数学建模习题

数学建模与数学实验课程练习数学建模与数学实验课程练习 练习集锦练习集锦 1 1 简述数学建模的一般过程及建模过程中需要注意的问题 简述数学建模的一般过程及建模过程中需要注意的问题 2 2 简述数学模型及数学建模的特点 简述数学模型及数学建模的特点 3 3 简述数学建模的常用分类方法 简述数学建模的常用分类方法 4 4 求方程求方程 的模最大的根的近似值的模最大的根的近似值0 6 12 625 0 5 04 x x x xf 精确到小数点后两位 精确到小数点后两位 5 5 在抢渡长江模型中 如果水流速度在抢渡长江模型中 如果水流速度为常数 人的游泳速为常数 人的游泳速1 8 vm s 度度为常数 江面宽度为为常数 江面宽度为 终点位置在起点下游 终点位置在起点下游1 5 um s 1200Hm 处的条件 确定游泳者的最佳游泳路径及最短游泳时间 处的条件 确定游泳者的最佳游泳路径及最短游泳时间 1000Lm 6 6 沿沿江江的的某某一一侧侧区区域域将将建建两两个个水水厂厂 在在江江边边建建一一个个取取水水口口 现现 需需要要设设计计最最优优的的管管线线铺铺设设方方案案 通通过过管管线线从从取取水水口口向向水水厂厂送送水水 水水厂厂与与江江岸岸的的位位置置见见右右图图 如如果果不不用用共共用用管管线线 城城区区单单位位建建设设费费用用是是郊郊区区的的2 2 倍倍 1 1 对对于于最最优优方方案案 用用表表示示 2 2 求求最最优优取取水水口口位位置置 7 7 在层次分析法建模中 我们介绍了成对比较矩阵概念 已知矩阵在层次分析法建模中 我们介绍了成对比较矩阵概念 已知矩阵 P P 是成对比较矩阵是成对比较矩阵 0 P x 10 Qy 3 1 5 2 ab Pcd ef 1 1 确定矩阵 确定矩阵 P P 的未知元素 的未知元素 2 2 求 求 P P 模最大特征值 模最大特征值 3 3 分析矩阵 分析矩阵 P P 的一致性是否可以接受 随机一致性指标 取的一致性是否可以接受 随机一致性指标 取 0 60 6 8 8 在层次分析法建模中 我们介绍了成对比较矩阵概念 已知矩阵在层次分析法建模中 我们介绍了成对比较矩阵概念 已知矩阵 P P 是三阶成对比较矩阵是三阶成对比较矩阵 1 1 将矩阵 将矩阵 P P 元素补全 元素补全 2 2 求 求 P P 模最模最 3 2 2 P 大特征值 大特征值 3 3 分析矩阵 分析矩阵 P P 的一致性是否可以接受 随机一致性指标 取的一致性是否可以接受 随机一致性指标 取 0 60 6 9 9 考虑下表数据考虑下表数据 1 1 用曲改直的思想确定经验公式形式 用曲改直的思想确定经验公式形式 2 2 用最小二乘法确定经验公式系数 用最小二乘法确定经验公式系数 1010 考虑微分方程考虑微分方程 x x0 02 24 46 68 8 y y0 800 802 052 055 245 2413 4213 4234 3634 36 0 2 0 0001 0 4 0 00001 dx xxy dt dy yxy dt 1 1 在像平面上解此微分方程组 在像平面上解此微分方程组 2 2 计算 计算时的周期平均值 时的周期平均值 0 3 3 计算 计算时 时 的周期平均值占总量的周期平均值的比例变的周期平均值占总量的周期平均值的比例变0 1 y 化了多少 化了多少 2 8 2 8 1111 考虑种群增长模型考虑种群增长模型 1 1000 0 200 x tkxxx 1 1 解此微分方程 解此微分方程 2 2 根据下表数据估计参数 根据下表数据估计参数 k k 值 值 0 31 0 31 1212 假设容积为假设容积为 100000100000的某湖泊已经受到某种物质污染 污染物的某湖泊已经受到某种物质污染 污染物 3 m 在湖中分布均匀 