全等三角形、轴对称能力提高练习

全等三角形 轴对称能力提高练习全等三角形 轴对称能力提高练习 1 如图 P 是等边 ABC 内的一点 连接 PA PB PC 以 PB 为边作等边 BPM 连接 CM 1 观察并猜想 AP 与 CM 之间的大小关系 并说明你的结论 2 若 APC 100 PMC 为直角三角形 求 APB 的度数 2 如图 已知在四边形 ABCD 中 AC 平分 BAD 过 C 作 CE AB 于 E 并且 AE 求 ABC ADC 的度数 2 1 ADAB 3 点 P 在 AOB 内 点 M N 分别是点 P 关于 OA OB 的对称点 M N 的连线交 OA 于点 E 交 OB 于点 F 若 PEF 的周长为 20cm 求线段 MN 的长 拓展 1 若 AOB 45 连接 OM ON 判断 MON 的形状 并说明理由 2 已知点 P 在 AOB 内 在 OA OB 上分别取点 E F 使 PEF 周长最小 请画出图形 并写出过程 4 已知如图 等腰 Rt ABC 中 BAC 90 点 D 是 BC 边的中点 且 BE AF 求证 DE DF 5 如图 ABC 中 ABC 90 AB CB AE 平分 BAC 过点 C 作 CD AD 于点 D 求证 CD AE 2 1 7 如图所示 ABC 中 AB AC 在 AB 上取一点 E 在 AC 延长线上取一点 F 使 BE CF EF 交 BC 于 G 求证 EG FG 8 已知 ABC 中 AB AC 且过 ABC 的某一顶点的直线可将 ABC 分成两个 等腰三角形 试求 ABC 各内角的度数 A M P C B AE D C B F E M N P O B A F E D A CB A E D C B G E C B A F 9 如图 ABC 中 BD 是 AC 边上的中线 BD BC 于点 B 且 ABC 120 求证 AB 2BC 10 如图所示 ABC 是等边三角形 P 是三角形外一点 且 ABP ACP 180 求证 PB PC PA 11 已知 P 是等边 ABC 内任意一点 过点 P 分别向三边作垂线 垂足分别是 D E F 试证明 PD PE PF 是不变的值 12 如图所示 等边 ABC D E 分别在 AC AB 的延长线上 且 CD AE 求证 DB DE 13 如图 在 ABC 中 AD 平分 BAC ABC 2 C 求证 AB BD AC 14 在图 1 至图 3 中 ABC 是等边三角形 点 E 在 AB 上 点 D 在 CB 的延长线上 且 ED EC 观察思考 观察思考 当点 E 为 AB 的中点时 如图 1 线段 AE 与 DB 的大小关系是 AE DB 填 或 拓展延伸 拓展延伸 C D B A P B C A P A D E F B C A D E B C 2 1 D CB A DCB E A 图 1 E D CB A 图 2 F E D CB A 图 3 当点 E 不是 AB 的中点时 如图 2 猜想线段 AE 与 DB 的大小关系是 AE DB 填 或 并说明理由 提示 在图 2 中 过点 E 作 EF BC 角 AC 于点 F 得到图 3 15 如图 1 在 ABC 中 ACB 为锐角 点 D 为射线 BC 上一点 连接 AD 以 AD 为一边且在 AD 右侧作 正方形 ADEF 解答下列问题 如果 AB AC BAC 90 当点 D 在线段 BC 上时 与点 B 不重合 如图 2 线段 CF BD 之间的位置关系为 数量关系为 当点 D 在线段 BC 的延长线上时 如图 3 中的结论是否仍然成立 请说明理由 2 如图 4 如果 AB AC BAC 90 点 D 在线段 BC 上运动 其余条件不变 猜想当 BCA 等于多少 度时 CF BC 请说明理由 16 三角形 ABC 中 BD 和 CE 是三角形的高 延长 BD 至点 F 使 BF AC 在 EC 上取点 P 使 CP AB 作 FM 垂直于 BC PN 垂直于 BC 求证 PN FM BC 17 如图 等腰直角 ABC 中 AC BC ACB 90 P 为 ABC 内部一点 满足 PB PC AP AC 则 BCP C B F D E A CB F D E A 图 1 图 2 F E DCB A 图 3 F E DCB A 图 4 F N M P E D CB A P CB A 18 如图 ABC 中 AB AC 角 BAC 90 度 D 为 BC 上一点 过 D 作 DE 垂直 AD 且 DE