2014届高三数学总复习-不等式证明的基本方法教案选修4-4-新人教A版

1 20142014 届高三数学总复习届高三数学总复习 不等式证明的基本方法教案不等式证明的基本方法教案 新人教新人教 A A 版选修版选修 4 44 4 考情分析考点新知 证明不等式的基本方法 了解证明不等式的基本方法 比较法 综 合法 分析法 反证法 换元法 数学归纳 法 放缩法 能用比较法 综合法 分析法证明简单的 不等式 1 设 a b R R 试比较与的大小 a b 2a b 解 2 0 a b a b 2 2 a b 2 2a b a b 2 2 若 a b c R R 且 a b c 1 求 的最大值 abc 解 1 1 1 2 12 12 12 a b c 3 即 的最大值为 abcabc 3 3 设 a b m R R 且 求证 a b b a b m a m 证明 由 2 2 a bba b aab 2 2 即 即 M N a bb b aaba a b b aba 5 用数学归纳法证明不等式 n 1 n N N 的过程中 用 1 n 1 1 n 2 1 n n 1 2 n k 1 时左边的代数式减去 n k 时左边的代数式的结果是 A 求代数式 A 解 当 n k 时 左边 n k 1 时 左边 1 k 1 1 k 2 1 k k 故左边增加的式子是 即 1 k 2 1 k 3 1 k 1 k 1 1 2k 1 1 2k 2 1 k 1 A 1 2k 1 2k 2 1 不等式证明的常用方法 1 比较法 比较法是证明不等式的一种最基本的方法 也是一种常用方法 基本不 等式就是用比较法证得的 比较法有差值 比值两种形式 但比值法必须考虑正负 2 比较法证明不等式的步骤 作差 商 变形 判断符号 其中的变形主要方法是分解 因式 配方 判断过程必须详细叙述 2 综合法 综合法就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发 不断用必要条 件替换前面的不等式 直到推出要证明的结论 即为 由因导果 在使用综合法证明不等 式时 常常用到基本不等式 3 分析法 分析法就是从所要证明的不等式出发 不断地用充分条件替换前面的不 等式 直至推出显然成立的不等式 即为 执果索因 2 不等式证明的其他方法和技巧 1 反证法 从否定结论出发 经过逻辑推理 导出矛盾 证实结论的否定是错误的 从而肯定结 论是正确的证明方法 2 放缩法 欲证 A B 可通过适当放大或缩小 借助一个或多个中间量 使得 A C1 C2 Cn B 利用传递性达到证明的目的 3 数学归纳法 备课札记 3 题型 1 用比较法证明不等式 例例 1 1 求证 a2 b2 ab a b 1 证明 a2 b2 ab a b 1 a2 b2 ab a b 1 2a2 2b2 2ab 2a 2b 2 1 2 a2 2ab b2 a2 2a 1 b2 2b 1 1 2 a b 2 a 1 2 b 1 2 0 1 2 a2 b2 ab a b 1 备备选选变变式式 教教师师专专享享 已知 a 0 b 0 求证 a b b aab 证明 证法 1 a b b a ab a b b b a a a b b b a a 0 原不等式成立 a b a b ab a b a b 2 ab 证法 2 由于 Error 1 1 1 a a b b ab a b a b a ab b ab a b a b ab 2 ab ab 又 a 0 b 0 0 ab a b b aab 题型 2 用分析法 综合法证明不等式 例例 2 2 已知 x y z 均为正数 求证 x yz y zx z xy 1 x 1 y 1 z 证明 证法 1 综合法 因为 x y z 都是正数 所以 同理可得 x yz y zx 1 z x y y x 2 z 将上述三个不等式两边分别相加 并除以 2 得 y zx z xy 2 x z xy x yz 2 y x yz y zx z xy 1 x 1 y 1 z 证法 2 分析法 因为 x y z 均为正数 要证 只要证 x yz y zx z xy 1 x 1 y 1 z 只要证 x2 y2 z2 yz zx xy 只要证 x y 2 y z x2 y2 z2 xyz yz zx xy xyz 2 z x 2 0 而 x y 2 y z 2 z x 2 0 显然成立 所以原不等式成立 