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数值分析原理习题答案【篇一：数值分析习题】学号 班级 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为0.5?10,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 2 ?3.14159?具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 3 已知a?1.2031，b?0.978是经过四舍五入后得到的近似值，问a?b，a?b有几位有效数字？（有效数字的计算） 4 设x?0，x的相对误差为?，求lnx的误差和相对误差？（误差的计算） * 5测得某圆柱体高度h的值为h?20cm，底面半径r的值为r?5cm，已知 ?5 |h?h*|?0.2cm，|r?r*|?0.1cm，求圆柱体体积v?rh的绝对误差限与相对误差 限。（误差限的计算） 6 设x的相对误差为a%,求y?xn的相对误差。（函数误差的计算） 7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为1%，问度量半径r时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算） 1 2 8 设in?e ?1 nxx?edx，求证： 0 （1）in?1?nin?1(n?0,1,2?) （2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计 算方法的比较选择）第二章 插值法 姓名 学号 班级 习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。 1 已知f(?1)?2,f(1)?1,f(2)?1，求f(x)的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值） 2 已知y? x,x0?4,x1?9，用线性插值求7的近似值。（拉格朗日线性插值） 3 若xj(j?0,1,.n)为互异节点，且有 lj(x)? 试证明 (x?x0)(x?x1)?(x?xj?1)(x?xj?1)?(x?xn)(xj?x0)(xj?x1)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn) ?xl j?0 n kjj （拉格朗日插值基函数的性质） (x)?xk(k?0,1,.n)。 ,sin0.34?0.333487,sin0.36?0.3522744 已知sin0.32?0.314567，用抛物线插值计 算sin0.3367的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值） 5 用余弦函数cosx在x0?0，x1?多项式, 并近似计算cos日二次插值） 6 已知函数值f(0)?6,f(1)?10,f(3)?46,f(4)?82,f(6)?212，求函数的四阶均差 ? 4 ，x2? ? 2 三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值 ? 6 及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗 f0,1,3,4,6和二阶均差f4,1,3。（均差的计算） 7 设f(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn)求fx0,x1?xp之值，其中p?n?1，而节点 xi(i?0,1,?n?1)互异。（均差的计算） 8 如下函数值表建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造） 9求一个次数小于等于三次多项式p(x)，满足如下插值条件：p(1)?2，p(2)?4， p?(2)?3，p(3)?12。（插值多项式的构造）10 构造一个三次多项式h(x)，使它满足条件h(0)?1,h(1)?0,h(2)?1,h?(1)?1（埃尔米特插值）。 11 设f(x)?x,x0?1/4,x1?1,x2?9/4。(1)试求f(x)在?1/4,9/4?上的三次埃尔米特插值多项式h(x)，使得h(xj)?f(xj),j?0,1,2,h?(x1)?f?(x1)，h(x)以升幂形式给出。(2)写出余项r(x)?f(x)?h(x)的表达式。（埃尔米特插值及其余项的计算）。 12 若f(x)?c2a,b,f(a)?f(b)?0，试证明： 32 max|f (x)|? a?x?b 1 ?b?a?2max|f? (x)|（插值余项的应用） a?x?b8 13 设f(?2)?1,f(0)?1,f(2)?2,求p(x)使p(xi)?f(xi)(i?0,1,2)； 又设 |f?(x)|?m ，则估计余项r(x)?f(x)?p(x)的大小。（插值误差的估计）姓名 学号 班级 习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。 