2011年高考数学真题解析分项版圆锥曲线 文

用心 爱心 专心 1 20112011 年高考试题解析数学 文科 分项版年高考试题解析数学 文科 分项版 1010 圆锥曲线圆锥曲线 一 选择题一 选择题 1 20112011 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 9 9 设 M 为抛物线 C 上一点 F 为抛物线 C 0 x 0 y 2 8xy 的焦点 以 F 为圆心 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交 则的取值范围是FM 0 y A 0 2 B 0 2 C 2 D 2 答案 C 3 3 20112011 年高考海南卷文科年高考海南卷文科 9 9 已知直线已知直线 过抛物线过抛物线 C C 的焦点的焦点 且与且与 C C 的对称轴垂直的对称轴垂直 与与 C C 交交ll 于于 A BA B 两点两点 AB 12 P AB 12 P 为为 C C 的准线上一点的准线上一点 则则的面积为的面积为 ABP A 18A 18 B 24B 24 C 36C 36 D 48D 48 答案 C 解析 因为 AB 过抛物线的焦点且与对称轴垂直 所以线段 AB 是抛物线的通径 长为 所以 又点 P 到 AB 的距离为焦参数 所以的面积为212p 6p pABP 故选 C 2 1 236 2 ppp 4 2011 2011 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 3 3 双曲线的实轴长是xy 用心 爱心 专心 2 A 2 B C 4 D 4 答案 C 命题意图 本题考查双曲线的标准方程 考查双曲线的性质 属容易题 解析 可变形为 则 故选 C xy 22 1 48 xy 2 4a 2a 24a 5 2011 2011 年高考广东卷文科年高考广东卷文科 8 8 设圆设圆 C 与圆与圆 外切 与直线外切 与直线相切 则相切 则 2 3 2 1 0y C 的圆心轨迹为 的圆心轨迹为 A 抛物线抛物线 B 双曲线双曲线 C 椭圆椭圆 D 圆圆 6 20112011 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 9 9 已知椭圆 a b 0 与双曲线 22 1 22 1 xy C ab 有公共的焦点 的一条渐近线与的长度为直径的圆相交于两 2 2 2 1 4 y Cx 2 C 1 C 2 C A B 点 若恰好将线段三等分 则 1 CAB A B C D 2 13 2 a 2 13a 2 1 2 b 2 2b 答案 C 解析 由恰好将线段 AB 三等分得由 1 c 1 3 3 A A x xx x 22 2 5 5 A yx xa xy 52 5 1515 xa ya 22 22 22 52 5 52 5 1515 111 1515 a a a aab ab 在椭圆上 又 故选 C 222 1 5 2 abb 用心 爱心 专心 3 7 7 2011 2011 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 6 6 已知双曲线已知双曲线的左顶点与抛物线的左顶点与抛物线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的焦点的距离为的焦点的距离为 4 4 且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 2 2 2 2 0 ypx p 1 1 则双曲线的焦距为则双曲线的焦距为 A A B B C C D D 2 32 54 34 5 答案 B B 解析 由题意知 抛物线的准线方程为 所以 又 所以 又因2x 4p 4 2 p a 2a 为双曲线的一条渐近线过点 2 1 所以双曲线的渐近线方程为 即 所以 1 2 yx 1 2 b a 即 选 B 1b 2 5c 22 5c 8 20112011 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 11 11 设圆锥曲线 I 的两个焦点分别为 F1 F2 若曲线 I 上存在点 P 满足 4 3 2 则曲线 I 的离心率等于 1 PF 12 FF 2 PF A B 13 22 或 2 2 3 或 C D 1 2 2 或 23 32 或 答案 A 解析 由 4 3 2 可设 若圆锥曲 1 PF 12 FF 2 PF 1 4PFk 12 3FFk 2 2PFk 线为椭圆 则 若圆锥曲线为双曲线 则 故选 A 26ak 23ck 1 2 e 22ak 