原子物理学杨福家1_6章_课后习题答案

学习参考 原子物理学学课课后前六章答案 第四版 杨杨福家著 高等教教育出版社 第一章 原子的位形 卢卢瑟福模型 第二章 原子的量子态态 波尔模型 第三章 量子力学学导论导论 第四章 原子的精细结细结构构 电电子的自旋 第五章 多电电子原子 泡利原理 第六章 X 射线线 第一章 习题 1 2 解 1 1 速度为 v 的非相对论的 粒子与一静止的自由电子相碰撞 试证明 粒子的最大偏离角约为 10 4rad 要点分析 碰撞应考虑入射粒子和电子方向改变 并不是像教材中的入射粒子与靶核的碰撞 靶核不动 注意这里电子要 动 证明 设 粒子的质量为 M 碰撞前速度为 V 沿 X 方向入射 碰撞后 速度为 V 沿 方向散射 电子质量用 me 表示 碰撞前静止在坐标原点 O 处 碰撞后以速度 v 沿 方向反冲 粒子 电子系统在此过程中能量与动量均应守 恒 有 学习参考 222 2 1 2 1 2 1 vmVMVM e 1 coscosvmVMVM e 2 sinsin0vmVM e 3 作运算 2 sin 3 cos 得 sin sin VMvme 4 sin sin VMVM 5 再将 4 5 二式与 1 式联立 消去 与 v sin sin sin sin 2 2 2 2 2 2 22 V m M VMVM e 化简上式 得 222 sinsin sin e m M 若记 M me 可将 式改写为 222 sinsin sin 视 为 的函数 对 7 式求 的极值 有 学习参考 2sin2sin sin 2 sin d d 令 0 d d 则 sin2 sin2 0 即 2cos 2 sin 0 若 sin 0 则 0 极小 8 2 若 cos 2 0 则 90 2 9 将 9 式代入 7 式 有 2202 90sinsinsin 由此可得 18364 1 M me sin 10 4 弧度 极大 此题得证 1 2 1 动能为 5 00MeV 的 粒子被金核以 90 散射时 它的瞄准距离 碰撞参数 为多大 2 如果金箔厚 1 0 m 则入射 粒子束以大于 90 散射 称为背散射 的粒子数是全部入射粒子的百分之几 要点分析 第二问是 90 180 范围的积分 关键要知道 n 注意推导出 n 值 A N A N A V VV N V N n 1mol A A总分子数 其他值从书中参考列表中找 解 1 依 2 cot 2 a b 和 E eZZ a 0 2 21 4 金的原子序数 Z2 79 10752 2245cot 00 5 44 1 79 2 cot 4 2 2 1 15 0 2 m E eZ b o 答 散射角为 90 所对所对应的瞄准距离为 22 8fm 2 解 第二问解的要点是注意将大于 90 的散射全部积分出来 问题不知道 nA 但可从密度与原子量关系找出 学习参考 从书后物质密度表和原子量表中查出 ZAu 79 AAu 197 Au 1 888 104kg m3 依 d a ntNNdsin2 2 sin16 4 2 2 16 2 4 2 2 sin sin da nt N Nd 2 sin2 2 sin2 2 2 2 cos 2 sin2sin ddd d E Z nt 2 4 22 2 2 sin16 2 cos 2 sin2 2 2 4 e d E Z nt 2 3 22 2 2 sin16 2 cos2 2 2 4 e 2 4 22 2 2 sin16 2 sin 2 sin4 2 4 e d E 2Z nt 注意到 A N A N A V VV N V N n 1mol A A总分子数 即单位体积内的粒子数 为密度除以摩尔质量数乘以阿伏加德罗常数 22 2 2 4 4 e nt E Z 是常数其值为 学习参考 5 2215 237 6 10486 9 5 00 792 4 10 1 44 197 106 22101 88 101 0 2 3 2 3 1 2 sin 2 sin 2 2 sin 2 cosd dI 最后结果为 dN N 9 6 10 5 说明大角度散射几率十分小 1 3 1 4 练习参考答案 后面为褚圣麟 1 3 1 4 作业 1 3 试问 4 5MeV 的 粒子与金核对心碰撞时的最小距离是多少 若把金核改为 7Li 核 则结果如何 要点分析 计算简单 重点考虑结果给我们什么启示 影响靶核大小估计的因素 解 对心碰撞时 2 csc1 2 a rm 180 时 a a rm 90csc1 2 离金核最小距离 fm56 50 5 4 44 1792 4 0 2 21 E eZZ arm 离 7Li 核最小距离 fm92 1 5 4 44 1 32 4 0 2 21 E eZZ arm 结果说明 靶原子序数越小 入射粒子能量越大 越容易估算准核的半径 反之易反 1 4 假定金核半径为 7 0 fm 试问入射质子需要多少能量才能在对头碰撞时刚好到达金核的表面 若金核改为铝时质子在对头碰撞时刚好到达铝核的表面 那么入射质子的能量应为多少 设铝核的半径为 4 0 fm 要点分析 注意对头碰撞时 应考虑靶核质量大小 靶核很重时 m M 可直接用公式计算 靶核较轻时 m M 不满 足 应考虑靶核的反冲 用相对运动的质心系来解 79AAu 196 13AAl 27 解 若入射粒子的质量与原子核的质量满足 