仅达085 2 x 45 9 但目标函数的优越程度也升到了45 9 从而提高了整体优化水平 由于在实际问题中 约束条件往往不是绝对的 有一定的伸缩性 模糊规划的思 想就是利用这点灵活性 兼顾目标函数与约束条件综合地选择最优方案 例 4 植物的种植密度与产量有密切的关系 已知某种杉树的种植密度 与产量的关系如下 V 1000 10 6 fV 这里表示每公顷土地上种植的棵数 表示每公顷土地产出木材的体积 现 V 有一片杉树森林 其密度不均匀 估计 大约是三千 试估计该森林每 公顷木材最高产量 解 设表示 大约是三千 这一模糊 的隶属函数为CC 1000000 3000 2 RexC 估计木材产量的问题 就是求在的约束下函数的模糊条件极大值 为Cf 此先求有界函数的无条件模糊优越集 因 f500 sup 1000 f 所以0 inf 1000 f 3 10 500 1 0500 0 f f M f 在约束条件下的条件模糊优越集为 fC ffff MCCMCC 条件模糊极值为 其隶属函数为 f Cf 1 f yf f MCyCf 为求条件最佳决策 即满足条件 的 max 1000 ff CC 注意到的隶属函数曲线是单调降的 而是正态分布模糊集 在约 f MCf 束下的模糊最佳决策 即模糊条件极大点 是方程C 10000 3000 3 2 10 e 的两个根当中的较小者 解之得 2130 由可知 时 接受约束的程度为 9 46469 0 2130 f C2130 46 9 同时 相对于整体目标函数 优越程度也是46 9 由可知 该森林每公顷木材最高产量估计为 74 334 2130 3 米 f 74 334 3 米 3 2 模模糊糊线线性性规规划划 一一 普普通通线线性性规规划划 普通线性规划的一般形式为 目标函数 nnx cxcxcZ 2211 max 约束条件 2 1 0 2211 22222121 11212111 njx bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa j mnmnmm nn nn 矩阵表达形式 0 max x bAX CXZ 其中 mnm n aa aa A 1 111 21n cccC T n xxxx 21 T m bbbb 21 线性规划问题的标准形式 3 1 0 max x bAX CXZ 二二 模模糊糊线线性性规规划划 在实际问题中 有时线性规划的约束条件带有模糊性 这就是解谓的模糊线 性规划 其模型为 nnx cxcxcZ 2211 max 2 1 2211 12222121 11212111 njx bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa j mnmnmm nn nn 这是 表示一种弹性约束 可读作 近似小于等于 近似小于等于 是一个模糊概念 可以用一个模糊集来表示它 表示第个约束的左 n j jijx a 1 i 边表达式 模糊集表示 这一事实 当 时 完 i D i n j jij bxa 1 i n j jij bxa 1 全接受约束 应有 适当选择一个伸缩系数 约定当1 xDi i d 时 不认为 这时应有 当 ii n j jij dbxa 1 i n j jij bxa 1 0 xDi 时 应从 1 下降到0 表示约束程度降低 为了简 1 iii n j jij abbxa xDi 单可行 规定如下 xDi 设 对每一个约束 相应地有中一个 0 xRxxX n ijij bxa X 模糊渠与之对应 它的隶属函数为 i D n j n j iijij n j n j iijijiijijjijIi dbxa dbxadbxaxafxD 1 1 11 i ijij 0 b 1 bxa 1 其中是适当选择的常数 叫做伸缩指标 这样 i dmidi 2 10 一来 我们将弹性约束转化成模糊约束 再令就将全部 m DDDD 21 约束条件转化成一个模糊约束 当时 退化为普通约束集 模糊约束条件中 2 1 0midi DD 退化为 模糊线性规划的模型简记为 3 2 0 max x bAX CxZ 约束的弹性必然导致目标的弹性 为将目标函数模糊化 先求解普通线性规 划问题 CxZ max 满足 3 3 0 x bAX 以及 CxZ max 满足 3 4 0 d x bAX 其中称为 3 2 的伸缩指标向量 T