23ck 3 2 e 9 20112011 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 11 11 在抛物线 y x2 ax 5 a 0 上取横坐标为 x1 4 x2 2 的两点 经过两点引一条割线 有平行于该割线的一条直线同时与该抛物线和圆相切 22 5536xy 则抛物线的顶点坐标是 A 2 9 B 0 5 C 2 9 D 1 6 用心 爱心 专心 4 10 20112011 年高考陕西卷文科年高考陕西卷文科 2 2 设抛物线的顶点在原点 准线方程为 则抛物线的2x 方程是 A B C D 2 8yx 2 4yx 2 8yx 2 4yx 答案 C 解析 设抛物线方程为 则准线方程为于是故选 C 2 yax 4 a x 2 4 a 8a 11 20112011 年高考湖南卷文科年高考湖南卷文科 6 6 设双曲线 22 2 1 0 9 xy a a 的渐近线方程为320 xy 则 a的值为 A 4 B 3 C 2 D 1 答案 C 解析 由双曲线方程可知渐近线方程为 3 yx a 故可知2a 12 20112011 年高考湖北卷文科年高考湖北卷文科 4 4 将两个顶点在抛物线上 另一个顶点是此抛物 2 2 0 ypx p 线焦点的正三角形个数记为 n 则 A B C D 0n 1n 2n 3n 答案 C 用心 爱心 专心 5 解析 设满足条件的正三角形的三顶点为 A B F 依题意可知 A B 必关于 x 0 2 P 轴对称 故设 则 则 故由抛物线定义可 2 0 0 2 y Ay P 0 0 y 2 0 0 2 y By P 0 2ABy 得 则由 解得 由判别式计算得 0 2 0 22 yP AF P ABAF 22 00 40yPyP 故有两个正三角形 可知选 C 13 20112011 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 7 7 已知 F 是抛物线 的焦点 A B 是该抛物线上的两点 2 yx AF BF 3 则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 A B 1 C D 3 4 5 4 7 4 答案 C 解析 设 A B 的横坐标分别是 m n 由抛物线定义 得 m n AFBF3 1 4 1 4 m n 3 故 m n 故线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 1 2 5 2 5 24 mn 5 4 二 填空题 二 填空题 14 20112011 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 15 15 已知双曲线和椭圆 22 22 1 0b0 xy a ab 有相同的焦点 且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍 则双曲线的方程为 22 xy 1 169 用心 爱心 专心 6 16 20112011 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 14 14 双曲线 22 1 6436 xy 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 4 那么点 P 到左准线的距离是 答案 16 解析 由双曲线第一定义 PF1 PF2 16 因 PF2 4 故 PF1 20 PF1 12 舍去 设 P 到左准线的距离是 d 由第二定义 得 解得 2010 8d 16d 17 20112011 年高考全国卷文科年高考全国卷文科 16 16 已知F1 F2分别为双曲线C 1 的左 右焦点 2 9 x 2 27 y 点 A C 点 M 的坐标为 2 0 AM 为 F1AF2的平分线 则 AF2 已知F1 F2分别为双曲线C 1 的左 右焦点 点 A C 点 M 的坐标为 2 0 AM 2 9 x 2 27 y 为 F1AF2 的平分线 则 AF2 答案 6 解析 由角平分线的性质得 12 6 0 6 0 FF 11 22 8 2 4 AFFM AFMF 又 12 2 36AFAF 2 6AF 18 20112011 年高考重庆卷文科年高考重庆卷文科 9 9 设双曲线的左准线与两条渐近线交于 A B 两点 左焦点在 以AB为直径的圆内 则该双曲线的离心率的取值范围为 A 0 2 B 1 2 C 2 1 2 D 2 答案 B 三 解答题 三 解答题 18 20112011 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 