若环保部门及时发现并从某时刻起切断污染源 在湖中分布均匀 若环保部门及时发现并从某时刻起切断污染源 并更新湖水 此处更新指用新鲜水替换污染水 并更新湖水 此处更新指用新鲜水替换污染水 设湖水更新速率是 设湖水更新速率是 3 10 m s 单位 1 1 试建立湖中污染物浓度随时间下降的数学模型 试建立湖中污染物浓度随时间下降的数学模型 求出污染物浓度降为控制前的求出污染物浓度降为控制前的所需要的时间 所需要的时间 8 32h8 32h 5 1313 假如保险公司请你帮他们设计一个险种假如保险公司请你帮他们设计一个险种 35 35 岁起保岁起保 每月交费每月交费 400400 元元 60 60 岁开始领取养老金岁开始领取养老金 每月养老金标准为 元 请估算该每月养老金标准为 元 请估算该 保险费月利率为多少 保留保险费月利率为多少 保留 3 3 位有效数字 位有效数字 0 00660 0066 1414 某校共有学生某校共有学生 4000040000 人 平时均在学生食堂就餐 该校共有人 平时均在学生食堂就餐 该校共有 3 3 个学生食堂 经过近一年的统计观测发现 个学生食堂 经过近一年的统计观测发现 A A 食堂分别有食堂分别有 A B C 10 10 25 25 的学生经常去的学生经常去 B B C C 食堂就餐 食堂就餐 B B 食堂经常分别有食堂经常分别有 15 15 25 25 的同学去的同学去 A A C C 食堂就餐 食堂就餐 C C 食堂分别有食堂分别有 20 20 20 20 的同学去的同学去 A A B B 食食 堂就餐 堂就餐 1 1 建立该问题的数学模型 建立该问题的数学模型 2 2 确定该校 确定该校 3 3 个食堂的大致就餐人个食堂的大致就餐人 t t0 02 24 46 68 8 X t X t 234234313313405405503503902902 数 数 1515 已知一阶差分方程已知一阶差分方程 10 0 80 3 0 6 nn yyy 1 1 求该差分方程平衡点 求该差分方程平衡点 2 2 求 求表达式 表达式 n y 1616 某种群至多只能活某种群至多只能活 3 3 岁 且按年观测的岁 且按年观测的矩阵矩阵Leilie 023 0 400 00 70 L 1 1 该种群稳定后年增长率为多少 稳定的年龄结构是什么 该种群稳定后年增长率为多少 稳定的年龄结构是什么 2 2 在稳定的条件下 如果想只通过改变 在稳定的条件下 如果想只通过改变 3 3 龄组生育率来保持该种龄组生育率来保持该种 群数量上的稳定 请问该龄组生育率应该是多少 群数量上的稳定 请问该龄组生育率应该是多少 0 710 71 17 17 某人决定用某人决定用 1010 万元投资万元投资 A A B B C C D D 四支股票 已知购买时四四支股票 已知购买时四 支股票股价分别为每股支股票股价分别为每股 1010 元 元 1515 元 元 3030 元 元 9595 元 股市交易要求元 股市交易要求 购买的每支股票数量以手为单位购买的每支股票数量以手为单位 至少为至少为 1 1 手 手 1 1 手手 100 100 股 股 四只 四只 股票的预期收益率分别为股票的预期收益率分别为 30 20 50 30 20 50 和和 15 15 如果希望持有股票数 如果希望持有股票数 量不超过量不超过 8080 手 为了使得收益达到最大 请为他的投资建立合适的手 为了使得收益达到最大 请为他的投资建立合适的 数学模型 并判断该数学模型的类型 不需要求出具体数值结果 数学模型 并判断该数学模型的类型 不需要求出具体数值结果 1818 小李夫妇曾经准备申请商业贷款小李夫妇曾经准备申请商业贷款 2020 万元用于购房 每月还款万元用于购房 每月还款 880 66880 66 元 元 2525 年还清 