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宋粗小二宋粗小二 景德镇高等专科学校毕业论文景德镇高等专科学校毕业论文 黑二 黑二 二元一次不定方程及应用 宋三 宋三 柯红微 09 级数学教育班 宋四 宋四 2010 年 12 月 18 日 学校代码 10894 宋四 学 号 宋粗小二 宋粗小二 景德镇高等专科学校毕业论文景德镇高等专科学校毕业论文 黑二 二元一次不定方程及应用二元一次不定方程及应用 宋三 柯红微 宋四宋四 指导教师 冯全民 副教授 专业 09 级数学教育 论文提交日期 2010 年 01 月 12 日 20 年 月 日 目录目录 黑小二 摘要 第 1 章 不定方程 黑小四 1 1 1 不定方程的概念及分类 宋小四 宋小四 2 1 2 不定方程的解法 2 1 2 1 二元一次不定方程 2 1 2 2 n 元一次不定方程 n 3 4 1 2 3 不定方程组 7 第 2 章 数学竞赛中的不定方程 7 2 1 二元一次不定方程的应用 7 2 2 不定方程组的应用 10 第 3 章 结 论 12 参考文献 13 致谢 13 附件 论文英文简介 1 二元一次不定方程及应用二元一次不定方程及应用 黑 小4 摘要摘要 宋小 4 号 不定方程的整数解的判别与求解方法是初等数论的一个重要 内容 在相关学科和实际生活有着广泛的应用 本文首先归纳了枚举法 整数分离法 奇偶分析法等几种常用的二元一次不定方程的解法 其次以二元一次不定方程为基础 进一步讨论求多元一次不定方程整数解的方法 最后对几例中学数学竞赛题求解可以 看到合理选用二元一次不定方程的解法使得相关问题简单化 黑 小4 关关键键词词 宋小4 不定方程 解法 应用 2 宋小四宋小四 行距 1 5 倍 不定方程 组 及整数解是数论中的一个古老分支 其内 容极其丰富 我国对不定方程的研究已延续了数千年 张丘建的 百鸡百钱 问题等 一直流传至今 物不知其数 的解法被称为孙子定理 学习不定方程 不仅可以拓 宽数学知识面 而且可以培养思维能力 提高数学解题的技能 下面就不定方程的一 些概念及二元一次不定方程的解法进行讨论 进而通过对几例数学竞赛题的求解来讨 论二元一次不定方程及解法在中小学数学教学的应用 第第 1 1 章章 不定方程不定方程 粗黑三 1 11 1 不定方程的概念及分类不定方程的概念及分类 粗黑小三 不定方程是指未知数个数多余方程的个数 且其解受到某种条件的限制 例如要 求求整数解 非负整数解等 的方程或方程组 按不定方程所含元的个数和元的次数可分为二元一次不定方程 多元一次不定方 程 非一次不定方程 下面主要介绍二元一次不定方程和多元一次不定方程的解法及 其应用 1 21 2 不定方程的解法不定方程的解法 1 2 11 2 1 二元一次不定方程二元一次不定方程 粗黑四 二元一次不定方程 cbyax cba 0 0ab 如果二元一次不定方程的一个整数解 特解 是 那么它cbyax 00 yyxx 的一切整数解就可以表示为 atyy btxx 0 0 t 要求不定方程的解 我们首先要验证这个不定方程是否有解 对于二元一次不定 方程 其中 而言 它有整数解的充要条件是 cbyax dbaba dc 若所求的不定方程满足上面的条件 我们才能求出它的整数解 否则就不能找出 它的整数解 因此在求整数解之前很有必要去验证它是否有这个数解 比如方程 2x 4y 25 我们容易验证它是没有整数解的 因此就不能找出它的整数解 在所求二 元一次不定方程存在整数解的情况下 有几种我们常见的解法 1 枚举法 枚举法是在日常生活中我们习惯使用的方法 这种方法一般只用于有 限数据实际问题中 在解决一般数学问题有时是无效的 3 比如给定一个不定方程 求它的整数解 我很习惯假设11109 yx 当时 此时 不满足条件 1 y 9 1 x 当时 此时 满足条件 2 y1 x 当时 此时 不满足条件 3 y 9 19 x 就这样依次去寻找它的整数解 显然我们没有办法用这种方法去一一去找出它的 所有整数解的 那我们能不能采用用其他的办法来求出它的整数解呢 