m M 则入射粒子与原子核之间能达到的最近距离为 2 csc1 2 a rm 180 时 a a rm 90csc1 2 学习参考 即 m m r ZZe Er eZZ 21 0 2 0 2 21 44 即 1 79 1 44fmMeV16 25MeV 7 0fm E 若金核改为铝核 m 20 散射的相对粒子数 散 射粒子数与入射数之比 为 4 0 10 3 试计算 散射角 60 角相对应的微分散射截面 d d 要点分析 重点考虑质量厚度与 nt 关系 解 m 2 0mg cm2 2 102 0 N Nd 20 ATa 181 ZTa 73 60 A N A n A m N tA n A m N A nt 依微分截面公式 2 164 2 sin 1 d d 知该题重点要求出 a2 16 由公式 3 4 180 20 2 23 4 180 20 2 104 3 2 sin sin2 16 106 022 181 2 0 2 sin 16 dad nt N dN 3 180 20 2 2 21 4 180 20 2 23 104 3 2 sin 1 4 16 1065 6 2 sin sin2 16 106 022 181 2 0 ada 3 2 21 104 3 22 13 4 16 106 65 a 学习参考 所以 26 2 102 33 16 a 27 4 26 4 2 10456 1 2 60 sin 1 1033 2 2 sin 1 16 d d 1 8 1 质量为 m1 的入射粒子被质量为 m2 m2 30 范围内的相对数目 被金原子散射的相对数目为 180 30 2 22 2 2 1 u u 4 2180 30 Au Au 2 sin 1 2 1 2 44 1ZZ 2 sin dsin2 16 d A A A N A t nt N N 式中 N 为入射质子总数 dNAu 为被金原子散射到 30 范围内的质子数 同理可得质子被银原子散射的相对数目 为 180 30 2 22 3 2 1 4 2180 30 Ag Ag 2 sin 1 2 1 2 44 1 ZZ 2 sin dsin2 16 d A Ag Ag N A t nt N N 被散射的相对质子总数为 2 180 sin 1 2 30 sin 1 4 1044 1 4 1044 1 22 2 252 3 2 1 2 252 2 2 1 E ZZ N A t E ZZ N A t A Ag Ag A Au Au AgAu 将已知数据代入 学习参考 NA 6 02 1023 E 1 0MeV t 0 916 m ZAu 79 AAu 197 Au 18 88 103kg m3 ZAg 47 AAg 108 Ag 10 5 103kg m3 1 028 10 5 结果讨论 此题是一个公式活用问题 只要稍作变换 很容易解决 我们需要这样灵活运用能力 1 10 由加速器产生的能量为 1 2MeV 束流为 5 0 nA 的质子束 垂直地射到厚为 1 5 m 的金箔上 试求 5 min 内 被金箔散射到下列角间隔内的质子数 金的密度 1 888 104 kg m3 1 59 61 2 0 60 3 0 60 的值 2 1 180 99910 22 60 11 5 719 105 719 105 719 1031 7151 10 sinsin 22 解 3 由于 0 的值为无穷大 无法计算 所以将作以变换 仍然像上式一样积分 积分区间为 10 180 然后用总数 减去所积值 即 0 10 的值 2 1 180 99911 22 10 11 5 719 105 719 105 719 1032 161 84 10 sinsin 22 总数为 9 36 1012 7 56 1011 8 6 1012 个 学习参考 第二章习题习题解答 2 1 铯的逸出功为 1 9eV 试求 1 铯的光电效应阈频率及阈值波长 2 如果要得到能量为 1 5eV 的光电子 必须使用多少波长的光照射 解 光电效应方程 2 1 2 m mvh 学习参考 1 由题意知 即 0 m v 0h 14 15 1 9 4 59 10 4 136 10 ev Hz hev s 1 24 652 6 1 9 chcnm Kev nm ev 2 2 1 1 5 2 m mvev 1 5 c evhh 1 24 364 7 1 51 51 9 hcnm Kev nm evevev 2 2 对于氢原子 一次电离的氢离子 He 和两次电离的锂离子 Li 分别计算它们的 1 第一 第二玻尔轨道半径及电子在这些轨道上的速度 2 电子在基态的结合能 3 由基态带第一激发态所需的激发能量及由第一激发态退激到基态所放光子的波长 解 1 由波尔理论及电子的轨道半径公式 r1为氢原子第一波尔半径 z n rrn 2 1 222 0 11 222 0 4 197 3 0 053 0 511 ee c ranmnm m em c e 氢原子第二波尔半径 可知 He Z 2 Li Z 3 电子在波尔轨道上的速率为 2 211 40 212rn rrnm 1 1 2 21 0 0265 2 2 0 106 2 a rnm ranm 1 1 2 21 0 0176 3 2 0 0705 3 a rnm ranm n z vc n 学习参考 