1 设f(x)?sin?x，求f(x)于0,1上的线性最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近） 2 令f(x)?ex,?1?x?1，且设p(x)?a0?a1x,求a0,a1使得p(x)为f(x)于?1,1 上的最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近） 3证明：切比雪夫多项式序列 tk(x)?cos(karccosx) 在区间?1,1?上带权?(x)? 1?x 2 正交。（正交多项式的证明） ?x1?x2?3? 4求矛盾方程组：?x1?2x2?4的最小二乘解。（最小二乘法） ?x?x?2 2?1 5 已知一组试验数据试用直线拟合这组数据. (计算过程保留3位小数)。（最小二乘线性逼近） 6 用最小二乘原理求一个形如y?a?bx2的经验公式,使与下列数据相拟合。（最小二乘二次逼近）姓名 学号 班级 习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式（梯形，辛甫生公式），复化求积的计算，高斯公式的构造。 1给定求积公式 ? h ?h f(x)dx?af(?h)?bf(0)?cf(h)试确定a,b,c使它的代数精度尽可能 高。（代数精度的应用和计算） 2 求积公式 ? 1 f(x)dx?a0f(0)?a1f(1)?b0f?(0)，试确定系数a0,a1及b0，使该求积 公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。（代数精度的应用和计算） 3数值积分公式 ? 30 3 f(x)dx?f(1)?f(2)，是否为插值型求积公式，为什么？又该公式 2 b 的代数精确度为多少？（插值型求积公式特征） 4如果f?(x)?0，证明用梯形公式计算积分几何意义。（梯形求积） 5用n?4的复化梯形公式计算积分 ? a f(x)dx所得到的结果比准确值大，并说明其 ? 2 1 1 dx，并估计误差。（复化梯形求积） x 6设f(?1)?1,f(?0.5)?4,f(0)?6,f(0.5)?9,f(1)?2,则用复化辛甫生公式计算 ? 1 ?1 f(x)dx，若有常数m使 |f(4)|?m，则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。（复 化辛甫生公式） 1 7已知高斯求积公式 ?1 ?f(x)dx?f(0.57735)?f(?0.57735) 将区间0,1二等分，用复 1 化高斯求积法求定积分 ? xdx的近似值。（高斯公式） 8 试确定常数a，b，c和a，使得数值积分公式 ? 2 ?2 f(x)dx?af(?a)?bf(0)?cf(a)有尽 可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为高斯型的？（代数精度的应用和计算，高斯点的特征） 9设?pn(x)?是0,1区间上带权?(x)?x的最高次幂项系数为1的正交多项式系 （1）求p2(x)。 （2）构造如下的高斯型求积公式 ? 1 xf(x)dx?a0f(x0)?a1f(x1)。（高斯求积）【篇二：数值分析简单习题】章： 基本概念 第二章： gauss消去法，lu分解法 第三章： 题型：具体题证明，误差分析 三个主要迭代法，条件误差估计，范数的小证明 第四章： 掌握三种插值方法：拉格朗日，牛顿，厄尔米特，误差简单证明，构造复合函数 第五章： 最小二乘法计算 第六章： 梯形公式，辛普森（抛物线）公式，高斯公式三个重要公式，误差分析。 高斯求积公式的构造 第七章： 几种常用的迭代格式构造，收敛性证明。 第九章： 基本概念（收敛阶，收敛条件，收敛区域等）, 简单欧拉法。 第一章 误差 1. 科学计算中的误差来源有4个，分别是_，_，_，_。 2. 用taylor展开近似计算函数f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)，这里产生是什么误差？ 3. 0.7499作3的近似值，是_位有效数字，65.380是舍入得到的近似值，有_几4 位有效数字，相对误差限为_. 0.0032581是四舍五入得到的近似值，有_位有效数字. 4. 改变下列表达式，使计算结果比较精确： （1） （3） 11?x?,1?2x1?x|x|?1 （2） |x|?1 1?cosx,xx?0,|x|?1. （4） sin?sin?,? 5.采用下列各式计算1)6时，哪个计算效果最好？并说明理由。 （1）6（2）（3）（499?(3?6. 已知近似数x*有4位有效数字，求其相对误差限。 上机实验题： xk x1、利用taylor 展开公式计算 e?，编一段小程序，上机用单精度计算e的函数 k?0k!x? 值. 分别取 x =1，5，10，20，-1，-5，-10，-15，-20，观察所得结果是否合理，如不合理请分析原因并给出解决方法. 