2 2 整数分离法 对于二元一次不定方程 为了实际操作的简便 cbyax cba dba 在这里我假设 有ab c x a byc a c a b y a c a b a b y 通过观察 我们找到一个整数 使得 c 也是一个整数 从 0 y a c a b a b y 而找到了对应的一个 然后我们根据这一对特解和它的不定方程和求出它的通解 其 0 x 通解为 btyy atxx 0 0 t 假如要求不定方程的非负整数解 那只要令 0 0 解出 的范围 由于xxyt 我们就可以找出 的取值 那么就可以找到 下的 tttxy 例 1 求不定方程的整数解 11109 yx 解 我们首先将原不定方程变形为 1 x 9 1011y y 9 2y 在这取 y 2 则 x 1 所以不定方程的通解为 00 ty tx 92 101 t 整数分离的方法 3 3 同余式法 对于二元一次不定方程的整数解 我们能否可以利用同余的知识来求不cbyax 定方程 根据同余的概念可知 我们可以将它看成两个同余式 4 mod bcax mod acby 因此 可以借助于同余式的解来解二元一次不定方程 也就是解上面的任一个同 余式 求出 x 或 y 然后代入原不定方程求得另一个解 例 2 利用同余式的解法来求解不定方程的整数解 11109 yx 解 首先我们将不定方程改写成两个同余式 11109 yx 10mod 119 x 9mod 1110 y 在这取 可得 9mod1110 y 9mod 2 10 911 9 11 y 所以 ty92 将 y 代入原不定方程可以得到 tx101 所以原不定方程的解为 ty tx 92 101 t 我们可以看到采用同余式来解二元一次不定方程也比较简捷 特点 4 奇偶数分析法 根据方程的特征 我们有时可应用奇数与偶数的一些性质 我们也能判别方程是 否有整数解或求出它的整数解 例如上面给出的不定方程 由于未知量的2542 yx 系数都是偶数 根据偶数的性质 任意一个偶数乘以任意整数还是偶数 两个偶数之 和还是偶数 而常数项是奇数 因此左边不等于右边 则该不定方程没有整数解 1 2 21 2 2 元一次不定方程 元一次不定方程 n3 n 元一次不定方程 其中为整数 ncxaxaxa nn 2211 21n aaa 2 n 对于多元一次不定方程 我们很难通过一个公式直接求解 即使有那么一个公式也 是很复杂的 因为未知元的个数多了 它的解所含的自由未知量也就多了 因此不便 于记忆和使用 5 关于多元一次不定方程的解法 主要是采用两种思想 第一种是采用代换的思想 根据已知条件确定一个未知数的值 或者消去一个未知数 就这这样依次把它转化成 n 1 个二元一次不定方程然后采用上面的二元一次不定方程的解法进行求解 第二种是 采用代数中矩阵的思想进行求解 1 代换法 首先估计系数较大的未知数的可能取值的范围 在此基础上 在这 个未知数的取值范围内取某个正整数 代入原不定方程 于是就得到一个未知量比原 不定方程未知量少 1 的新的不定方程 然后估计新的不定方程中系数最大的未知数的 可能取值范围 再假设这个未知数的取值范围内取某个正整数值 依次进行下去 最 后得到一个二元一次不定方程 根据上面求解二元一次不定方程的解法求出它的解 然后依次往回代 从而就能求得原方程的整数解 例 3 求不定方程的整数解 401673 zyx 解 因为 3 7 16 1 40 所以原不定方程存在整数解 设 通过观察我们找到方程的一个特解 tyx 73tx2 0 ty 0 所以 不定方程的通解为tyx 73 uty utx 7 32 u 将代入原方程 得到了一个新的二元一次不定方程 通过观tyx 734016 zt 察我们可找到它的一个特解 所以这个不定方程的通解为8 0 t2 0 z4016 zt vz vt 2 168 v 将 代入原方程即可得到原方程的通解 vz vuy vux 2 1638 32716 vu 上面的三元一次不定方程是采用代换的思想 将它转化为两个二元一次不定方程 然后将它代入原方程最后得到了它的解 