于是有 H 61 1 61 2 1 2 19 10 137 1 1 10 2 vcm sm s c vm s He 61 1 61 2 24 38 10 10 2 vcm s c vm s Li 61 1 61 2 36 57 10 10 2 vcm s c vm s 2 电子在基态的结合能 Ek在数值上等于原子的基态能量 由波尔理论的能量公式 可得 故有 H 13 6 k Eev He 2 13 6 254 4 k Eev Li 2 13 6 3122 4 k Eev 3 以电压加速电子 使之于原子碰撞 把原子从基态激发到较高能态 用来加速电子的电势差称为激发电势 从基态 激发到第一激发态得相应的电势差称为第一激发电势 2 12 12 2 1 13 6 1 2 E Vz e 对 H 12 1 13 6 1 10 2 4 Vv He 2 12 1 13 6 2 1 40 8 4 Vv Li 2 12 1 13 6 3 1 91 8 4 Vv 共振线 即赖曼系第一条 的波长 1212 12 EE hc E hc H 12 1 24 121 6 10 2 nm kev nm ev He 12 1 24 30 4 40 8 nm kev nm ev 2 1 2 ne z Emc n 22 1 13 6 2 ke Emczz ev 学习参考 Li 12 1 24 13 5 91 8 nm kev nm ev 2 3 欲使电子与处于基态的锂离子 Li 发生非弹性散射 试问电子至少具有多大的动能 解 Li 基态能量为 从基态到第一激发态所需能量为 2 1 1 122 4 2 e Emczev vZE 8 91 4 3 4 122 2 1 1 6 13 2 2 12 故电子必须具有 91 8ev 的动能 2 4 运动质子与一个处于静止的基态氢原子作完全非弹性的对心碰撞 欲使锂原子发射出光子 质子至少应多大的速度 运动 解 欲使基态氢原子发射光子 至少应使氢原子从基态激发到第一激发态 因此有 evEE M m vmE H p pk 4 202 1 2 1 1212 2 84 2 22 20 4 3 106 26 10 938 k p Eev vcm sm s m cMev 质子静止能量 2 938 p m cMev 2 5 1 原子在热平衡条件下处于不同能量状态的数目是按波尔兹曼分布的 即处于能量为 En的激发态的原子数为 1 1 1 n EEkT n n g NNe g 式中 N1是能量为 E1状态的原子数 k 为玻尔兹曼常量 gn和 g1为相应能量状态的统计权重 试问 原子态的氢在一个 大气压 20 温度的条件下 容器必须多大才能有一个原子处在第一激发态 已知氢原子处于基态和第一激发态的统计 权重分别为 g1 2 和 g2 8 学习参考 2 电子与室温下的氢原子气体相碰撞 要观察到 H 线 试问电子的最小动能为多大 略 2 6 在波长从 95nm 到 125nm 的光带范围内 氢原子的吸收光谱中包含哪些谱线 解 对于 有 min 95nm 22 min1 111 1 R n 97 min 1 97 min 95 101 0973731 10 4 8 195 101 0973731 101 R n R 故的波长的光子不足以将氢原子激发到 n 5 的激发态 但可以将氢原子激发到 n 4 的激发态 min 95nm n1 4 同理有 97 min 2 97 min 125 101 0973731 10 1 9 1125 101 0973731 101 R n R 对应于 n 1 的辐射光子的波长应比 125nm 更长 在波段以外 n2 2 又 氢原子的吸收谱对应于赖曼系 在 95 125nm 波段内只能观察到 3 条 即 1 2 1 3 1 4 mn mn mn 1 2 3 2 7 试问哪种类氢离子的巴耳末系和赖曼系主线的波长差等于 133 7nm 解 学习参考 赖曼系主线 22 2 13 1 24 RZRZ 赖 巴耳末主线 22 22 115 2336 RZRZ 巴 二主线波长差 nm RZRZRZRZ 7 133 15 88 20108 15 1 3 4 5 36 2222 赖巴 2 7 8888 4 15133 715 109737 31 10133 7 Z Rnm 2Z 2 8 一次电离的氢原子 He 从第一激发态向基态跃迁时所辐射的光子 能量处于基态的氢原子电离 从而放出电子 试 求该电子的速度 解 He 从 E2 E1跃迁辐射的光子的能量为 2 21 2 1 1 3 2 hEERcZRhc 氢原子的电离能为 1 0 EEERhcRhc 电离的电子的能量为 32 k ERhcRhcRhc 该电子的速度为 19 6 31 244 13 6 1 6 10 3 09 10 9 11 10 k ee ERhc vm s mm 2 9 电子偶素是由一个正电子和一个电子所组成的一种束缚系统 试求出 1 基态时两电子之间的距离 2 基 态电子的电离能和由基态到第一激发态的激发能 3 由第一激发态退激到基态所放光子的波长 学习参考 解 电子偶素可看作类氢体系 波尔理论同样适用 但有关公式中的电子质量必须采用体系的折合质量代替 对电子偶素 其折合质量为 2 ee e m Mm mM 1 22 00 11 22 44 222 0 0530 106 e