AD 连接 BE 求 DBE 的度数 19 如图 ABC 中 BAC 90 AB AC 点 D 是 BC 上一点 DE AD 且 DE AD 求证 CE AC 20 ABC 为等边三角形 BDA ADC 60 试说明 AD BD DC 21 在等边三角形 ABC 中的 AC 延长线上取一点 E 以 CE 为边做等边三 角形 CDE 使它与三角形 ABC 位于直线 AE 的同一侧 点 M 为 线段 AD 的中点 点 N 为线段 BE 的中点 求证 三角形 CNM 为等边三角形 22 正方形 ABCD E 为 BC 上一点 AEF 为直角 CF 平分 DCG 1 如图 1 当点 E 在线段 BC 上时 求证 AE EF 2 如图 2 当点 E 在 BC 的延长线上时 试判断 AE EF 是否依然成立 并说明理由 23 如图 ABC CDE 是边等三角形 C 为线段 AE 上一不动点 A D E C B A C E DB D C A B N M E B D CA D C B A F EG 图 1 D C B AF EG 图 2 O A M N D E C B CN AB AD BE AOE 120 度 CM CN OC 平分 AOE OB OC OA DM CN 其中正确的有 参考答案 参考答案 1 1 AP CM 证明 AB BC ABP CBM BP BM ABP CBM SAS AP CM 2 APC 100 BAP BCP BCP BCM PCM 100 60 40 若 CPM 90 如图 1 则 APB 360 BPM CPM APC 360 60 90 100 110 若 CMP 90 如图 2 A M P CB 图 1 A M P CB 图 2 则 APB 360 BPM CPM APC 360 60 50 100 150 2 过点 C 作 CF AD 交 AD 的延长线于点 F AC 平分 BAD CE AB AEC AFC 90 EAC FAC CE CF AEC AFC AE AF AE AB AD 2 1 2AE AB AD AB AE AE AD AB AE AF AD 即 EB FD 在 EBC 和 FDC 中 CE CF BEC DFC 90 EB FD EBC FDC B FDC 即 ABC FDC FDC ADC 180 ABC ADC 180 3 M N 分别是点 P 关于 OA OB 的对称点 EP EM FP FN PEF 的周长 EP EF FP EM EF FN 即 PEF 的周长 线段 MN PEF 的周长 20cm MN 20cm 1 连接 OM OP ON M N 分别是点 P 关于 OA OB 的对称点 OM OP ON OP MOA POA NOB POB OM ON MON MOA POA NOB POB 2 POA POB 2 AOB AOB 45 MON 90 MON 是等腰直角三角形 2 分别作点 P 关于 OA OB 的对称点 M N 连接 MN 分别交 OA OB 于点 E F 连接 PE PF PEF 即为所求 4 提示 连接 AD 证 ADF BDE 5 提示 延长 AB 与 CD 的延长线交于点 F 证 ABE CBF 6 提示 1 EC BD 2 BOP BAE 60 故 BOP 的大小与 ABC 形状无关 7 提示 过点 E 作 EM AC 交 BC 于点 M 证 MEG CFG A F E D C B F E M N P O B A 8 1 当在底边 BC 边上取点时 分两种情况 如图 1 在 BC 上取点 E 使 AE BE CE 时 容易计算得 B C 45 BAC 90 如图 2 在 BC 上取点 F 使 AB FB AF CF 设 B C x 则 FAC x BFA BAF 2x 所以 有 x x x 2x 180 x 36 2x 72 3x 108 B C 36 BAC 108 2 当在腰上取点时 也有两种情况 如图 3 在 AC 上取点 D 使 BD AD BC 设 A x 则 ABD x 所以 BDC 2x C 2x DBC x 所以有 x 2x 2x 180 x 36 2x 72 所以 A 36 ABC ACB 72 如图 4 在 AC 上取点 G 使 AG BG CG CB 设 A x 则 ABG x BGC CBG 2x 所以 ABC ACB 3x 所以 x 3x 3x 180 x 3x 7 180 7 540 所以 A ABC ACB 7 180 7 540 综上所述 