22 22 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系中 已知椭圆 如图所xOy 2 2 1 3 x Cy 示 斜率为且不过原点的直线 交椭圆于 两点 0 k k lCAB 线段的中点为 射线交椭圆于点 交直线ABEOECG 于点 3x 3 Dm 用心 爱心 专心 7 求的最小值 22 mk 若 i 求证 直线 过定点 2 OGOD OEl ii 试问点 能否关于轴对称 若能 求出此时的外接圆方程 若不能 请BGxABGA 说明理由 解析 由题意 设直线 0 l ykxn n 由消 y 得 设 A B AB 的中点 2 2 1 3 ykxn x y 222 1 3 6330kxknxn 11 x y 22 xy E 则由韦达定理得 即 00 xy 12 xx 2 6 1 3 kn k 0 2 3 1 3 kn x k 所以中点 E 的坐标为 E 因为 00 2 3 1 3 kn ykxnkn k 2 1 3 n k 2 3 1 3 kn k 2 1 3 n k O E D 三点在同一直线上 所以 即 解得 OEOD kK 1 33 m k 所以 当且仅当时取等号 即的最小值为 2 1 m k 22 mk 2 2 1 2k k 1k 22 mk i 证明 由题意知 n 0 因为直线 OD 的方程为 所以由得交点 3 m yx 2 2 3 1 3 m yx x y G 的纵坐标为 又因为 且 所以 2 2 3 G m y m 2 1 3 E n y k D ym 2 OGOD OE 又由 知 所以解得 所以直线 的方程为 2 22 31 3 mn m mk 1 m k kn l 即有 令得 y 0 与实数 k 无关 所以直线 过定点 1 0 l ykxk 1 l yk x 1x l ii 假设点 关于轴对称 则有的外接圆的圆心在 x 轴上 又在线段 AB 的中垂BGxABGA 线上 由 i 知点 G 所以点 B 又因为直线 过定点 2 3 3m 2 3 m m 2 3 3m 2 3 m m l 1 0 所以直线 的斜率为 又因为 所以解得或 6 又因为l 2 2 3 3 1 3 m m k m 1 m k 2 1m 用心 爱心 专心 8 所以舍去 即 此时 k 1 m 1 E AB 的中垂线为 2 30m 2 6m 2 1n 3 4 1 4 2x 2y 1 0 圆心坐标为 G 圆半径为 圆的方程为 1 0 2 3 2 1 2 5 2 综上所述 点 关于轴对称 此时的外接圆的方程为 22 15 24 xy BGxABGA 22 15 24 xy 19 20112011 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 19 19 本小题满分 12 分 已知过抛物线的焦点 斜率为的直 02 2 ppxy22 线交抛物线于 两点 且 12 A x y 22 B xy 12 xx 9 AB 1 求该抛物线的方程 2 为坐标原点 为抛物线上一点 若 求的值 OCOBOAOC 解析 1 直线 AB 的方程是 05x4px2y 2 22 222 ppx p xy联立 从而有与 所以 由抛物线定义得 所以 p 4 4 5 21 p xx 9 21 pxxAB 抛物线方程为 xy8 2 2 由 p 4 05x4 22 ppx 化简得 从而045 2 xx 4 1 21 xx 从而 A 1 B 4 24 22 21 yy22 24 设 又 即 24 4 22 1 3 3 yxOC 2422 41 3 2 3 8xy 8 4 即 解得 2 1222 1 14 12 2 2 0 或 20 20112011 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 18 18 本小题满分 12 分 如图 直线 l y x b 与抛物线 C x2 4y 相切于点 A 1 求实数 b 的值 11 求以点 A 为圆心 且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程 解析 I 由得 2 4 yxb xy 2 440 xxb 用心 爱心 专心 9 因为直线 与抛物线 C 相切 所以 解得 l 2 4 4 4 0b 1b II 由 I 可知 故方程 即为 解得 将其代入 得1b 2 440 xx 2x 2 4xy y 1 故点 A 2 1 因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切 所以圆心 A 到抛物线 C 的准线 y 1 的距离等于圆 A 的半 径 r 即 r 1 1 