ranmnm em e 2 电离能为 1iA EEER hc 式中 11 2 1 A e RRR m M 于是 76 11 1 0973731 101 24 106 80 22 i ER hcevev 则电离电势为 6 80 i i E Vv e 第一激发电势为 2 22 12 12 11 3 12 5 10 2 A R hcZ ER hc Vv eee 3 共振线波长为 3 12 12 1 24 10 243 1 5 10 hcnm ev nm Eev 2 10 子是一种基本粒子 除静止质量为电子质量为电子质量的 207 倍外 其余性质与电子都一样 当它运动速度较 慢时 被质子俘获形成 子原子 试计算 1 子原子的第一波尔轨道半径 2 子原子的最低能量 3 子 原子赖曼线系中的最短波长 解 1 子原子可看作类氢体系 应用波尔理论 其轨道半径为 22 0 2 4 n n r e Z 学习参考 式中 207207 1836 186 0 207207 1836 e ee e m M mm mM 其第一波尔半径为 2 4 01 1 2 40 053 2 85 10 186 0186 0186 0 e anm rnm m e 2 子原子的能量公式为 22 11 186 0 22 ne zz Ecmc nn 最低能量 1n 23 1 1 186 0 186 0 13 62 53 10 2 e Emcevev 3 由波长公式 hc E 3 min 3 max1 1 24 10 0 49 0 2 53 10 hchcnm ev nm EEEev 2 11 已知氢和重氢的里德伯常量之比为 0 999728 而它们的核质量之比为 mH mD 0 500 20 试计算质子质量与电 子质量之比 解 由 可知 1 A e A R R m M 1 0 999728 1 e HD e D H m RM m R M 又 0 50020 H D M M 学习参考 0 50020 1 0 999728 1 e H e H m M m M 则 3 0 499528 1836 51 8 10 0 000272 H e M m 2 12 当静止的氢原子从第一激发态向基态跃迁放出一个光子时 1 试求这个氢原子所获得的反冲速率为多大 2 试估计氢原子的反冲能量与所发光子的能量之比 解 1 所发光子的能量 evevRhcEEh 2 10 6 13 4 3 2 1 1 1 22 12 光子的动量 c ev c hh P 2 10 氢原子的反冲动量等于光子动量的大小 即 c h PvMH 反 s m s m cm h H v 26 3 1031067 1 10602 1 2 10 827 19 反 2 氢原子的反冲能量为 JJvmE Hk 272272 1087 8 26 3 1067 1 2 1 2 1 反 9 19 27 104 5 10602 1 2 10 1087 8 h Ek 2 13 钠原子的基态为 3s 试问钠原子从 4P 激发态向低能级跃迁时 可产生几条谱线 不考虑精细结构 解 不考虑能级的精细结构 钠原子的能级图如下 学习参考 根据辐射的选择定则可知 当钠原子从 4P 态向低能级跃迁时可产生 6 条光谱 1 l 2 14钠原子光谱的共振线 主线系第一条 的波长等于 589 3nm 辅线系线限的波 长等于 408 6nm 试求 1 3S 3P 对应的光谱项和能量 2 钠原子基态电子的电离能和由基态到第一激发态的 激发能 解 1 由 Na 的能级图可知 3P 能级的光谱项和能级分别为 16 33 10447 2 6 408 11 m nm T pp ev nm Kevnm hcTE pp 03 3 6 408 24 1 33 3S 能级的光谱项和能级可通过下式求出 1 133 1 ps TT evmevnmhcTE mTT ss ps 14 5 10144 4 1024 1 10144 4 10 3 589 1 10447 2 1 163 33 16 9 6 1 33 2 Na 原子的电离能为 S P D F 4F 4D 5S 4P 3D 4S 3P 3S 学习参考 evevEEE si 14 5 14 5 0 3 故电离电势为 v e E V i i 14 5 第一激发电势为 v e evev e EE e E V sp 11 2 14 5 03 3 33 12 12 第三章题题解 3 13 1电电子的能量分别为别为 10eV 100 eV 1000 eV 时时 试计试计算相应应的德布罗罗意波长长 解 依计计算电电子能量和电电子波长对应长对应的公式 电电子的能量 ke e k Emp m p E2 2 2 学习参考 由德布罗罗意波长长公式 KeE m h p h 2 nm E 2261 nmnm3880 10 1 1 226 nmnm0 1226 100 1 226 2 nmnm0 0388 1000 1 226 3 3 2 设设光子和电电子的波长长均为为 0 4nm 试问试问 1 光子的动动量与与电电子的动动量之比是多少 2 光子的动动能与与电电子的动动能之比是多少 解 1 由 p h 可知光子的动动量等于电电子的动动量 即 p光子 p电 电子 1 1 2 由 光子动动能与与波长长的对应对应的关关系 nm KeVE 光子 光子 1 24 电电子动动能与与波长长的关关系 