用高等数学解决高考问题.doc

用高等数学知识来指导中学数学解题戚学员 2006年的考试说明明确指出，数学科考试要“发挥数学作为基础学科的作用，既考查中学数学知识和方法，又考查考生进入高校继续学习的潜能”。因此有些大学知识通过变化巧妙地渗透到试题中。因此在日常教学中，作为中学教师要有意识的向学生介绍一些高等数学中的公式和定理，这样不但可以增加数学知识，扩大解题途径，还可以激发学生的求知欲望，让他们懂得，站得高才能看得远。1、函数的凹凸性例1（94年高考）已知函，判断与的大小，并加以证明。解：。 （当且时仅当x1=x2时取”=”号）当a1时,有 ，即 当0a1时,有 ，即 （当且时仅当x1=x2时取”=”号）本题作完以后应该给学生如下知识：结合高等数学的知识向学生渗透满足的函数称为凸函数；满足的函数称为凹函数。这样在以选择题出现时，可以用数形结合的思想，用图象来解此类问题。练习1 在， 四个函数中，当时，使成立的函数是 ( ) A B C D 2、求极限的洛必塔法则例2 求的值解：=上面的解法使用了洛必塔法则，教学时只需告诉学生定理及定理使用的条件，会解题即可。此题比用中学常用的分解因式的方法求解，即简化了运算，又避免了学生容易犯的错误。练习2 求的值解：= 3、高次式的因式分解例3 解不等式 本题的难点在于分解因式，在这里我给学生介绍了艾森斯坦定理：对于一个整系数方程，若有整根，则一定是常数项的因数。这样这个题目同学们就可以找到一个根-1，给分组分解因式提供了依据。使得用中等数学解决困难的问题，找到了突破口。解：原不等式等价于：由数轴标根法知：原不等式的解集为 4、拉格郎日中值定理例4 已知二次函数满足：在x=1时有极值；图像过点（0，-3），且在该点处的切线与2x+y=0直线平行。(1)求f(x)的解析式；（2）求函数g(x)=f(xex),的值域；（3）若曲线y= f(ex)上任意两点的连线的 斜率恒大于，求a的取值范围。解：（1）令， b=-2又f(x)在x=1时有极值 2a+b=0 a=1 故；（2）设，则 时， u(x)为0,1上的增函数 的值域是；（3）设= 曲线上任意两点的连线的斜率恒大于， 故所以a的取值范围为：在第三问的解法中使用了高等数学中的拉格郎日中值定理：若函数f(x)满足如下条件：(1)在闭区间a，b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导。则在(a,b)内至少存在一点使得。使得困难问题简单化，同时大大的简化了运算。5、空间向量ABCDA1B1C1FzD1(1) 例5 在棱长AB=AD=2,AA1=3的长方体AC1中,点E是平面BCC1B1上动点,点F是CD的中点。(2) 求二面角B1AFB的大小。解：建立空间直角坐标系,如图，试确定E的位置,使D1E平面AB1F。则A(0,0,0), F(1,2,0), B1(2,03), D1(0,2,3)y令 E(2,y,z), 则=(2,y-2,z-3), =(1,2,0), x, D1E平面AB1F 即 解得 即为所求。(3) 当D1E平面AB1F时,又与分别是平面BAF与平面B1AF的法向量,则二面角B1为所求(2)为单调递增函数，AFB的平面角等于，二面角的平面角为此题若不用空间向量，使用三垂线定理不但麻烦，也不易表述。通过以上的例子可以看出适当的向学生介绍一些，他们能够接受的了的高等数学知识，既可以达到简化运算、避免易错点的目的，还可以突破难点，找到规律性的解题途径，更为高等数学的学习打下良好