我们可以想想假如是五元或者更高 那这种 方 法的计算量是不小的 可以尝试用代数中矩阵解决此问题 1 矩阵法 设元一次不定方程 n 其中为整数 cxaxaxa nn 2211 21n aaa 2 n 构造一个的矩阵 A 1 nn 6 A 100 010 001 2 1 n a a a 对 A 只能实行如下三种初等变换 交换两行 用 1 乘以矩阵的某一行 用某一整数乘矩阵的某一行加到另一行 矩阵经过上面的初等变换变为 B B nnnn n n bbb bbb bbbd 21 22221 11211 0 0 假若 d c 则该 n 元一次不定方程有整数解 否则就没有整数解 它的通解为 1121 12122122 11121111 nnnnnn nn nn tbtbb d c x tbtbb d c x tbtbb d c x 例 4 试用矩阵来求解不定方程的整数解 401673 zyx 解 首先我们构造一个矩阵 A A 10016 0107 0013 然后将 A 进行允许的三种初等变换可以得到 B A 10016 0107 0013 5 1 3 2 1 2 1051 0121 0013 3 1 1 3 3 2 1 1130 0370 0121 B 1130 0370 0121 又因为 1 40 所以原不定方程有整数解 它的解为 7 vz vuy vux 340 3780 vu 我们可以将 进行比较 其实 是 可以转换为 因此采用上面两种解法的求 解的解是相同的 显然采用第二种解法更适合于求多元元一次不定方程 可以考虑给个 5 元方程的例子 1 2 31 2 3 不定方程组不定方程组 不定方程组是指未知数的个数多于方程个数的方程组 本文对于解不定方程组主 要采用两条途径 第一条途径是通过消元的方法将它化成一个不定方程 然后根据所 含的元的数量来合理选择方法来求它的整数解 第二途径是运用代数中矩阵求解线性 方程的方法来求解的 显然第二种途径运的范围仅局限在解一次不定方程 第一种途 径的运用的范围要比第二种途径广 本文不作进一步讨论 8 第第 2 2 章章 数学竞赛中的不定方程数学竞赛中的不定方程 我国对不定方程的研究已有悠久的历史 据史料记载 早在公元 5 世纪前 孙子 定理 张丘建算经 等古书就记载了此类问题 不定方程内涵丰富 解法灵活 综 合性强 目前 不定方程的正整数解是中小学数学奥赛中重要内容 谋取其不定方程 整数解的题目是小学数学奥赛中的热门试题之一 解答的思路是变 方程不足 为 足够 或 分类讨论 涉及的不定方程的解法的技巧性较强 下面通过数学奥赛例 题求解对不定方程的实际应用进行讨论 其主要涉及求解不定方程 组 的几种常用方法 主 要方法是枚举法 整数分离法 同余式法 奇偶分析法以及几种方法的综合运用 2 12 1 二元一次不定方程的应用二元一次不定方程的应用 例 5 小张带了 5 角钱去买橡皮和铅笔 橡皮每块 3 分 铅笔每支 1 角 1 分 问 5 角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔 枚举法 整数分离法 解析 设小张买了块橡皮 支铅笔 于是根据题意可得到方程xy 50113 yx 这是一个二元一次不定方程 从方程来看 任给一个值 就可以得到一个值 xy 所以它的解有无数多组 由于这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数 而橡皮 的块数与铅笔的支数只能是正整数或零 所以从这个问题的要求来说 我们只要求这 个方程的非负整数解 因为铅笔每支 1 角 1 分 所以 5 角钱最多只能买到 4 支铅笔 因此 小张买铅笔 的支数只能是 0 1 2 3 4 支 即的取值只能是 0 1 2 3 4 这五个值y 若 则 符合题意 1 y13 x 若 则 不是整数 不合题意 2 y 3 28 x 若 则 不是整数 不合题意 3 y 3 17 x 若 则 符合题意 4 y2 x 所以 这个方程有两组正整数解 即 5 角钱刚好能买 2 块橡皮与 4 支铅笔 或者 13 块橡皮与 1 