nm E电子 电子 1 226 nmE 2 电子 电子 1 226 则则知 9629 40 3 1 226 101 24 2 3 电子 光子 E E 3 3 若一个电子的动能等于它的静止能量 试求 1 该电子的速度为多大 2 其相应的德布罗意波长是多少 解 1 依题意 相对论给出的运动物体的动能表达式是 2 mcE 2 0c mEE k 2 0 2 2cmmc 0 2mm 0 2 2 0 2 1 m c v m m 4 1 1 2 2 c v 2 2 1 4 1 c v 2 2 4 3 c v 所以 学习参考 0 866cc 4 3 v 2 根据电子波长的计算公式 0 001715nm eV10511 1 226nm 1 226nm 3 eVEk 3 4 把热中子窄束射到晶体上 由布喇格衍射图样可以求得热中子的能量 若晶体的两相邻布喇格面间距为 0 18nm 一级布喇格掠射角 入射束与布喇格面之间的夹角 为 30 试求这些热中子的能量 解 根据布喇格衍射公式 n dsin dsin 0 18 sin30 nm 0 09 nm 1 226nm k EeV 22 1 226nm 13 622 eV185 56eV k E 3 5 电子显微镜中所用加速电压一般都很高 电子被加速后的速度很大 因而必须考虑相对论修正 试证明 电子的德 布罗意波长与加速电压的关系应为 1 226 nm r V 式中Vr V 1 0 978 10 6V 称为相对论修正电压 其中电子加速电压V的单位是伏特 分析 考虑德布罗意波长 考虑相对论情况质量能量修正 联系德布罗意关系式和相对论能量关系式 求出相对论下 P 即可解 证明 根据相对论质量公式 0 2 1 m m v c 将其平方整理乘 c2 得其能量动量关系式 22222 0 1 v mcm c c 222222 0 m cp cm c 22224 0 Ep cm c 2 0k EEmc 0k EEE 22422242 0000 111 2 kkk pEm cEm cm cEEm c ccc 学习参考 2 2222 2 6 2 21 226 2 2 2 2 2 1 2261 2261 226 1 0 9785 10 1 2 e kkeekkekke e r e m chhchc p EEm cm cEEm cEEm c m c VV VV V m c 题意得证 3 6 1 试证明 一个粒子的康普顿波长与其德布罗意波长之比等于 1 2 0 E E 式中Eo和E分别是粒子的静止能量和运动粒子的总能量 康普顿波长 c h m0c m0为粒子静止质量 其意义在第六章中 讨论 2 当电子的动能为何值时 它的德布罗意波长等于它的康普顿波长 证明 根据相对论能量公式 0 2 1 m m v c 将其平方整理乘 c2 22222 0 1 v mcm c c 222222 0 m cp cm c 22224 0 Ep cm c 2 0k EEmc 0k EEE 22422242 0000 111 2 kkk pEm cEm cm cEEm c ccc 22422242 000000 1111 2 kkk pEm cEm cm cEEm cEEEE cccc 1 相对论下粒子的德布罗意波长为 22 00 0 hhchc pEEEE EE 粒子的康普顿波长为 2 000 c hhchc m cm cE 学习参考 22 02 0 00 22 0 1 c hc EEEE hc EE EE 2 若粒子的德布罗意波长等于它的康顿波长 2 0 11 E E 2 0 0 2 2 E EE E 0 22511722 55KeVEE 0 722 55511211 55 KeV k EEE 则电子的动能为 211 55KeV 则电子的动能为 211 55KeV 注意变换变换 1 P转转化为为 表示 2 E转转化为为 表示 3 7 一原子的激发态发发态发射波长为长为 600nm 的光谱线谱线 测测得波长长的精度为为 7 10 试问该试问该原子态态的寿寿命为为多长长 解 依 htE 求 t c hhE 2 hcE 2 Et s chcE t 9 8 79 1061 1031434 1010600 422 3 8 一个个电电子被禁闭闭在线线度为为 10fm 的区区域中 这这正是原子核线线度的数数量级级 试计试计算它它的最小动动能 解 2 x px 粒子被束缚缚在线线度为为r的范围围内内 即 x r 那么么粒子的动动量必定有一个个不确定度 它它至少为为 x2 x p 学习参考 2 xxx ppp 0 x p 平均 平均 22 3 1 ppx 电电子的最小平均动动能为为 eV mr Ek 8 2 2 108482 8 3 3 9 已知粒子波函数 c z b y a x N 2 2 2 exp 试求 1 归一化常数N 2 粒子的x坐标在 0 到a之间的几 率 3 粒子的y坐标和z坐标分别在 b b和 c c 之间的几率 解 1 因粒子在整个空间出现的几率必定是一 所以归一化条件是 dv 1 即 dzedyedxeNdv c z b y a x 2 2 2 2 2 2 2 2 18222 2 000 2 abcNdecdebdeaN c z c z b y b y a x a x 所以 N abc8 1 2 粒子的x坐标在a 0区域内几率为 dzedyedxeN