2 所以圆 A 的方程为 22 2 1 4xy 命题立意 本题主要考查直线 圆 抛物线等基础知识 考查运算求解能力 考查函数与 方程思想 数形结合思想 21 20112011 年高考湖南卷文科年高考湖南卷文科 21 21 已知平面内一动点P到点 F 1 0 的距离与点P到y轴 的距离的等等于 1 I 求动点P的轨迹C的方程 II 过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线 12 l l 设 1 l与轨迹C相交于点 A B 2 l与 轨迹C相交于点 D E 求AD EB 的最小值 解析 I 设动点P的坐标为 x y 由题意为 22 1 1 xyx 化简得 2 22 yxx 当 2 0 4 0 xyxx 时当时 y 0 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 2 4 0 0 yx xx 和y 0 II 由题意知 直线 1 l的斜率存在且不为 0 设为k 则 1 l的方程为 1 yk x 由 2 1 4 yk x yx 得 2222 24 0 k xkxk 设 1122 A x yB xy则 12 x x是上述方程的两个实根 于是 1212 2 4 2 1xxx x k 因为 12 ll 所以 2 l的斜率为 1 k 设 3344 D xyB xy则同理可得 2 3434 24 1xxkx x 用心 爱心 专心 10 故1234 2 2 2 2 1 1 1 1 4 1 2 1 1 24 1 1 84 AD EBAFFDEFFB AF EFAF FBFD EFFD FB AFFBFDEF xxxx k k k k A AAAA AA 2 2 1 84 216k k A 当且仅当 2 2 1 k k 即1k 时 AD EB 取最小值 16 22 20112011 年高考陕西卷文科年高考陕西卷文科 17 17 本小题满分 12 分 设椭圆 C 过点 0 4 离心率为 求 C 的方程 求过点 22 22 10 xy ab ab 3 5 3 0 且斜率为的直线被 C 所截线段的中点坐标 4 5 解 将 0 4 代入 C 的方程得 b 4 又 得即 2 16 1 b 3 5 c e a 22 2 9 25 ab a 2 169 1 25a C 的方程为5a 22 1 2516 xy 过点且斜率为的直线方程为 3 0 4 5 4 3 5 yx 设直线与 的交点为 将直线方程代入 的方程 11 x y 22 xy 4 3 5 yx 得 即 解得 2 2 3 1 2525 xx 2 380 xx 1 341 2 x 2 341 2 x AB 的中点坐标 即中点为 12 3 22 xx x 12 12 26 6 255 yy yxx 36 25 注 注 用韦达定理正确求得结果 同样给分 23 20112011 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 21 21 本小题共 12 分 过点 0 1 C的椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的离心率为 3 2 椭圆与x轴交于两点 用心 爱心 专心 11 0 Ba 过点C的直线l与椭圆交于另一点D 并与x轴交于点P 直线 0A a AC与直线BD交于点Q I 当直线l过椭圆右焦点时 求线段CD的长 当点 P 异于点 B 时 求证 OP OQ 为定值 解析 I 因为椭圆过 C 1 0 所以 b 1 因为椭圆的离心率是 所以 3 2 故 椭圆方程为 222 3 2 c abc a 又2 3ac 2 2 1 4 x y 当直线 过椭圆右焦点时 直线 的方程为 由得或ll1 3 x y 2 2 1 4 1 3 x y x y 8 3 7 1 7 x y 则 故 0 1 x y 8 3 0 1 1 7 CD 2 2 8 31 1 77 CD 16 7 直线 CA 的方程为 设点 P 则直线 AP 的方程为1 2 x y 0 0 x 0 2 x 0 1 x y x 把 代入椭圆方程 得 从而可求 0 2 0 8 4 D x x x 2 00 22 00 84 44 xx D xx 因为 B 2 0 所以直线 BD 的方程为 0 0 2 2 22 x yx x 由 可得 从而求得 0 4 Q x x 00 42 1Q xx 用心 爱心 专心 12 0 00 42 014OP OQx xx 所以为定值 OP OQ 24 20112011 年高考全国卷文科年高考全国卷文科 22 22 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 