此时 房产商介绍的一家金融机构提出 贷年还清 此时 房产商介绍的一家金融机构提出 贷 款款 2020 万元 每半月还款万元 每半月还款 1761 321761 32 元 元 2222 年还清 但贷款时 应先年还清 但贷款时 应先 预付预付 80008000 元 以后每次按半月还款 小李考虑 虽然预付费用不少 元 以后每次按半月还款 小李考虑 虽然预付费用不少 可是减少可是减少 3 3 年还款期意味减少还款近年还款期意味减少还款近 3 3 万万 2 2 千元 而且每月多跑一千元 而且每月多跑一 趟 也不算什么 这家机构的条件还是优惠的 趟 也不算什么 这家机构的条件还是优惠的 1 1 商业贷款的利率是多少 商业贷款的利率是多少 2 2 分析金融机构的条件是否优 分析金融机构的条件是否优 惠 惠 19 19 一家油运公司每天具有一家油运公司每天具有 50005000 吨的运力 由于油轮货舱容积的限吨的运力 由于油轮货舱容积的限 制 公司每天只能运输制 公司每天只能运输 5000050000的货物 每天可供运输的货物数量的货物 每天可供运输的货物数量 3 m 如下 如下 请建立该问题利润最大的优化模型 不需求解 请建立该问题利润最大的优化模型 不需求解 20 20 考虑下图所描述的最短路问题 考虑下图所描述的最短路问题 1 1 给出下图从点 给出下图从点 1 1 到点到点 7 7 的邻接矩阵 的邻接矩阵 2 2 建立该问题最短路的优化模型 建立该问题最短路的优化模型 货物货物重量重量 吨 吨 体积 体积 吨 吨 3 m每吨收费每吨收费 元 元 1 1 30003000 1010220220 2 2150015002020 250250 3 3250025001515 150150 4 410001000 1818200200 3 3 给出该问题的最优结果 给出该问题的最优结果 2121 考虑下图所描述的最短路问题 考虑下图所描述的最短路问题 1 1 写出从位置 写出从位置 1 1 到位置到位置 9 9 的最短路的数学模型的最短路的数学模型 2 2 给出从位置 给出从位置 1 1 经过位置经过位置 5 5 到位置到位置 9 9 的最短路 的最短路 3 3 给出从位置 给出从位置 1 1 到位置到位置 9 9 的最短路 的最短路 2222 某零件寿命某零件寿命 X X 单位 月 的分布函数为 单位 月 的分布函数为 2 1 4 0 0 0 2 1 2 t F tttt t 零件损坏时更换和预防性更换费用分别为零件损坏时更换和预防性更换费用分别为 3 3 万元和万元和 2 2 万元 万元 1 1 请建立数学模型 讨论是否存在最佳预防性更换策略 请建立数学模型 讨论是否存在最佳预防性更换策略 2 2 如果存在 求出最佳更换时间和单位时间最小损失 如果存在 求出最佳更换时间和单位时间最小损失 要求算出要求算出 具体数值结果具体数值结果 如果不存在 请说明理由 如果不存在 请说明理由 2323 某零件寿命某零件寿命 X X 为服从均匀分布的随机变量 假设零件最大使用寿为服从均匀分布的随机变量 假设零件最大使用寿 命为命为 6 6 个月 零件损坏时更换和预防性更换费用分别为个月 零件损坏时更换和预防性更换费用分别为 5 5 万元和万元和 1 1 万元 万元 1 1 请建立数学模型 讨论是否存在最佳预防性更换策略 请建立数学模型 讨论是否存在最佳预防性更换策略 2 2 如果存在 求出最佳更换时间和单位时间最小损失 如果存在 求出最佳更换时间和单位时间最小损失 要求算出要求算出 2 3 4 5 6 7 10 12 9 6 8 7 5 7 9 8 具体数值结果具体数值结果 如果不存在 请说明理由 如果不存在 请说明理由 2424 已知泛函已知泛函 1 21 0 0 1 0 0 1 1J x tx tx