m dddd 21 设是 3 32 的最优值 是 3 4 的最优值 所满足的约束条件为 0 Z 1 Z 0 Z 对应的模糊约束 若适当降低模糊约束的隶属度 可bAx 1 xD xD 以相应提高目标函数值 所满足的约束条件已放到最宽 对Z 1 ZdbAx 应的模糊约束也接近于0 于是目标函数的弹性可表示为 xD 为此构造模糊目标集 其隶属函数为 10 ZCxZZ XFxG n j n j jj n j n j jjjj n j jj jj zxc zxczdzxc zxc xcgxG 1 1 0 11 000 1 0 1 0 其中 010 ZZd 由模糊目标的上述隶属函数可知 当时 要提高目1 xD0 xG 标函数值使之大于 就必须降低 为了兼顾目标与约束 可采用模糊决 0 Z xD 策为 最佳决策为 满足GDDF x x max max xGxDxDxD Xx F Xx F 若令 则有 xGxD 1 0 max 1 0 0 max max 1 xGxDxD xGxDxGxD n Xx Xx 于是求最佳决策的问题 就转化为求普通线性规划问题 x 2 1 0 0 2 1 1 max 1 00 1 njx dZxc midbxa Z j n j jj n j iijij 即 3 5 2 1 00 c 2 1 max 00j 1 njx Zdx midbdxa Z j j n j iiijij 求解上述普通规划问题 可得 最佳决策 T n xxx 1 目标函数值 n j jjx cZ 1 例 5 求解模糊线性规划问题 3 6 8 2 0 23 82 3max 21 321 321 321 321 dd xxx xxx xxx xxxZ 取伸缩指标 解 一 解普通线性规划 10 0 2 4 3 2 10 23 82 3max 0 0 321 321 321 Zx ix xxx xxx xxxZ T i 最优值最优解 二 解普通线性规划 14 0 4 2 5 4 23 10 823 282 3max 1 1 321 321 321 Zx ix xxx xxx xxxZ T i 最优解 三 解普通线性规划 0 1014 3 8283 2822 max 321 321 321 xxx xxx xxx Z 解 这个线性规划采用大法M 原线性规划改写为 1043 1083 1022 max 76321 321 4321 7 充分大的正数M xxxxx xxx xxxx MxZ T x 0 3 3 2 1 从而 3 4 的最优值 例 6 某企业根据市场信息及自身生产能力 准备开发甲 乙两种系列产品 甲种系列产品最多大约能生产400 套 乙种系列产品最多大约能生产 250 套 据测算 甲种产品每套成本3 万元 每套获纯利润7 万元 乙种系 列产品每套成本2 万元 每套获纯利润3 万元 生产甲 乙两种系列产品的 资金总投入大约不能超过1500 万元 在上述条件下 如何安排两种系列产品 的生产 才能使企业获利最大 解 设甲种系列产品生产套 乙种系列产品生产套 则 1 x 2 x 目标 21 37maxxxz 约束 3 7 0 0 3 250 2 400 1 1500 23 21 2 1 21 xx x x xx 设约束条件 1 2 3 的伸缩系数分别取为 元 50 1 d 套 套 为将目标函数模糊化 解经典线性规划问题5 2 d5 3 d 使 4 0 0 500 400 150023 37max 21 2 1 21 21 xx x x xx xxz 用单纯形法求解 得 3250 0 z400 1 x150 2 x 再解经典线性规划问题 5 0 0 5250 5 400 50 150023 37max 21 2 1 21 21 xx x x xx xxz 解得 5 3337 001 dzz405 1 x 5 167 2 x 于是 5 873250 5 3337 0 d 将 代入 3 5 将原问题经为经典线性规划问题 0 z 0 d 1 d 2 d 3 d max 使 0 0 0 3250 5 8737 52505 54005 5015005023 21 21 2 1 21 xx xx x x xx 上述线性规划问题最优解为 因此安 5 402 1 x75 158 2 x5 0 排甲种系列产品403 套 乙种系列产品159 套 取整数 时 能获得最大利 润 最大利润为 万元75 329337 21 xxz