2、已知定积分in? in?110xndx,n?0,1,2,?,20,有如下的递推关系 x?6 0n?11xxn(x?6)?6xn?11dx?dx?in?1 0x?6x?6n?6 可建立两种等价的计算公式 (1) in?11?6in?1,取i0?0.154；1?nin),取i20?0.(2) in?1?n6n 来计算i1,i2,i3,i4,?,i19，编程比较哪种计算的数值结果好，并给出理论分析。 第二章 插值法 1. 已知f(0)?2,f(1)?1，那么差商f1,0?_. 2. n阶差商与导数的关系是fx0,x1,?,xn?_. 3. 由导数和差商的关系知，fxi,xi=_。 4. 已知函数f(x)在x?3,1,4的值分别是4，6，9，试构造lagrange插值多项式。 5.取节点x0?0,x1?1,x2?2, 对应的函数值和导数值分别为f(x0)?1, f(x1)?2,f(x1)?2，试建立不超过二次的插值多项式。(如果将最后一个条件改为f(x2)?2，插值多项式如何计算？) 6已知f(0)?1,f(1)?2,f(1)?3,f(2)?9，试建立不超过3次的插值多项式，并写出插值余项. 7. 设f(x)?c4a,b,求三次多项式p3(x),使之满足插值条件 ?p(xi)?f(xi),?p(x1)?f(x1)i?0,1,2 28. 设p1(x)是过x0,x1的一次插值多项式，f(x)?ca,b,其中a,b是包含x0,x1的任一区 间。试证明：对任一给定的x?a,b，在（a,b）上总存在一点?，使得r(x)?f(x)?p1(x)?f?(?)(x?x0)(x?x)1。 2! n9.证明关于互异节点xiin?0的lagrange插值基函数li(x)满足恒等式i?0 l0(x)?l1(x)?ln(x)?1 上机习题： 1. 绘制4题的lagrange的插值函数的图像。 第三章 数据拟合 1. 数据拟合与插值的区别是什么？2. 最小二乘原理是使偏差?i的_达到最小 3. 求过点（2,3），（0,1），（3,5）的线性拟合函数。 4. 用最小二乘法求一形如y?a?bx2的多项式，使与下列数据相拟合第四章 线性方程组的直接解法 1. 线性方程组的解法大致可分为_，_。 2. 平方根法和ldlt分解法要求系数矩阵a满足_。 3. 上三角和下三角方程组的解法分别称为_，_。 4. 严格对角占优矩阵的定义是什么？ 5. 试求下面矩阵的杜利特尔分解 ?62?（1） ?。 ?3?4? ?213?。 457（2） ?285? ?15?2?x1?1?x?13?。 0436. 用列主元高斯消去法求解方程组 ?2?206?x3?3? ?211?x1?1?x?1?。 6?167. 用lu分解法解方程组 ?2?1027?x3?2? 上机实验题： 1. 编程实现列主元的高斯消去法 2. 编程实现lu分解法 第五章 线性方程组的迭代解法?1. 向量x?(3,2,?1,?7)t，计算|x|1，|x|2，|x|?. ?31?2?，计算|a|，|a|，|a|. 0102. a=? 2?1?126? ?20?3. a?, 分别计算a的谱半径?(a), 条件数cond?(a)，|a|1 03? 4. 矩阵a的范数与谱半径的关系为_。 5. 求解ax=b的迭代格式x(k?1)?bx(k)?g收敛的充分必要条件_。 6. sor迭代法收敛的一个必要条件是松驰因子_。 7. 写出下面方程的jacobi迭代格式 ?10x1?x2?2x3?7?x1?10x2?2x3?8 ?x?x?5x?43?12 8. 给定下列方程组，判断对它们构造的jacobi迭代公式和gauss-seidel迭代公式是否收敛 ?5x1?5x2?x3?2?5x1?2x3?7?（1）?（2） ?5x1?12x2?8 ?2x1?x2?8?x?x?5?13 9. 对下列方程组建立收敛的简单迭代公式（提示：先调整方程组） ?16?2?x1?1?3?26?x?2? ?2?41?1?x3?4? 10. 给定方程组 ?12?2?x1?1?111?x?2?， ?2?221?x3?1? （1）分别写出jacobi迭代公式和gauss-seidel迭代公式。 （2）证明jacobi迭代法收敛，而gauss-seidel迭代法发散。 上机实验题：【篇三：数值分析题库】lass=txt1 在下列四个数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为 a0.001523 b0.15230 c0.01523d1.52300 2 设方阵a可逆，且其n个特征值满足：?1 a 1 ?10?5，则该数是（ ） 2 c ?2?.?n，则a?1的主特征值是（ ） 11 b ?1?n 11 ?1或?nd或 ?1?n ?(k?1) 3 设有迭代公式 x?bx ?(k) ?f ? 。若|b| 1，则该迭代公式（ ） a必收敛 b必发散 c可能收敛也可能发散 4 常微分方程的数值方法，求出的结果是（ ） a解函数 b近似解函数 c解函数值 d近似解函数值 5 反幂法中构造向量序列时，要用到解线性方程组的（ ） a追赶法 blu分解法 c雅可比迭代法 d高斯塞德尔迭代法 二 填空题（每小题4分，共20分） 1 设有方程组 ?x2?x3?4? ?x1?2x2?3x3?1?2x?x?x?0 23?1 ，则可构造高斯塞德尔迭代公式为 ? ? ?101?2 设a?21?1，则a? ?111? 