单元评估检测(四)

圆学子梦想 铸金字品牌 1 温馨提示 温馨提示 此套题为此套题为 WordWord 版 请按住版 请按住 Ctrl Ctrl 滑动鼠标滚轴 调节合适的观滑动鼠标滚轴 调节合适的观 看比例 答案解析附后 关闭看比例 答案解析附后 关闭 WordWord 文档返回原板块 文档返回原板块 单元评估检测单元评估检测 四四 第四章第四章 120 120 分钟分钟 150150 分分 一 选择题一 选择题 本大题共本大题共 1212 小题小题 每小题每小题 5 5 分分 共共 6060 分分 在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项 中中 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 2013 江西高考 复数 z i 2 i i 为虚数单位 在复平面内所对应的点在 A 第一象限B 第二象限 C 第三象限D 第四象限 2 2014 天津模拟 已知下列结论 若 a b b c 则 a c 若 a b b c 则 a c a b a b 若 a b a c 则 b c 的逆命题 其中正确的是 A B C D 3 复数 z 3 i 为虚数单位 的模为 1 A 2B 3C D 4 10 圆学子梦想 铸金字品牌 2 4 已知向量 a 1 2 则下列向量与 a 共线的是 A b 1 2 B b 2 1 C b 0 1 D b 1 1 5 2014 哈尔滨模拟 设 P 是 ABC 所在平面内的一点 若 2 则 B B B A 0B 0 P P P P C 0D 0 P P P P P 6 2014 成都模拟 复数的共轭复数为 i 1 A iB i 1 2 1 2 1 2 1 2 C iD i 1 2 1 2 1 2 1 2 7 2013 大纲版全国卷 已知向量 m n 若 1 1 2 2 则 A 4B 3C 2D 1 8 下面是关于复数 z 的四个命题 2 1 2 1 p1 z 2 p2 z2 4i p3 2i p4 z 的虚部是 0 其中的真命题为 z A p1 p2B p1 p3C p2 p3D p3 p4 9 2014 邯郸模拟 如图所示 非零向量 a b O O 且 BC OA C 为垂足 若 a 0 则 O 圆学子梦想 铸金字品牌 3 10 2014 宁波模拟 在平面直角坐标系中 A 1 B 点是以原点 O 为圆心的 3 单位圆上的动点 则 的最大值是 O O A 4B 3C 2D 1 11 已知向量 a 1 3 b 2 6 c 若 a b c 5 则 a 与 c 的夹角为 10 A 30 B 45 C 60 D 120 12 能力挑战题 设 e1 e2是平面内两个互相垂直的单位向量 若向量 m 满足 m e1 m e2 0 则 m 的最大值为 A 1B C D 2 23 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 4 4 小题小题 每小题每小题 5 5 分分 共共 2020 分分 请把正确答案填在题中横请把正确答案填在题中横 线上线上 13 若 3 4i 1 i i 是虚数单位 则 用复数代数形式表 O O A 示 14 2013 重庆高考 在 OA 为边 OB 为对角线的矩形中 3 1 2 k 则 O O 实数 k 15 已知角 A B C 是三角形 ABC 的内角 a b c 分别是其对边长 向量 m n m n 且 a 2 cosB 则 b 2 3 2 2 2 cos 2 2 3 3 16 能力挑战题 已知点 A 3 0 B 0 3 C cos sin 若 1 则 A B 的值为 1 2 2 2 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 6 6 小题小题 共共 7070 分分 解答时应写出必要的文字说明 证明过解答时应写出必要的文字说明 证明过 程或演算步骤程或演算步骤 圆学子梦想 铸金字品牌 4 17 10 分 2014 长春模拟 已知向量 O 2 2 1 O 定义函数 f x 2 2 O O 1 求函数 f x 的表达式 并指出其最大值和最小值 2 在锐角 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 且 f A 1 bc 8 求 ABC 的 面积 S 18 12 分 已知复平面内平行四边形 ABCD A B C D 按逆时针排列 A 点对应的 复数为 2 i 向量对应的复数为 1 2i 向量对应的复数为 3 i B B 1 求点 C D 对应的复数 2 求平行四边形 ABCD 的面积 19 12 分 2014 西安模拟 已知向量 a sin x 2 b 1 cos x 0 0 4 函数 f x a b a b y f x 图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之 