c z b y a a x 2 2 2 2 0 2 2 2 1 1 2 1 14 12 e eabcN 3 粒子的 cczbby 区域内的几率为 dzedyedxeN c c c z b b b y a x 2 2 2 2 2 2 2 22 1 1 8 e abcN 2 1 1 e 3 10 若一个体系由一个质子和一个电子组成 设它的归一化空间波函数为 x1 y1 z1 x2 y2 z2 其中足标 1 2 分别代表质子和电子 试写出 1 在同一时刻发现质子处于 1 0 0 处 电子处于 0 1 1 处的几率密度 2 发现电子处于 0 0 0 而不管质子在何处的几率密度 3 发现两粒子都处于半径为 1 中心在坐标原点的球内的几率大小 3 11 对于在阱宽为a的一维无限深阱中运动的粒子 计算在任意本征态 n中的平均值x及 2 xx 并证明 当 n 时 上述结果与经典结果相一致 3 12 求氢原子 1s态和 2P态径向电荷密度的最大位置 第三章习题 13 14 学习参考 3 13 设氢原子处在波函数为 1 3 1 1 a r e a r 的基态 a1为第一玻尔半径 试求势能 r e rU 2 0 4 1 的平均值 3 14 证明下列对易关系 ipy 0 y px 0 x Lx z Lx i y 0 xx Lp z PLp i yx 第三章习题 15 解 3 15 设质量为 m 的粒子在半壁无限高的一维方阱中运动 此方阱的表达式为 V x ax ax00 0 x 0 V 试求 1 粒子能级表达式 2 证明在此阱内至少存在一个束缚态的条件是 阱深 0 V和阱宽 a 之间满足关系式 m aV 32 2 2 0 解 1 在 xa 0 VxV 薛定谔方程为 330 2 3 22 2 EV dx d m 4 整理后得 0 2 3 2 0 2 3 2 EVm dx d 令 2 0 EVmk 则 0 3 2 2 3 2 k dx d 方程的解为 xk Be 3 5 学习参考 式中 A B 为待定系数 根据标准化条件 的连续性 有 3 3 2 2 a a a a 将 3 5 式代人得 kkkctg 6 2 证明 令 kau akv 则 6 式可改为 vuctgu 7 同时 u 和 v 还必须满足下列关系式 22 0 22222 2 hamvakkvu 8 联立 7 8 可得粒子的能级的值 用图解法求解 在以v为纵轴u为横轴的直角坐标系中 7 8 两式分别表示超越曲线和圆 其交点即为解 因k k 都不是负数 故u和v 不能取负值 因此只能取第一象限 由图可知 7 8 两式至少有一解得条件为 2 2 0 2 amv 2 即 m aV 32 2 2 0 学习参考 4 l 一束电电子进进入 1 2T 的均匀匀磁场时场时 试问电试问电子自旋平行于和反平行于磁场场的电电子的能量差为为多大 分析要点 ms 1 2 gs 2 BBssz gm 解 已知 电电子自旋磁矩在磁场场方向的投影 BBssz gm 依磁矩与与磁场场的作用能量 cosBBE 自旋与与磁场场平行时时 1 cos0 ssB EBBB 自旋与与磁场场反平行时时 2 cos180 ssB EBBB 则则 44 21 22 1 2 0 5788 101 389 10 B EEEBeVeV 4 2 试计试计算原子处处于 2 3 2 D 状状态态的磁矩 及投影 z的可能值值 解 已知 j 3 2 2s 1 2 s 1 2 l 2 则则 5 4 4 15 6 4 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 22 j ls g j 依据磁矩计计算公式 学习参考 BBjj gjj 15 52 1 依据磁矩投影公式 Bjjz gm 5 6 5 2 jjg m BBz 5 6 5 2 4 3 试证实 原子在 6G3 2状态的磁矩等于零 并根据原子矢量模型对这一事实作出解释 解 因为 2S 1 6 S 5 2 J 3 2 l 4 mj 3 2 1 2 1 2 3 2 22 2 5 5 14 4 1 31312 2 0 3 32222 1 2 2 j SL g J gJmJ 0 这是一个多电子耦合系统 相互作用产生的总效果为零 说明多电子作用有互相抵消的情况 4 4 在史特恩 盖拉赫实验中 处于基态的窄的银原子束通过极不均匀的横向磁场 并射到屏上 磁极的纵向范围 d 10cm 磁极中心到屏的距离D 25 cm 如果银原子的速率为 400m s 线束在屏上的分裂间距为 2 0mm 试问磁场 强度的梯度值应为多大 银原子的基态为 2S1 2 质量为 107 87u 解 原子束在屏上偏离中心的距离可用下式表示 K Z B E dD z B Mgz 2 对原子态 2S1 2 L 0 S 1 2 J 1 2 故 M 2 1 朗德g因子为 g 2 对于上屏边缘的线束取 M J 对于下屏边缘的线束取 M J 所以 K Z B E dD z B Jgz 2 2 DdJG ZE z B B KZ 1 mZ 3 102 2 1 J g 2 14 TeV105788 0 B Dm 2 1025 2 1010 d 代入上式得 T m1024 1 2 z BZ 学习参考 4 5 在史特恩 盖拉赫实验中 图 19 1 不均匀横向磁场梯度为 cmT z B 05 磁极的纵向范围d 10cm 