《数据结构》-树的定义和基本术语

第六章 树和二叉树,树型结构是一类重要的非线性数据结构。 其中以树和二叉树最为常用。 直观来说，树是以分支关系定义的层次结构。,树结构在客观世界中广泛存在，如人类社会的族谱和各种社会组织机构都可用树来形象表示。 树在计算机领域中也得到广泛应用，如在编译程序中，可用树来表示源程序的语法结构。 又如在数据库系统中，树形结构也是信息的重要组织形式之一。,6.1 树的定义和基本术语,6.2 二叉树,6.3 遍历二叉树和线索二叉树,6.4 树和森林,6.6 哈夫曼树及其应用,6.1 树的定义和基本术语,（1）定义 树（Tree）：是n（n0）个结点的有限集。 定义一：（递归定义）： 在任意一棵非空树中，有且仅有一个特定的称为根（root） 的结点； 当n1时，其余结点可分为m（m0）个互不相交的有限集 T1, T2, , Tm，其中每一个集合本身又是一棵树。并且 T1, T2, , Tm，称为根的子树（SubTree）。 定义二：（形式定义）任何一棵树是一个二元组Tree = (root, F)。 其中：root是数据元素，称做树的根结点；F是m（m0）棵树的森林， F（T1, T2, , Tm），其中Ti = (ri, Fi)称做根root的第i棵子树；当m0 时，在树根和其子树森林之间存在下列关系： RF = | i = 1, 2, ,m; m 0,（2）表示形式,该树有13个结点。其中，A是树根，其余结点分成3个互不相交的子集：T1=B, E, F, K, L，T2=C, G，T3=D, H, I, J, M; T1、T2和T3都是A的子树，其本身也是一棵树。,图6.1一般的树,A,该树又可表示为如下三种形式：,(a) 嵌套集合表示,(c) 凹入表示法,(A(B(E(K, L), F), C(G), D(H(M), I, J) (b) 广义表表示,图6.2树的其他3种表示法,（3）树的抽象数据类型定义,CreateTree (初始条件：树T存在，cur_e是T中某个结点。操作结果：结点cur_e赋值为value。,Parent(T, cur_e);初始条件：树T存在，cur_e是T中某个结点。操作结果：若cur_e是T的非根结点，则返回它的双亲，否则函数值为“空”。 LeftChild(T, cur_e);初始条件：树T存在，cur_e是T中某个结点。操作结果：若cur_e是T的非叶子结点，则返回它的最左孩子，否则返回“空”。 RightSibling(T, cur_e);初始条件：树T存在，cur_e是T中某个结点。操作结果：若cur_e有右兄弟，则返回它的右兄弟，否则函数值为“空”。 InsertChild(初始条件：树T存在，visit是对结点操作的应用函数。操作结果：按某种次序对T的每个结点调用函数visit()一次且至多一次。 一旦visit()失败，则操作失败。ADT Tree,6.1.2 基本术语,结点：包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。在树的图形表示中为一个圆圈。,结点的度（Degree）：结点拥有的子树数。,叶子（或终端结点）（Leaf）：度为0的结点。即没有子树的结点。,分支结点（或非终端结点）：度不为0的结点。,内部结点：除根结点之外的分支结点。,树的度：树内各结点的度的最大值。,孩子（Child）：结点的子树的根，称为该结点的孩子。,双亲（Parent）：结点的子树的根，称为该结点的孩子，该结点称为孩子的双亲。,兄弟（Sibling）：同一个双亲的孩子之间互称为兄弟。,子孙：以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。,祖先：从根到某结点所经分支上的所有结点，称为该结点的祖先。,森林（Forest）：是m（m0）棵互不相交的树的集合。对树中每个结点而言，其子树的集合即为森林。,层次（Level）：从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。若某结点在第k层，则其子树的根就在第k1层。,堂兄弟：其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。,深度（高度）（Depth）：树中结点的最大层次。,有序树：若将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的（即不能互换），则称该树为有序树，否则称为无序树。在有序树中最左边的子树的根称为第一个孩子，最右边的称为最后一个孩子。,结点:,包含一个数据元素及若干指向其子树的分支,结点的度:,结点拥有的子树数称为结点的度,如图：A的度为3，C的度为1，E的度为0。,树的度:,叶子（或终端）结点:,分支（或非终端）结点:,树中所有结点的度的最大值。,度为零的结点,度大于零的结点,除根结点外，分支结点也称为内部结点。,如图所示的树的度为3。,结点的子树的根称为该结点的孩子（child)，相应的，该结点的称为孩子的双亲（parent）。,如图所示中，D为A的子树T3的根，则D是A的孩子，而A则是D的双亲。,同一个双亲的孩子之间互称兄弟（sibling）。,如图所示中，H、I、J互称为兄弟。,将这些关系进一步推广，可认为D是M的祖父。结点的祖先是从根到该结点所经分支的所有结点。,如图所示中，M的祖先为A、D和J。反之，以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。如B的子孙为E、F、K、L。,结点的层次:,树的深度：,结点的层次从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。假设根结点的层次为1,第l 层的结点的子树根结点的层次为l+1。,树中叶子结点所在的最大层次。图示的树的深度为4。,结点双亲在同一层的结点互为堂兄弟。例如，结点G与E、F、H、I、J互为堂兄弟。,有序树：,子树之间存在确定的次序关系。 树中结点的各子树从左到右是有次序的（即不能互换）。 在有序树中最左边的子树的根称为第一个孩子，最右边的称为最后一个孩子。,无序树：,子树之间不存在确定的次序关系。,森林：,是 m（m0）棵互不相交的树的集合。对树中每个结点而言，其子树的集合即为森林。由此，也可以森林和树相互递归的定义来描述树。,A,root,F,就逻辑结构而言，任何一棵非空树是一个二元组Tree = （root，F）其中：root 是数据元素，被称为根结点，F是m(m=0)棵树的森林，被称为子树森林，F=（T1，T2,Tm),其中Ti=(ri,Fi)称做根为root的第i棵子树；当m0时，在树根和其子树森林之间存在下列关系：RF=|i=1,2,m, m0这个定义将有助于