间的距离为 1 且经过点 M 1 7 2 1 求函数 f x 的解析式 2 当 1 x 1 时 求函数 f x 的单调区间 20 12 分 2014 大庆模拟 已知向量 a cos x b sin x 1 函数 3 f x a b 且最小正周期为 4 1 求 的值 2 设 f f 求 sin 的值 2 2 3 6 5 2 2 3 24 13 3 若 x 求函数 f x 的值域 圆学子梦想 铸金字品牌 5 21 12 分 已知平面向量 a 1 b 3 1 2 3 2 1 若 x t 2 a t2 t 5 b y ka 4b t k R 且 x y 求出 k 关于 t 的关系 式 k f t 2 求函数 k f t 在 t 2 2 上的最小值 22 12 分 能力挑战题 1 如图 设点 P Q 是线段 AB 的 三等分点 若 a b 试用 a b 表示 并判断 O O O O 与 的关系 O O O O 2 受 1 的启示 如果点 A1 A2 A3 An 1是 AB 的 n n 3 等分点 你能得到什么结论 请证明你的结论 答案解析答案解析 1 解析 选 D 由题意得 z 1 2i 对应点为 1 2 故选 D 2 解析 选 B 由向量相等的概念知 正确 因为零向量和任何向量共线 所以当 b 0 时 结论 不成立 故 不正确 因为 a b a b cos 是 a 与 b 的夹角 所以当 cos 1 时 不正确 的逆命题是 若 b c 则 a b a c 显然 该结论是正确的 故选 B 误区警示 解答本题易类比实数的运算性质和平行线的传递性而误选 C 出错 圆学子梦想 铸金字品牌 6 的原因是忽视了向量与数量的区别 而把实数的运算法则照搬到向量运算中来 3 思路点拨 利用复数的除法运算化简给出的复数 然后直接利用模的公式 求模 解析 选 C 由 z 3 3 3 i 1 i 2 所以 z 故选 C 32 1210 4 解析 选 A 由 a x1 y1 b x2 y2 共线 x1y2 x2y1 0 验证易知 A 正确 5 解析 选 C 由已知 得 2 P P P P P 即 0 故选 C P P 一题多解 本题还有如下解法 如图 由 2 B B B 知 P 是 AC 的中点 显然 0 故选 C P P 加固训练 若 0 则 ABC 必定是 A B A 22 A 锐角三角形B 直角三角形 C 钝角三角形D 等腰直角三角形 解析 选 B 0 0 0 A B A 22 A B A A A A A 则 ABC 必定是直角三角形 6 解析 选 D 因为 i 1 1 1 1 i 1 2 1 2 1 2 所以其共轭复数为 i 1 2 1 2 圆学子梦想 铸金字品牌 7 加固训练 2013 广元模拟 复数的共轭复数是 2 1 2 A iB iC iD i 3 5 3 5 思路点拨 复数的分子 分母同乘分母的共轭复数 复数化简为 a bi a b R 的 形式 然后求出共轭复数即可 解析 选 C 复数 i 它的共轭复数为 i 故选 C 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 5 5 7 解析 选 B 因为 m n m n 所以 m n m n m 2 n 2 0 即 1 2 1 2 2 4 0 解得 3 8 解析 选 B z 2i 2 1 2 1 1 1 4 2 1 所以 z 2 z2 4 2i z 的虚部是 2 z 故 p1 p3是真命题 p2 p4是假命题 9 解析 选 A 即 B O B O 所以 0 O O O 所以 2 0 O O O 即 2 a 2 a b 0 又 0 解得 10 解析 选 B 由题意可知向量的模是不变的 所以当与同向时 O O O 最大 结合图形可知 max 1 1 3 O O O O O 12 3 2 一题多解 本题还有如下解法 由题意 得 2 1 O 3 1 O 设向量 的夹角为 O O 所以 O O 2 圆学子梦想 铸金字品牌 8 O 2 2 2 4 1 2 2 1 5 4 所以当 0 即与同向时 max 3 O O O O 5 4 11 解析 选 D 设 c x y 因为 a b 1 3 所以 a b c x 3y 5 c 即 x2 210 x 3 5 2 2 10 解得或 x 3 3 1 2 3 3 2 x 1 3 3 2 3 3 2 不妨取即 c x 3 3 1 2 3 3 2 3 3 1 2 3 3 2 设 a 与 c 的夹角为 则 cos 3 3 1 2 9 3 3 2 10 10 1 2 因为 0 180 所以 120 故选 D 一题多解 选 D 由题意 得 b 2a 所以 a b c a 2a c a c 5 即 a c 5 圆学子梦想 铸金字品牌 9 设 a 与 c 的夹角为 则 cos 5 10 10 1 2 因为 0 180 所以 120 故选 D 12 解析 选 B 因为 e1 e2 1 e1 e2 所以 m e1 m e2 