磁极中 心到屏的距离D 30cm 使用的原子束是处于基态 4F3 2的钒原子 原子的动能Ek 50MeV 试求屏上线束边缘成分之间 的距离 解 对于多个电子 2S 1 4 S 3 2 L 3 J 3 2 则 5 2 4 15 1 4 15 2 1 2 3 2 1 2 3 2 22 2 j ls g j 2 3 2 1 2 1 2 3 j m 依公式 kT dD z B gmZ BJJ 3 2 又 MeV50 2 1 2 mV 3kT mV2 0 1eV kT dD z B gmZ BJJ 3 2 cm52092 0 50 3010 0 5 5 2 2 3 和 kT dD z B gmZ BJJ 3 2 cm0 1736 50 3010 5 0 5 2 2 1 即 Z 3 2 2Z2 3 2 2 0 52092 1 42cm Z 1 2 2Z2 1 2 2 0 1736 0 347cm 4 6 在史特恩 盖拉赫实验中 原子态的氢从温度为 400 K 的炉中射出 在屏上接受到两条氢束线 间距为 0 60cm 若 把氢原子换成氯原子 基态为 2P3 2 其它实验条件不变 那么 在屏上可以接受到几条氯束线 其相邻两束的间距为多少 解 已知 Z2 0 30cm T 400K 3kT 3 8 617 10 5 400eV 0 103eV J 1 2 gj 2 mjgj 1 由 kT dD z B gmZ BJJ 3 2 30 kT dD z B B 3 学习参考 当换为氯原子时 因其基态为 2P3 2 j 3 2 l 1 s 1 2 22 2 3 2 31314 4 15 22223 4 j sl g j 2 3 2 1 2 1 2 3 j m cmz0 60 3 3 4 2 3 cmz0 20 3 3 4 2 1 共有 2j 1 4 条 相邻两条间距为 Z Z 0 4cm 4 7 试问波数差为 29 6cm 1的赖曼系主线双重线 属于何种类氢离子 解 4 1 3 1 3 4 84 5 1 84 5 1 cm lln zcn ln z 1 6 29 cm 以为是赖曼系主线 n 2 L 1 代入上式 得 z 3 所以是 Li 原子 又因为其为类氢离子 所以为 Li 4 8试估计作用在氢原子 2P态电子上的磁场强度 解 BB hc B 22 2 又由 21 13 式 4 53 10 5eV T4 0 10788 5 2 1053 4 2 5 5 B B 4 9 试试用经经典物理方法导导出正常塞曼效应应 4 10 Z 30 锌锌原子光谱谱中的一条条谱线谱线 3S1 3p0 在B为为 1 00T 的磁场场中发发生塞曼分裂 试问试问 从从垂直于磁场场方向观观察 原谱线谱线分裂为为几条条 相邻邻两两谱线谱线的波数数差等于多少 是否属属于正常塞曼效应应 并并请请画画出相应应的能级跃级跃迁迁图图 解 已知 对对于激发态发态 L 0 J 1 S 1 m1 0 1 在外磁场场作用下 可以分裂为为三条条 2 2 02 2 3 2 1 2 3 2 22 1 J LS g 对对于基态态 L 1 J 0 S 1 m2 0 在外磁场场作用下 并并不分裂 学习参考 2 3 2 02 2 3 2 1 2 3 2 22 2 J LS g BgmgmEEEE B 11221212 BEE B 2 0 2 12 e B m e 2 B m e e 4 2 0 2 zB m eB e GH T 14 2 0 2 4 2 0 2 1 467 0 2 0 2 4 2 0 2 cmTB cm eB c e 0 934 0 0 934 cm 1 所以原谱线谱线在外加磁场场中分裂为为三条条 垂直磁场场可以看到三条条谱线谱线 m 0 1 1 分别对应别对应于 三条条谱线谱线 虽虽然谱线谱线一分为为三 但彼此间间间间隔值为值为 2 BB 并并不是 BB 并并非激发态发态和基态态的 S 0 因 S 0 所以它它不是正常的塞曼 效应应 对应对应的能级跃级跃迁迁图图 4 11 试计试计算在B为为 2 5T 的磁场场中 钠钠原子的D双双线线所引起的塞曼分裂 学习参考 解 A 对对于 2S1 2态 态 用 2 22 2 1 2 3 j ls gj 将将s 1 2 l 0 j 1 2 代入 即可算出gj 2 由于j 1 2 因而 mj 2 1 于是mjgj 1 B 对对于P态态 相应应的l 1 因而j l s s 1 2 j 1 2 3 2 有两个两个原子态态 2P1 2 2P3 2 分别对应 别对应于 g1 2 2 3 m1g1 1 3 g3 2 4 3 m2g2 2 3 6 3 依 LgmgmhBgmgm B 11221122 LLLgmgm 3 4 3 2 1 3 1 11221 分裂为为四条条线线 学习参考 LLLgmgm 1 3 1 3 5 1 3 6 3 2 11222 分裂为为六条条线线 4 12 注 此题题 2 有两种两种理解 不同习题习题集不同做法 建议议用第二种种方法 钾钾原子的价电电子从从第一激发态发态向基态跃态跃迁迁时时 产产生两条两条精细结细结构构谱线谱线 其波长长分别为别为 766 4nm 和 769 9nm 现现将将该该原 子置于磁场场B中 设为设为弱场场 使与与此两两精细结细结构构谱线谱线有关关的能级进级进一步分裂 1 试计试计算能级级分裂大小 并并绘绘出分裂后的能级图级图 