2 3 设y?x?2y,y(0)?1，则相应的显尤拉公式为yn?1? 4 设 f(x)?ax?1,g(x)?x2。若要使f(x)与g(x)在0，1上正交，则a= ? 5 设 x?(2,?2,?1)t，若有平面旋转阵p，使px的第3个分量为0，则p = ? ? ? ? 三 计算题（每小题10分，共50分） 1 求 27的近似值。若要求相对误差小于0.1%，问近似值应取几位有效数字？2 设 f(x)?x?2x4,若在-1，0上构造其二次最佳均方逼近多项式,请写出相应的法方程。 3 设有方程组 4 试确定常数a，b，c及?，使求积公式 ?x1?2x2?2x3?1? ?x1?x2?x3?1，考察用雅可比迭代解此方程组的收敛性。 ?2x?2x?x?1 23?1 1 ?1f(x)dx?af(?)?bf(0)?cf(?) 为高斯求积公式。 ? 5设有向量 x?(2,1,2) t ，试构造初等反射阵h，使h ? x?(3,0,0)t。 2阶收敛的，并求 四 证明题（每小题10分，共20分） 1设有迭代公式 xk?1 2xk?4* ，试证明该公式在x?4邻近是? 2xk?3 xk?1?4k?(x?4)2 klim ? 。 ? 2.设x,y是n 维列向量，q为n阶正交矩阵，且 模拟二 一、 单项选择题（每小题2分，共10分） y?qx ? 。 1 在下列四个数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为 1 ?10?5，则该数是（ ）。 2 a0.00217 b0.02170 c0.21700 d2.17000 2 已知?是a的特征值，p是给定参数，则b=a-pe的特征值是（ ）。 ac ?+p b?-p ?+2pd?-2p ?(k?1) 3 设有迭代公式 x?bx ?(k) ?f ? ，则|b| 1 是该迭代公式收敛的（ ）。 a充分条件b必要条件 c充分必要条件 4 三次样条插值法中遇到的线性方程组应该用（ ）求解。 a雅可比迭代 b高斯-塞德尔迭代 c平方根法d追赶法 5 若尤拉公式的局部截断误差是o(h 2 )，则该公式是（ ）方法。 a1阶 b2阶 c3阶 d无法确定 二、 填空题（每小题4分，共20分）a) b) ?21?1?设a?12?2，则a?。 1? ?10?3? ?2x2?x3?1? 设有方程组?2x1?x3?1 ，则可构 ?x?x?x?1 23?1? ? 。 造高斯塞德尔迭代公式为 c) 设 y?xy?2，则相应的显尤拉公式为yn?1? ? d) 设 x?(1,2,?3)t，若有平面旋转阵p，使px的第3个分量为0，则p = ? ? ?。 ? e) 设 f(x)?ax?2,g(x)?2x2.若要使f(x)与g(x)在-1，0上正交，则a= 三计算题（每小题10分，共50分） 1 设 f(x)?x3?2x ,若在0，1上构造其二次最佳均方逼近多项式,请写出相应的法方程。 2求的近似值。若要求相对误差小于1%，问近似值应取几位有效数字？ 3设有方程组 4试确定常数a，b，c及?，使求积公式 ?2x1?x2?x3?0? ?x1?x2?x3?1，考察用雅可比迭代解此方程组的收敛性。 ?x?x?2x?1 23?1 1 ?1f(x)dx?af(?)?bf(0)?cf(?) 有尽可能高的代数精度，并问该公式是否为高斯求积公式。 212,?)t5设有向量x?( 333 ? ，试构造初等反射阵h，使h ? x?(1,0,0)t 四证明题（共20分） 2 (xk?2)* 1设有迭代公式xk?1?xk?，试证明该公式。在x?2附近是平方收敛的，并 2xk 求lim xk?1?2k?(x?2)2 k 。 2 设l1(x)是 f(x)的一次拉格朗日插值，试证： 1 f(x)?l1(x)?(x1?x0)2maxf(x) x0?x?x18 模拟三 一、 单项选择题（每小题2分，共10分） 1、 若近似值10.00230具有7位有效数字，则其较小的绝对误差限为（ ）。 11 ?10?7 b. ?10?6 2211 ?10?5d. ?10?4 c. 22 2、 若已知迭代过程xk?1?(xk)是3阶收敛， c是不为零的常数，则下列式子中，正确的式子是 a. （ ）。 alim k? k?1?* kk?1k * x?x ?clim x?x k? * ?3blim k? * (x?x) ?cdlim (x?x) kk?1k k? k?1?* *3* ?3 *3 ?c 3、 4阶牛顿柯特斯求积公式至少具有（ ）次代数精度。 a. 4 b. 5c. 8 d. 9 4、 三次样条插值与二阶常微分方程的边值问题中，都会用到求解线性方程组的（ ）。 a. lu分解法 b.追赶法 c.高斯消去法 d.平方根法 5、 设a的特征值满足|?1 a. 。 |?|?r?1|?|?n|，则相应幂法的速比ra?（ ） ?2 ?1 b. ?r?1?1 c. ?2?n d. ?2?n 二、 填空题（每小题4分，共20分） 1、过节点 x0?1，x1?0，x2?1做近似f(x)?x3?2的二次拉格朗日插值，其表达式 是。 2、若 ?x30?x?1?s