棋盘上的麦粒

西洋棋盘上的麦子 取自 数学趣谈 西洋棋是最古老游戏之一 好几个世纪以前 西洋棋就被 发明了 因此我们不必惊讶有很多有关西洋棋的传说 当然也 不可能去印证它了 我要说的是其中的一个传说 要了解这个 传说并不需要知道如何下棋 只要知道这是在一个有 64 块方格 的棋盘上的游戏就足够了 1 传说里 西洋棋始于印度 楔伦王对于棋戏里 下棋方法 的庞大和巧妙 感到大为惊讶 当他晓得发明的人是他的子民 时 便下令要这个人来见他 以便接受他个人对这伟大发明所 给予的奖赏 这个名叫西沙的发明人来到国王前 他是一个 穿着朴素 靠教书糊口的学者 因为你不可思议的发明 我想 好好奖赏你 国王迎接西沙时说 这位贤者西沙 鞠躬致谢 我的财富 国王继续说 足够满足你最企盼的愿望 你只 要说出你所希望的 你就可以得到它 西沙默不作声 不必 害怕 国王怂恿着说 说出你想要的 我会毫不吝啬地达成 你的愿望 您的仁慈真是无达弗届 陛下 学者回答说 但是请您给我时间考虑考虑 明天 在我仔细考虑以后 再 来禀告您我的要求 第二天 西沙并不过分的要求 令国王感 到意外 陛下 他说 在棋盘的第一个方格 我想要一粒麦 子 一粒普普通通的麦子吗 国王几乎不能相信自己的 耳朵 是的 陛下 两粒麦子在第二个格子 四粒在第三格 八粒在第四格 十六粒第五格 卅二粒在第六格 好了 好了 国王急躁地说 你就会得到棋盘上所有 个方格上你所要的麦子 但你要知道你的要求实不足以彰 显我的慷概胸怀 如此平常的要求对我是大不敬 实在说 做 为一个教师 你应该可以有更好的方式来表达你对国王的仁慈 的敬意 去吧 我的仆人就会给你所有你要的麦子 西沙微笑 地走出去 然后站在门口等候他的奖赏 2 进晚食时 国王想起西沙 于是质问那位 愚鲁 的发明 家是不是已经得到那可怜的奖赏了 陛下 他得到的答复是 您的命令还在执行中呢 您的臣子正在计算那些麦粒的数量 国王不悦地皱了皱眉 他不惯于见到他的命令如此缓慢地被 执行 晚间就寝前 国王再一次询问西沙是不是得到了应得的 麦粒了 陛下 答复是 您的数学家们正不停地工作着 只希望在天亮以前计算出麦粒的数量呢 他们为什么这么 慢 国王生气的命令 在我醒来之前 西沙必须得到全部 的麦子 我不再命令第二次了 第二天早上 宫庭的首席数 学家要求晋见国王 国王准许了他 在你告靠我来意之前 楔伦王说 我要知道西沙是不是得到了他要求的微不足道的 奖赏了 正因为这件事 我才斗胆诞么早来见您 这个年长 的贤者回答 我们实实在在地计算了西沙所要的麦子 那是 一笔庞的大的数目 不管怎么庞大 国王不耐烦地插 嘴说 我的壳仓一定能应付的 这个奖赏我已答应了 因此 一定要给的 陛下 满足西沙的愿望 不是您能力所能达 到的 您的谷仓并没有储藏西沙所需麦粒的数量 您的国度里 也没有这么多麦粒 事实上 在整个世界上也一样没有 因此 如果您坚守承诺的话 您必须将全世界丰土地都开垦成麦田 所有的海洋也开辟成水田 而且使所有北方的冰雪都溶化 如 此才可能有足够的麦子给西沙 国王显得很严肃 说出这个 数字来 他沈思着说 这数字是 陛下 贤者回答说 3 传说里是这么记载的 我们不知道是不是真是这样 但是 不难了解那奖赏达到这么一个数字 稍微耐心点 我们可以自 己来计算这个数目 一开始 我们要依次加上的数字是 等等 的 次乘幂的值就是西沙在第六十 四个方格可得到的麦粒 根据前面说过的形式 如果我们求出 264的值再减去 1 就能轻易地算出麦子的数目 换句话说 我 们要连乘 个 乘 次 为了方便于计算 我们将这 个因子分成 堆 个 的连 乘积 剩下的是 个 的连乘 210 是 24 是 因此我们所求的 把 乘上 得 因此现在我们所要求的就成为 最后再将结果减去 于是得到麦子的数目 如果你想知道 这个大数目的真实情形像什么 祇要想象储存这些麦子所需储 仓的大小就可以了 如果 一立方尺的麦子含有大约 粒谷子 那么这位西洋棋的发明人所要 求的奖赏 将需要大约 立方 公尺或 立方公里的谷仓来容纳 如果我们用高度 公尺 宽度 公尺的壳仓 它的长度必须是 公里 也就是说 它的长度两倍于地球到 太阳的距离 国王当然不能满足西沙的要求 但是如果他长于 数学 当时他就能很轻易地避免答应这么巨大的奖赏了 他 只需要求西沙自己一个人一粒粒地数就好了 事实上 如果西 沙日夜不停地数 假设每数一粒花费一秒钟 那么第一天他将 数出 粒 一百万麦子就会花费他不少于 天的 时间 他将花费 个月的时间来数 立方公尺里的麦子 若是 这样持续不断的数上 年 他也不过数了 立方公尺的麦 子 你可以看得出 即使西沙终其余年地数这些麦子 他也只 不过数了奖赏里微不足道的一部分 本题的正确答案 第一格是 20 1 第二格是 21 2 第三格是 22 4 麦子放到第 28 格 这一格的麦粒已经超过 1 亿粒 第 64 格大约要放 92233720368 亿粒 所需麦粒总数 1 2 22 23 24 263 264 1 18446744073709551615 传说西塔发明了国际象棋而使国王十分高兴 他决定要重赏西 塔 西塔说 我不要你的重赏 陛下 只要你在我的棋盘上 赏一些麦子就行了 在棋盘的第 1 个格子里放 1 粒 在第 2 个 格子里放 2 粒 在第 3 个格子里放 4 粒 在第 4 个格子里放 8 粒 依此类推 以后每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子 里放的麦粒数的 2 倍 直到放满第 64 个格子就行了 区区小 数 几粒麦子 这有何难 来人 国王令人如数付给西塔 计数麦粒的工作开始了 第一格内放 1 粒 第二格内放 2 粒第 三格内放 2 粒 还没有到第二十格 一袋麦子已经空了 一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来 但是 麦粒数一格接一 格飞快增长着 国王很快就看出 即便拿出全国的粮食 也兑 现不了他对西塔的诺言 原来 所需麦粒总数为 18446744073709551615 这些麦子究竟有多少 打个比方 如果造一个仓库来放这些麦 子 仓库高 4 公尺 宽 10 公