支铅笔 关于橡皮与铅笔的例子 我们是用逐个检验的方法来求它们的非负整数解的 但 是这种方法在给出的数目比较大的问题或者方程有无数组解的时候就会遇到漏解等一 系列的麻烦 那么能不能找到一个有效而又方便的方法来求解呢 下面尝试采用整数分离的方法来求解上面的问题 上面由题意已列出这个不定方程 下面来求解这个不定方程 50113 yx 9 16 x 3 1150y y4 3 2y 下面给出不定方程的一个特解 去 则1 0 y13 0 x 所以不定方程的通解为 ty tx 31 1113 t 因为 均为正整数 所以 只能取 0 和 1 此时它解为xyt 和 1 13 y x 4 2 y x 所以 5 角钱刚好能买 2 块橡皮与 4 支铅笔 或者 13 块橡皮与 1 支铅笔 将上面的两种方法进行比较 我们可以看到采用整数分离的方法解决这个问题 步骤简洁 思路清晰明了 用同余的知识解不定方程时 可以表达得简明清楚些 例 6 大客车有 48 个座位 小客车有 30 个座位 现有 306 名旅客 要使每个旅客 都有座位而且车上无空位 需要大 小客车各多少辆 解 由题意可知 要解决这个问题 就是求它的非负整数解 本题采用四种方法进 行求解 方法 1 列举法 通过画表列举的方法 一一尝试 最终把答案找出来 分析 可见这种方法的计算量很大 花的时间也应比较长 因此这种方法不是解 决此问题的好方法 方法 2 假设法 假设全部用小客车 需要 10 辆 另空出 6 个座位 由于题目要求不能有空位 所以首先要弄清楚的是换几辆小客车挪出的空位正好 能换成大客车 即是 48 的倍数 经过尝试 退出 3 辆小客车 就有人没966303 座位 正好可乘两辆大客车 所以 需要大客车 2 辆 小客车 7 辆 分析 当问题给的数目比较小时 采用此方法还是可以的 但当问题所给的数目 比较大时 计算量也是比较大的 而且很容易造成漏解的情况 方法 3 用不定方程求解法 由于旅客人数 车辆数都是非负整数 所以我们可以列出符合题意的不定方程 并求出它的非负整数解 设需要大客车辆 小客车辆xy 则 3063048 yx 即 5158 yx 10 1 整数分离法 上面不定方程经过变形可化为 y 5 851x 5 31 550 xx 10 x 5 31x 令 则 这是上不定方程的一个特解 由于二元一次不定方程在无约束2 0 x7 0 y 条件的情况下 通常有无数组整数解 求出的特解不同 因此同一个不定方程的解的 形式可以不同 但它们所包含的全部解是一样的 只要将解中的参数 t 做适当代换 就 可化为同一形式 下面给出不定方程的通解 ty tx 87 52 t 由于 是正整数 所以 xy 7 2 y x 即需要大客车 2 辆 小客车 7 辆 2 奇偶数分析法 是一个偶数 51 是个奇数 那么肯定是个奇数 那么的个位数字一定是x8y5y5 5 由于和是 51 可见的个位数字一定是 6 即或 7 把它代入不定方程中 x82 x 很容易得出 2 x7 y 从上面看 有时候我们在求解不定方程之前 我们应认真分析一下不定方程的对 应未知量和常数项的奇偶性 有时我们可以从中得到一种关系 这样我们可以大大降 低解题的难度和所花费的时间 通过上面例题的解析我们可以看到采用不定方程给解决这一类问题的优越性 2 22 2 不定方程组的应用不定方程组的应用 上面介绍了不定方程组的解法 主要也是采用消元的办法 将它化为一次不定方 程来求解 下面看看不定方程组在实际有些什么运用 例 7 新发行的一套邮票共 3 枚 面值分别为 20 分 40 分和 50 分 小明花 5 00 元买了 15 张 问 其中三种面值的邮票各多少张 解析 上面这个问题是我们在日常生活中常会遇见的一类 定值定量 问题 对于 类问题我们经常可以采用设未知量然后列方程 组 最后解方程求出它的解 设 20 分 40 分和 50 分面值的邮票各 张 可以列方程组如下 xyz 11 2 500504020 1 15 zyx zyx 则 2 1 20 得到 2003020 zy 上式通过化简可以得到 3 z 3 220y 1 整数分离法 