已知O为坐标原点 F为椭圆在y轴正半轴上的焦点 过F且斜率为的 2 2 1 2 y C x 2 直线 与C交与A B两点 点P满足 证明 点P在C上 l0 OAOBOP 设点P关于点O的对称点为Q 证明 A P B Q四点在同一圆上 解析 证明 由 2 2 1 0 1 2 y xF 得 21l yx 由 2 2 2 12 42 210 1 2 yx xx y x 得 设 11111 2 284 4 1 26 2 44 A x yB x yx 则 2 2 284 4 1 26 2 44 x 1 2631 21 42 y 2 2613 21 42 y 0 OAOBOP 12 12 2 2 1 p p xxx yyy 故点 P 在 C 上 2 2 22 21 1 222 p p y x 法一 点 P P 关于点 O 的对称点为 Q 2 1 2 2 1 2 Q 即 同理 2 2 111 2 2 1 11 31 1 111 2 1 1 22261 2 2242 AQAP yyy KK x xx 90PAQ 即 A P B Q 四点在同一圆上 1 PBBQ KK 90PBQ 180PAQPBQ 用心 爱心 专心 13 法二 由已知有则的中垂线为 设 的中点为 1 2 2 QPQxy 2 2 AB 33 y xD 2 1 2 1212 2 4 2 2 1121 3 21 3 xxyy y xx x 则的中垂线为 2 1 4 2 D AB4 1 2 2 xy 则的中垂线与的中垂线的交点为 PQ AB 8 1 8 2 O 8 113 QOPO 到直线的距离为 8 1 8 2 O AB 8 33 3 1 8 1 8 2 2 d 2 23 43 21 2 21 2 21 2 21 xxxxyyxxAB 即 8 113 2 2 2 d AB BOAO QOPOBOAO 四点在同一圆上 APB Q 25 20112011 年高考湖北卷文科年高考湖北卷文科 21 21 本小题满分 13 分 平面内与两定点连线的斜率之积等于非零常数 m 的点的轨迹 加 12 0 0 0 AaA aa 上 A1 A2两点所在所面的曲线 C 可以是圆 椭圆或双曲线 求曲线 C 的方程 并讨论 C 的形状与 m 的位置关系 当 m 1 时 对应的曲线为 C1 对给定的 对应的曲线为 C2 1 0 0 m 设 F1 F2是 C2的两个焦点 试问 在 C1上 是否存在点 N 使得 F1NF2的面 积 若存在 求的值 若不存在 请说明理由 2 Sm a 12 tanF NF 本小题主要考查曲线与方程 圆锥曲线等基础知识 同时考查推理运算的能力 以及分 类与整合和数形结合的思想 解析 1 设动点为 M 其坐标 x y 当时 由条件可得xa 2 12 22 yyy kmkmm xa xaxa 用心 爱心 专心 14 即又的坐标满足 222 mxymaxa 12 0 0 AaA a 222 mxyma 故依题意 曲线 C 的方程为 222 mxyma 当时 曲线 C 的方程为 C 是焦点在 y 轴上的椭圆 1m 22 22 1 xy ama 当时 曲线 C 的方程为 C 是圆心在原点的圆 1m 222 xya 当时 曲线 C 的方程为 C 是焦点在 x 轴上的椭圆 10m 22 22 1 xy ama 当时 曲线 C 的方程为 C 是焦点在 x 轴上的双曲线 0m 22 12 1 xy ama 2 由 1 知 当时 C1的方程为 1m 222 xya 当时 C2的两个焦点分别为 1 0 0 m 12 1 0 1 0 FamF am 对于给定的 C1上存在点使得的充 1 0 0 m 000 0 N xyy 2 Sm a 要条件是 222 000 2 0 0 1 21 2 xyay am ym a 由 得 由 得 0 0 ya 0 1 m a y m 当即 或时 0 1 m a a m 15 0 2 m 15 0 2 m 存在点 N 使 2 Sm a 当即 或时 1 m a a m 15 1 2 m 15 2 m 不存在满足条件的点 N 当时 1515 0 0 22 m 由 100200 1 1 NFamxyNFamxy 可得 2222 1200 1 NFNFxm ayma 令 112212 FNF NFrNFr 用心 爱心 专心 15 则由可得 2 121 2cos NFNFrrma 2 1 2 cos ma rr 从而于是由 2 2 1 2 1sin1 sintan 22cos2 ma Srrma 2 Sm a 可得 即 22 1 tan 2 mam a 2 tan m m 综上可得 当时 在 C1上 存在点 N 使得 且 15 0 2 m 2 Sm a 12 tan2 F NF 当时 在 C1上 存在点 N 使得 且 