m2 m e1 e2 e1 e2 m2 m e1 e2 0 即 m2 m e1 e2 设 m 与 e1 e2的夹角为 因为 e1 e2 2 所以 m 2 m e1 e2 cos 即 m cos 因为 0 2 所以 m max 2 一题多解 选 B 设 e1 e2是与 x 轴 y 轴正方向相同的单位向量 则 e1 1 0 e2 0 1 设 m x y 则 m e1 x 1 y m e2 x y 1 所以 m e1 m e2 x x 1 y y 1 0 即 x2 y2 x y 0 圆学子梦想 铸金字品牌 10 x 1 2 2 y 1 2 2 1 2 故向量 m 的终点 始点在坐标原点 的轨迹是以为圆心 为半径的圆 如 1 2 1 2 2 2 图 所以 m 的最大值是圆的直径 即为 2 加固训练 2014 广州模拟 如图 已知圆 M x 3 2 y 3 2 4 四边形 ABCD 为圆 M 的内接正方形 E F 分别为边 AB AD 的中点 当正方形 ABCD 绕圆心 M 转动 时 的取值范围是 M O A 6 6 B 6 6 22 C 3 3 D 4 4 22 解析 选 A 设 A 3 2cos 3 2sin D 3 2cos 3 2sin 则 F 3 cos cos 3 sin sin 由图知 cos cos sin sin M 1 2 3 cos cos 3 sin sin O 所以 3 cos cos 3 sin sin cos cos sin sin M O 3 cos sin 3 cos sin 3sin 3sin 2 4 2 4 6 6 故选 A 22 圆学子梦想 铸金字品牌 11 13 解析 因为 3 4i 1 i i 是虚数单位 O O 所以 1 i 3 4i 4 5i A O O 答案 4 5i 14 思路点拨 可根据题意先求出向量的坐标 再利用 OA AB 求解 A 解析 2 k 3 1 1 k 1 因为 OA AB A O O 所以 0 即 3 k 1 0 解得 k 4 O A 答案 4 15 解析 因为 m n 所以 m n 2sin cos 2cos2 0 3 A 2 A 2 A 2 因为 A 0 所以 cos 0 A 2 所以 tan A A 2 3 3 A 2 6 3 由 cosB 得 sinB 3 3 1 3 9 6 3 由正弦定理得 2 3 b 6 3 解得 b 4 3 2 答案 4 3 2 加固训练 2013 济宁模拟 平面向量 a 与 b 的夹角为 a 2 0 b 1 3 则 a b 等于 圆学子梦想 铸金字品牌 12 思路点拨 利用向量数量积的性质可得 a b 把已知代入即可 解析 因为向量 a 与 b 的夹角为 a 2 0 b 1 3 所以 a b 22 12 2 2 1 37 答案 7 16 解析 由题意 得 cos 3 sin cos sin 3 A B 所以 cos cos 3 sin sin 3 1 A B 即 sin cos 2 3 两边平方 得 1 2sin cos 4 9 所以 2sin cos 5 9 原式 1 2 1 2 9 5 答案 9 5 17 解析 1 f x O O 2sinx 1 cosx cos2x sin2x cos2x sin 2 2 4 所以 f x 的最大值和最小值分别是和 22 圆学子梦想 铸金字品牌 13 2 因为 f A 1 所以 sin 2 4 2 2 所以 2A 或 2A 4 4 4 3 4 所以 A 或 A 4 2 又因为 ABC 为锐角三角形 所以 A 因为 bc 8 4 所以 ABC 的面积 S 8 2 1 2 2 22 18 思路点拨 由点的坐标得到向量的坐标 运用向量 复数间的对应关系解 题 解析 1 设点 O 为原点 因为向量对应的复数为 1 2i 向量对应的复 B B 数为 3 i 所以向量对应的复数为 3 i 1 2i 2 3i A 又 O O A 所以点 C 对应的复数为 2 i 2 3i 4 2i 又 1 2i 3 i 4 i B B B 2 i 1 2i 1 i O O B 所以 1 i 4 i 5 O O B 所以点 D 对应的复数为 5 2 由 1 知 1 2 3 1 B B 因为 cosB B B B B 圆学子梦想 铸金字品牌 14 所以 cosB B 3 2 5 10 1 5 2 所以 sinB 7 5 2 又 B 5 B 10 所以面积 S sinB 7 B B 510 7 5 2 所以平行四边形 ABCD 的面积为 7 19 解析 1 f x a b a b a2 b2 a 2 b 2 sin2 x 3 cos2 x cos 2 x 2 3 由题意得周期 T 4 2 2 故 又图象过点 M 4 1 7 2 所以 3 cos 7 2 2 2 即 sin2 而 0 0 k 2 5 3 2 1 2 当且仅当 t 2 即 t 1 时 成立 1 2 故 k 的最小值是 3 22 思路点拨 1 把向量 都用 表示 再求和即可 2 思路同 1