下面我们首先给出它的一个特解 由于 均为非负整数 令 则 xyz1 0 y6 0 z 8 0 x 所以它的通解为 tz ty tx 26 31 8 t 因为 均为非负整数 所以xyz 6 4 2 1 4 7 8 7 6 z z z y y y x x x 2 枚举法 由 3 可知必须能被 2 整除 且 6 则 z 可以取 2 4 6 得到三zz 30 200 组解如下 6 4 2 1 4 7 8 7 6 z z z y y y x x x 可见 20 40 50 分的邮票为 6 7 2 张或者 7 4 4 张或者 8 1 6 张 大约 1500 年以前 我国古代数学家张丘建在他编写的 张丘建算经 的古书里 曾经提出并解决了 百钱买百鸡 这个著名的数学问题 下面我们看看能不能做到百钱 买百鸡呢 如果能 那他又是如何做到百钱买百鸡呢 例 8 今有公鸡每只五个钱 母鸡每只三个钱 小鸡每个钱三只 用 100 个钱买 100 只鸡 问公鸡 母鸡 小鸡各买了多少只 解析 设公鸡 母鸡 小鸡各买 只 由题意列方程组xyz 2 100 3 1 35 1 100 zyx zyx 得 1 3 2 200814 yx 12 即 10047 yx 先解 有 先给出它的一个特解 令 则 10047 yxy 4 7100 x 0 0 x25 0 y 所 求得它的通解为 3 ty tx 725 4 t 将 3 代入 1 中可得 tz375 t 由题意知的所有整数解的取值为 10047 yxx 0y100 z 由于 是整数 故 只能取 26 27 28 而且 还应满足不定方程ttxyz 100 zyx 求得不定方程的解为 78 18 4 z y x 81 11 8 z y x 84 4 12 z y x 即可能有三种情况 4 只公鸡 18 只母鸡 78 只小鸡 或 8 只公鸡 11 只母鸡 81 只小鸡 或 12 只公鸡 4 只母鸡 84 只小鸡 上面对于求解不定方程组主要是采用先消元的思想 化成一次不定方程 然后采 用一次不定方程的整数分离方法进行求解 这样我们能顺利地解决流传至今的 百鸡 问题 假如我们采用枚举法那计算量是相当大 因此解决此类问题不宜采用枚举法 第第 3 3 章章 结论结论 不定方程的解法很多 我们需要根据题目自身的特点寻找一种适合解题的方法 在求解之前 我们要注意的是不能盲目的求解 须认真验证所求不定方程是否有约束 解 在求解的时候 我们应观察它的元的次数 然后看看元的个数 当元的次数为一 13 的时候 假如是多元的我们就应采用换元法或者是矩阵求解法 如果是二元的 那我 们采用整数分离法 同余式法 奇偶分析法 枚举法 当然也可以用矩阵求解法 但 因为元的个数不是很多 就没有必要用这种方法 因此求解二元一次不定方程 我们 还是采用上面所提到的常用的基本方法 然后根据题目自身所具有的特征 进一步选 取适合所需求解题目的解 对于不定方程在小学奥数中的应用 我们是常可以见到的 一般求解这类问题时 首先我们需认真阅读题目所提供的信息 然后设未知量 列出满足题意的方程 按照 不定方程解法进行求解 最后通过一一验证找出其合格解 参参考考文文献献 黑粗小三 1 陈肇曾 数论初步 M 第一版 北京 高等教育出版社 1996 P65 72 P89 95 2 晏能中 初等数论 M 第一版 北京 电子科技出版社 2005 P63 65 宋小四 宋小四 号 号 3 张同军 陈传理 竞赛数学解题研究 M 第一版 北京 高等教育出版社 2000 P178 179 致致 谢谢 黑粗小三 本篇论文是在我的指导老师冯全民的悉心的指导下完成的 他严肃的科学态度 严谨的治学精神 精益求精的工作作风 深深地感染和激励着我 从论题的选择到论 文的最终完成 冯老师始终给我以不厌其烦的进行指导和悉心指点 使我在完成论文 的同时也深受启发和教育 两年多来 冯老师不仅在学业上给了我精心指导 而且还 从思想上激励我要更好地学习 工作 生活 为提升自己人生价值而努力 在此谨向 指导老师冯全民致以诚挚的谢意和崇高的敬意 将标题 作者 论文提要 关键词 用英语翻译部分置于正文