2 如欲使分裂后的最高能级级与与最低能级间级间的差距 E2等于原能级级差 E1的 1 5 倍 所加磁场场B应为应为多大 要点分析 钾钾原子的价电电子从从第一激发态发态向基态态的跃跃迁迁类类似于钠钠的精细结细结构构 其能级图级图同上题题 解 学习参考 1 先计计算朗德因子和mjgj A 对对于 2S1 2态 态 用 2 22 2 1 2 3 j ls gj 将将s 1 2 l 0 j 1 2 代入 即可算出 gj 2 由于j 1 2 因而mj 2 1 于是 mjgj 1 B 对对于P态态 相应应的l 1 因而j l s s 1 2 j 1 2 3 2 有两个两个原子态态 2P1 2 2P3 2 分别对应 别对应于 2P1 2对应 对应有 m1 1 2 g1 2 2 3 m1g1 1 3 2P3 2对应 对应有 m2 1 2 g3 2 4 3 m2g2 2 3 6 3 能级级分裂大小 P3 2能级级分裂大小 m2g2从从 6 3 2 3 为为 4 3 BB P1 2能级级分裂大小 m2g2从从 1 3 1 3 为为 2 3 BB S1 2能级级分裂大小 m1g1从从 1 1 为为 2 BB 2 解 有两种两种认为认为 2 第一种种认为认为 E E2 E1 与教与教材计计算结结果一致 分裂后的最高能级级 2P3 2 mJ 3 2 与与最低能级级差 2P1 2 mJ 1 2 BEBEBgmgmEE BBB 3 7 3 1 3 6 11112212 若使 E2 1 5 E1 1 5 E2 E1 即 E1 7 3 BB 1 5 E1 即 7 3 BB 0 5 E1 0 5 E2 E1 0 5 E2 E0 E1 E0 0 5 21 c h c h 即 21 0 5 3 7 c h c hB B T 17 27 105788 0 1 9 769 1 4 766 1 28 61970 5 7 3 0 5 7 3 4 21 c h c hB B B 27 17 T 学习参考 3 第二种种认为认为 E E2 E0 与教与教材结结果相差甚远远 分裂后的最高能级级 2P3 2 mJ 3 2 与与最低能级级差 2s1 2 mJ 1 2 BEBEBgmgmEE BBB 3 1 3 6 11112212 若使 E2 1 5 E1 即 E1 3 BB 1 5 E1 即 3 BB 0 5 E1 0 5 E2 E0 0 5 1 c h 1 0 53 c hB B T 3 4648 105788 0 1 4 766 1 28 6 1970 5 3 1 0 5 3 1 4 1 c hB B B 4648 3 T 4 13 假如原子所处的外磁场B大于该原子的内磁场 那么 原子的L S耦合将解脱 总轨道角动量L和总自旋角动量 S将分别独立地绕B旋进 1 写出此时原子总磁矩 的表示式 2 写出原子在此磁场B中的取向能 E的表示式 3 如置于B磁场中的原子是钠 试计算其第一激发态和基态的能级分裂 绘出分裂后的能级图 并标出选择定则 ms 0 m 0 1 所允许的跃迁 4 144 14 在居 B 4T 的外磁场中 忽略自旋 轨道相互作用 试求氢原子的 2P 1S跃迁 121 nm 所产生的谱线的波长 解 Bgmgmhh B 1122 忽略自旋与轨道相互作用 即引起帕邢 巴克效应 学习参考 此时 BLgSg m e BU ls e 2 或者 2 2 2 2 ls e zz e mm m Be LS m eB U 1 选择规则变为 ms 0 m 0 1 对应于 1S态 ms 1 2 ml 0 因此类比 1 式给出双分裂 对应于 1P态 ms 1 2 ml 0 1 因此给出六分裂 依据跃迁定则可能的跃迁如图 产生六种跃迁 三种波长 由 1 式看来 三种波长必然差 11 1 8740 467 4 cmcm cm eB L e L 1 0 1 11 121nm nm 00274 0 121 121 00274 0 121 学习参考 第四章 原子的精细结细结构构 电电子的自旋 4 1 解 BUBmBS m e BU BsB e s 22 VBUBmBS m e BU BsB e s 22 414 12 1 2 22 0 5788 101 21 39 10 2 B SB VVVgh BBev TTev h 4 2 3 2 134 2 2 225 DSejg 状态 5 4 2 3 2 2 1 gjls 3 34 1 1 2 25 BB j jg 其大小 B 55 1 BBz mmg 5 4 3 113 2 222 m Bz 5 6 5 2 5 2 5 6 4 3 解 6G3 2 态 2 3 4 2 5 612 jlss 该原子态的 Lande g 因子 0 1 2 3 2 3 14 4 1 2 5 2 5 2 1 2 3 g 原子处于该态时的磁矩 J T 0 1 Bj jjg S PJ PL PS L 利用矢量模型对这一事实进行解释 各类角动量和磁矩的矢量图如上 其中 学习参考 PS S S 1 1 2 35 4 1 2 PL L L 1 1 2 20 1 2 PJ J J 1 1 2 15 4 1 2 S gS S S 1 1 2 B 35 1 2 B L gl L L 1 1 2 B 利用 PS PL PJ之间三角形关系可求出 30 cos 72 5 由已知的cos S L 可求出 以及 1