ABC 各内角度数分别为 45 45 90 或 36 36 108 或 36 72 72 或 7 180 7 540 7 540 9 如图 延长 BD 到点 E 使 DE DB 连接 AE ADE CDB 所以 AE BC AED 90 由 ABC 120 BD BC 所以 ABD 30 所以 AB 2AE 2BC 10 延长 PC 到点 D 使 CD BP 连接 AD 45 45 45 45 A E C B 图 1 x F x x 2x 2x A C B 图 2 x 2x 2x x x D CB A 图 3 3x 2x 2x x x G CB A 图 4 CD E B A ABP ACP 180 ACP ACD 180 ABP ACD 在 ABP 和 ACD 中 AB AC ABP ACD BP CD ABP ACD AP AD BAP CAD BAP PAC 60 CAD PAC 60 即 PAD 60 PAD 60 PAD 是等边三角形 AP PD PC CD AP PB PC 11 过点 A 作 AH BC 于 H 连接 PA PB PC S ABC S PAB S PBC S PAC BC AH AB PD BC PE AC PF 2 1 2 1 2 1 2 1 又 AB BC AC AH PD PE PF PD PE PF 的值是等边 ABC 的高 是不变的值 12 如图 延长 AE 到点 F 使 EF AB 连接 DF 证明 ABD FED 13 延长 AB 至点 E 使 BE BD 连接 DE 则 BED BDE ABD E BDE ABD 2 E ABC 2 C E C 在 AED 和 ACD 中 D P B C A P A H D E F B C A D E F B C 2 1 E D CB A E C 1 2 AD AD AED ACD AC AE AE AB BE AC AB BD 即 AB BD AC 14 提示 证明 BDE FEC 15 1 CF BD CF BD 成立 提示 证明 ABD ACF 2 如右图 过点 A 作 AG AC 交 BC 于点 G AGD ACG 90 GAD DAC 90 CF BC ACF ACG 90 AGD ACF 四边形 ADFE 是正方形 CAF DAC 90 AD AF GAD CAF 在 AGD 和 ACF 中 AGD ACF GAD CAF AD AF AGD ACF AG AC AGC ACG 45 即 BCA 45 当 BCA 45 时 CF BC 16 过点 A 作 AQ BC 于点 Q AQB 90 BAQ ABQ 90 CE AB PCN ABQ 90 BAQ PCN PN BC CNP 90 AQB CNP 又 AB CP G A B F E D C F Q NM P E D CB A P CB A ABQ CPN BQ PN 同理可证 ACQ BFM CQ FM PN FM BQ CQ 即 PN FM BC 17 作 PM BC PN AC 垂足分别为 M N 四边形 PMCN 是矩形 PN CM PB PC CM BM BC AC PN AC 2 1 2 1 2 1 AP AC PN AP 2 1 在直角 PAN 中 PAN 30 PCA CPA 75 BCP 90 75 15 18 过点 A 作 AN BC 于点 N 过点 E 作 EM BC 于点 M DME AND 90 DAN ADN 90 DE AD EDM ADN 90 EDM DAN 在 EDM 和 DAN 中 DME AND EDM DAN DE AD EDM DAN DM AN EM DN AB AC BAC 90 BN AN BN DM BN MN DM MN 即 BM DN EM BM DBE 45 A M N D E C B N M C A E DB 19 提示 过点 A 作 AM BC 于点 M 过点 E 作 EN BC 交 BC 的延长线于点 N 证明 AMD DNE 其余如上题 20 在 DA 上截取 DE BD 连接 BE BDA 60 BDE 是等边三角形 BD BE DBE 60 ABC 为等边三角形 ABC 60 AB BC ABC DBE ABC CBE DBE CBE 即 ABE CBD BD BE BC AB CBD ABE SAS CD AE AD AE DE CD BD 21 提示 证明 ACD BCE 然后证明 AMC BNC MCA NCB MC NC MCA MCB 60 NC