一次函数模型的应用

一次函数模型的应用一次函数模型的应用 例例 1 1 某列火车从北京西站开往石家庄 全程某列火车从北京西站开往石家庄 全程 277km 277km 火车出发火车出发 10min10min 开出开出 13km13km 后 以后 以 120km h120km h 的速度匀速行驶的速度匀速行驶 试写出火车行驶的总路程试写出火车行驶的总路程S S与匀速行驶的时间与匀速行驶的时间 t t之间的关系 并求火车离开北京之间的关系 并求火车离开北京 2h2h 内行驶的路程 内行驶的路程 解题方法 解题方法 1 1 读题 找关键点 读题 找关键点 2 2 抽象成数学模型 抽象成数学模型 3 3 求出数学模型的解 求出数学模型的解 二次函数模型的应用二次函数模型的应用 例例 2 某某农农 家旅游公司有家旅游公司有 客房客房 300 间间 每每间间日房租日房租 20 元 每天都元 每天都 客客满满 公司欲公司欲 提高档次 并提高档次 并 提高租金提高租金 如如 果每果每间间客房每客房每 日增加日增加 2 元 元 客房出租数就客房出租数就 会减少会减少 10 间间 若不考若不考虑虑其他其他 因素 旅社将因素 旅社将 房房间间租金提高到多少租金提高到多少时时 每天客房的租金 每天客房的租金总总收入最高 收入最高 b5E2RGbCb5E2RGbCb5E2RGbC 解解应应用用题题首先要首先要读读懂懂题题意 意 设计设计出出问题问题指指导导学生学生审题审题 建立正确的数学模型 建立正确的数学模型 同同时时 培养学生独立解决培养学生独立解决问题问题的能力的能力 p1EanqFDp1EanqFDp1EanqFD 依依题题意可列表如下 意可列表如下 x xy y 0 0300 20300 20 60006000 1 1 300 300 10 1 2010 1 20 2 1 2 1 63806380 2 2 300 300 10 2 2010 2 20 2 2 2 2 67206720 3 3 300 300 10 3 2010 3 20 2 3 2 3 70207020 4 4 300 300 10 4 2010 4 20 2 4 2 4 72807280 5 5 300 300 10 5 2010 5 20 2 5 2 5 75007500 6 6 300 300 10 6 2010 6 20 2 6 2 6 76807680 由上表容易得由上表容易得 到 当到 当 x 10 即每天租 即每天租 金金为为 40 元元时时 能出租客房能出租客房 200 间间 此 此时时 每天每天总总租金最租金最 高 高 为为 8000 元元 再提高租再提高租 金 金 总总收入就收入就 要小于要小于 8000 元了元了 DXDiTa9EDXDiTa9ED XDiTa9E 解 解 设设客房租金每客房租金每间间提高提高 x 个个 2 元 元 则则将有将有 10 x 间间客房空出 客房租金的客房空出 客房租金的总总收入收入为为 y 20 2x 300 10 x 20 x2 600 x 200 x 6000 20 x2 20 x 100 100 6000 20 x 10 2 8000 由此得到 当由此得到 当 x 10 时时 ymax 8000 即每即每间间租金租金为为 20 10 2 40 元元 时时 客房租 客房租 金的金的总总收入最高 每天收入最高 每天为为 8000 元元 RTCrpUDGRTCrpUDGRTCrpUDG 7 7 300 300 10 7 2010 7 20 2 7 2 7 78207820 8 8 300 300 10 8 2010 8 20 2 8 2 8 7920 7920 9 9 300 300 10 9 2010 9 20 2 9 2 9 79807980 1010 300 300 10 10 2010 10 20 2 10 2 10 80008000 1111 300 300 10 11 2010 11 20 2 11 2 11 79807980 1212 300 300 10 12 2010 12 20 2 12 2 12 79207920 1313 300 300 10 13 2010 13 20 2 13 2 13 78207820 实际应实际应用用用用问题问题解决的一般步解决的一般步骤骤 理解 理解问题问题 简简化假化假设设 数学建模数学建模 解答模型解答模型 检验检验模型模型 评评价与价与应应用的用的进进一步深化一步深化5PCzVD7H5PCzVD7H5PCzVD7H 分段函数的分段函数的应应用用 请请据以上数据作出分析 据以上数据作出分析 这这个个经营经营部怎部怎样样定价才能定价才能 获获得最大利得最大利润润 解 根据表 解 根据表 销销售售单单价每增加价每增加 1 元 日均元 日均销销售量就减售量就减 少少 40 桶桶 设设在在进进价基价基础础上增加上增加 x 元后 日均元后 日均销销售利售利 润为润为 y 元 而在此情况下的日均元 