15 0 2 m 2 Sm a 12 tan2 F NF 当时 在 C1上 不存在满足条件的点 N 1515 1 22 m 26 20112011 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 22 22 本题满分 15 分 如图 设是P 抛物线 上动点 圆 的圆心为点 1 C 2 xy 2 C 22 3 1xy M 过点做圆的两条切线 交直线 于两点 P 2 Cl3y A B 求的圆心到抛物线 准线的距离 2 CM 1 C 是否存在点 使线段被抛物线在点处得切线平PAB 1 CP 分 若存在 求出点的坐标 若不存在 请说明理由 P 解析 由得准线方程为 由得 M 圆心 M 2 xy 1 4 y 22 3 1xy 0 3 到抛物线的准线的距离为 1 c 111 3 44 设点的坐标为抛物线在点处的切线交直线 于点 再设横P 2 00 x x 1 CPlD A B D 坐标分别为 过点的抛物线的切线方程为 ABD xxxP 2 00 x x 1 C 1 2 000 2 yxx xx 当时 过点与圆的切线为可得 0 1x P 1 1 2 CPA 15 1 1 8 yx 当时 过点与圆的切线 17 1 1 15 ABD xxx 2 ABD xxx 0 1x P 1 1 2 C 为可得 所以 PA 15 1 1 8 yx 17 1 1 15 ABD xxx 2 ABD xxx 2 0 10 x 设切线 的斜率为则 2 PAPB 12 k kPA 2 010 yxk xx PB 用心 爱心 专心 16 2 020 yxkxx 27 27 2011 2011 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 18 18 本小题满分 本小题满分 1313 分 分 设椭圆设椭圆的左 右焦点分别为的左 右焦点分别为 点点满足满足 22 22 1 0 xy ab ab 12 F F P a b 212 PFFF 求椭圆的离心率 求椭圆的离心率 e 设直线设直线与椭圆相交于与椭圆相交于 A BA B 两点两点 若直线若直线与圆与圆相交于相交于 M NM N 2 PF 2 PF 22 1 3 16xy 两点两点 且且 MN MN AB AB 求椭圆的方程求椭圆的方程 5 8 解析 设 因为 所以 1 0 Fc 2 0 F c0c 212 PFFF 整理得 22 2acbc 用心 爱心 专心 17 即 解得 2 2 10 cc aa 2 210ee 1 2 e 由 知 可得椭圆方程为 直线的方程为2 3ac bc 222 3412xyc 2 PF 3 yxc A B 两点坐标满足方程组 消 y 整理得 解得或 所 222 3412 3 xyc yxc 2 580 xcx 0 x 8 5 c 以 A B 两点坐标为 所以由两点间距离公式得 AB 83 3 55 c c 0 3 c 16 5 c 于是 MN AB 圆心到直线的距离 5 8 2c 1 3 2 PF 3 2 2 c d 因为 所以 解得 所以椭圆方程为 222 4 2 MN d 22 3 2 16 4 cc 2c 22 1 1612 xy 命题意图命题意图 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质 直线的方程 两点间的距离公式 点到直线的距离公式 直线与圆的位置关系等基础知识 考查用代数方法研究圆锥曲线的性 质及数形结合的数学思想 考查解决问题能力与运算能力 28 2011 2011 年高考江苏卷年高考江苏卷 18 18 如图 在平面直角坐标系中 M N 分别是椭圆xOy 的顶点 过坐标原点的直线交椭圆于 P A 两点 其中 P 在第一象限 过 P 作 x1 24 22 yx 轴的垂线 垂足为 C 连接 AC 并延长交椭圆于点 B 设直线 PA 的斜率为 k 1 当直线 PA 平分线段 MN 求 k 的值 2 当 k 2 时 求点 P 到直线 AB 的距离 d 3 对任意 k 0 求证 PA PB 解析 1 因为 2 0 M 0 2 N 所以 MN 的中点坐标为 1 又因为直线 PA 平分线段 MN 2 2 所以 k 的值为 2 2 N M P A x y B C 用心 爱心 专心 18 2 因为 k 2 所以直线 AP 的方程为 由得交点 P A 2yx 22 2 1 42 yx xy 2 4 3 3 24 33 因为 PC x 轴 所以 C 所以直线 AC 的斜率为 1 直线 AB 的方程为 所 2 0 3 2 3 yx 以 点 P 到直线 AB 的距离 d 242 333 2 2 2 3 3 法一 由题意设 0000110 0 P