而在此情况下的日均销销售量就售量就为为 xHAQX74JxHAQX74JxHAQX74J 480 40 x 1 520 40 x 桶桶 LDAYtRyKLDAYtRyKLDAYtRyK 由于由于 x 0 且且 520 40 x 0 即 即 0 x 13 于是可得 于是可得 Zzz6ZB2LZzz6ZB2LZzz6ZB2L y 520 40 x x 200dvzfvkwMdvzfvkwMdvzfvkwM 40 x2 520 x 200 0 x 13rqyn14ZNrqyn14ZNrqyn14ZN 例例 3 某桶装水某桶装水经营经营部每天的房租 人部每天的房租 人员员工工资资等固定成本等固定成本为为 200 元 每桶水的元 每桶水的进进价价 是是 5 元元 销销售售单单价与日均价与日均销销售量的关系如表所示 售量的关系如表所示 jLBHrnAIjLBHrnAIjLBHrnAI 销销售售单单 价价 元元 6789 日均日均销销 售量售量 桶桶 480 440 400360 销销售售单单 价价 元元 101112 日均日均销销 售量售量 桶桶 320 280 240 易知 当易知 当 x 6 5 时时 y 有最大有最大值值 EmxvxOtOEmxvxOtOEmxvxOtO 所以 只需将所以 只需将销销售售单单价定价定为为 11 5 元 就可元 就可获获得最大的利得最大的利 润润 SixE2yXPSixE2yXPSixE2yXP 指数型函数模型的指数型函数模型的应应用用 例例 4 人口人口问题问题是当今世界各国普遍关注的是当今世界各国普遍关注的问题问题 认识认识人人 口数量的口数量的变变化化规规律 可以律 可以为为有效控制人口增有效控制人口增长长提供依提供依 据据 早在早在 1798 年 英国年 英国经济经济学家学家马尔萨马尔萨斯斯 T R Malthus 1766 1834 就提出了自然就提出了自然 状状态态下的人口增下的人口增长长模型 模型 y y0ert 6ewMyirQ6ewMyirQ6ewMyirQ 其中其中 t 表示表示经过经过的的时间时间 y0表示表示 t 0 时时的人口数 的人口数 r 表示人口的年平均增表示人口的年平均增长长率率 kavU42VRkavU42VRkavU42VR 下表是下表是 1950 1959 年我国的人口数据年我国的人口数据资资料 料 年份年份 195 0 195 1 195 2 195 3 195 4 人数人数 万人万人 551 96 563 00 574 82 587 96 602 66 年份年份 195 5 195 6 195 7 195 8 195 9 1 如果以各年人口增 如果以各年人口增长长率的平均率的平均值值作作为为我国我国这这一一时时期期 的人口增的人口增长长率 精确到率 精确到 0 0001 用 用马尔萨马尔萨斯人口增斯人口增长长 模型建立我国在模型建立我国在这这一一时时期的具体人口增期的具体人口增长长模型 并模型 并检检 验验所得模型与所得模型与实际实际人口数据是否相符 人口数据是否相符 y6v3ALoSy6v3ALoSy6v3ALoS 2 如果按表的增 如果按表的增长趋势长趋势 大 大约约在哪一年我国的人口达到在哪一年我国的人口达到 13 亿亿 M2ub6vSTM2ub6vSTM2ub6vST 形如形如 y bacx函数函数为为指数型函数 生指数型函数 生产产生活中以此函数构建模型的生活中以此函数构建模型的实实例很多 例很多 解解 1 设设 1951 1959 年的人口增年的人口增长长率分率分别为别为 r1 r2 r9 由由 55196 1 r1 56300 可得 可得 1951 年的人口增年的人口增长长率率0YujCfmU0YujCfmU0YujCfmU r1 0 0200 同理可得 同理可得 r2 0 0210 r3 0 0229 r4 0 0250 r5 0 0197 r6 0 0223 r7 0 0276 eUts8ZQVeUts8ZQVeUts 8ZQV r8 0 0222 r9 0 0184 sQsAEJkWsQsAEJkWsQsAEJkW 于是 于是 1951 1959 年期年期间间 我国人口的年均增 我国人口的年均增长长率率为为GMsIasNXGMsIasNXGMsIasNX r r1 r2 r9 9 0 0221 TIrRGchYTIrRGchYTIrRGchY 令令 y0 55196 则则我国在我国在 1950 1959 年期年期间间的人口增的人口增长长模型模型为为 人数人数 万人万人 614 56 628 28 645 63 659 94 672 07 y 55196e0 0221t t N 7EqZcWLZ7EqZcWLZ7EqZcWLZ 根据表中的数据可以作出散点根据表中的数据可以作出散点图图 所以 如果按表的增所以 如果按表的增长趋势长趋势 那么大 那么大约约在在 1950 年后的第年后的第 39 年 即年 即 1989 年 我国的年 我国的 人口就已达到人