xyAxyB x yC x 则 A C B 三点共线 又因为点 P B 在椭圆上 0101 10010 2 yyyy xxxxx 两式相减得 2222 0011 1 1 4242 xyxy 01 01 2 PB xx k yy 0011001 0011001 1 2 PAPB yxxyyxx k k xyyxxyy PAPB 法二 设 112200111 A BN x y P C 0 A x yB xyxyx 中点则 A C B 三点共线 又因为点 A B 在椭圆上 2211 21211 2 AB yyyy k xxxxx 两式相减得 2222 2211 1 1 4242 xyxy 0 0 1 2 AB y xk 01 01 1 21 2 ONPAAB AB y y kkk x xk ONPBPAPB A 29 20112011 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 21 21 本小题满分 12 分 如图 已知椭圆 C1的中心在圆点 O 长轴左 右端点 M N 在 x 轴上 椭圆 C1的短轴为 MN 且 C1 C2的离心率都为 e 直线 l MN l 与 C1交于两点 与 C1交于两点 这四点按 纵坐标从大到小依次为 A B C D 用心 爱心 专心 19 I 设 e 求 BC 与 AD 的比值 1 2 II 当 e 变化时 是否存在直线 l 使得 BO AN 并说明理由 解析 I 因为 C1 C2的离心率相同 故依题意可设 22222 12 2242 1 1 0 xyb yx CCab abaa 设直线分别和 C1 C2联立 求得 l xt ta 2222 ab A tatB tat ba 当时 分别用 yA yB表示 A B 的纵坐标 可知 1 2 e 3 2 ba BC AD 2 2 2 3 2 4 B A yb ya II t 0 时的 l 不符合题意 t 0 时 BO AN 当且仅当 BO 的斜率 kBO与 AN 的斜率 kAN相 等 即 2222 ba atat ab tta 解得 22 222 1abe ta abe 因为 又 所以 解得 ta 01e 2 2 1 1 e e 2 1 2 e 所以当时 不存在直线 l 使得 BO AN 当时 存在直线 l 使得 2 0 2 e 2 1 2 e 用心 爱心 专心 20 BO AN 30 2011 2011 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 17 17 本小题满分 13 分 设直线 11221212 x 1 y k x1kkk k 20lykl 其中实数满足 I 证明与相交 1 l 2 l II 证明与的交点在椭圆上 1 l 2 l 22 2x y 1 命题意图 本题考察直线与直线的位置关系 线线相交的判断与证明 点在线上的判 断与证明 椭圆方程等基本知识 考察反证法的证明思路 推理论证能力和运算求解能力 解析 1 反证法 假设与不相交 则与必平行 代入 1 l 2 l 1 l 2 l 12 k k 得 12 k k20 与是实数相矛盾 从而 即与相交 2 1 k20 1 k 12 kk 1 l 2 l 2 方法一 由得交点 p 的坐标 x y 为 1 2 k1 k1 yx yx 21 21 21 2 x kk kk y kk 而 22222 2222 2121121212 22222 212121121212 8 8242 2x y 2 1 24 kkkkkkk kkk kkkkkkkkk kkk 所以与的交点 p 的 x y 在椭圆上 1 l 2 l 22 2x y 1 方法二 与的交点 p 的 x y 满足 从而 1 l 2 l 1 2 k1 k1 yx yx 0 x 代入得 整理得 1 2 1 k 1 k y x y x 12 k k20 11 20 yy xx 22 2x y 1 所以与的交点 p 的 x y 在椭圆上 1 l 2 l 22 2x y 1 用心 爱心 专心 21 解题指导 两直线的位置关系判定方法 111222 x y k xlykblb 1 121212 k llkbb 且 2 1212 kllk 与相交 3 121212 k llkbb 与重合且 证明两数不等可采用反证法的思路 点在线上的判断与证明只要将点的坐标代入曲线方程判断其是否成立即可 或求出交点的轨 迹方程并判断与所给的曲线方程是否一致即可 本题属于中档题 31 2011 2011 年高考广东卷文科年高考广东卷文科 21 21 本小题满分 本小题满分 14 分 分 在平面直角坐标系在平面直角坐标系中 直线中 直线交交轴于点轴于点 A 设 设 P 是是 上一点 上一点 M