变式训练 已知 a 0 求证 a 2 a2 1 a22 1 a 4 证明 要证 a 2 a2 1 a22 1 a 只需证 2 a a2 1 a2 1 a2 只需证 a2 4 4 a2 2 2 2 1 a2 a2 1 a2 1 a22 a 1 a 即证 2 a2 1 a22 a 1 a 只需证 4 2 a2 1 a2 a2 1 a2 2 即证 a2 2 此式显然成立 1 a2 原不等式成立 题型 3 均值不等式与柯西不等式的应用 例例 3 3 求证 a2 b2 c2 3 a b c 3 证明 12 12 12 a2 b2 c2 a b c 2 a2 b2 c2 3 a b c 2 9 即 a2 b2 c2 3 a b c 3 变式训练 若实数 x y z 满足 x 2y 3z a a 为常数 求 x2 y2 z2的最小值 解 12 22 32 x2 y2 z2 x 2y 3z 2 a2 即 14 x2 y2 z2 a2 x2 y2 z2 即 x2 y2 z2的最小值为 a2 14 a2 14 备备选选变变式式 教教师师专专享享 用数学归纳法证明 当 n 是不小于 5 的自然数时 总有 2n n2成立 证明 1 当 n 5 时 25 52 结论成立 2 假设当 n k k N N k 5 时 结论成立 即有 2k k2 那么当 n k 1 时 左边 2k 1 2 2k 2 k2 k 1 2 k2 2k 1 k 1 2 k 1 k 1 k 1 2 右边 22 也就是说 当 n k 1 时 结论成立 由 1 2 可知 不等式 2n n2对 n N N n 5 时恒成立 例例 4 4 求函数 y 的最大值 1 x4 2x 解 y2 2 12 2 1 x 2 x 3 3 y 3 当且 1 x22 x2 仅当 时取 号 即当 x 0 时 ymax 3 1 1 x 2 2 x 备备选选变变式式 教教师师专专享享 2011 湖南改编 设 x y R R 求的最小值 x2 1 y2 1 x2 4y2 解 由柯西不等式 得 1 2 2 9 的最小值 x2 1 y2 1 x2 4y2 x2 1 y2 1 x2 4y2 为 9 5 1 2013 陕西 已知 a b m n 均为正数 且 a b 1 mn 2 求 am bn bm an 的最小值 解 利用柯西不等式求解 am bn an bm 2 mn a b am anbn bm 2 2 1 2 且仅当 m n 时取最小值 2 am an bn bm 2 2013 湖北 设 x y z R R 且满足 x2 y2 z2 1 x 2y 3z 求 14 x y z 的值 解 由柯西不等式可知 x 2y 3z 2 14 x2 y2 z2 12 22 32 因为 x2 y2 z2 1 所以当且仅当 时取等号 x 1 y 2 z 3 此时 y 2x z 3x 代入 x 2y 3z 得 x 即 y z 14 14 14 2 14 14 3 14 14 所以 x y z 3 14 7 3 2013 江苏 已知 a b 0 求证 2a3 b3 2ab2 a2b 证明 2a3 b3 2ab2 a2b 2a3 2ab2 a2b b3 2a a2 b2 b a2 b2 a2 b2 2a b a b a b 2a b 又 a b 0 a b 0 a b 0 2a b 0 a b a b 2a b 0 2a3 b3 2ab2 a2b 0 2a3 b3 2ab2 a2b 4 2013 新课标 设 a b c 均为正数 且 a b c 1 证明 1 ab bc ca 1 3 2 1 a2 b b2 c c2 a 证明 1 由 a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ca 得 a2 b2 c2 ab bc ca 由题设得 a b c 2 1 即 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1 所以 3 ab bc ca 1 即 ab bc ca 1 3 2 因为 b 2a c 2b a 2c a2 b b2 c c2 a 故 a b c 2 a b c a2 b b2 c c2 a 即 a b c a2 b b2 c c2 a 所以 1 a2 b b2 c c2 a 6 1 已知正数 a b c 满足 abc 1 求证 a 2 b 2 c 2 27 证明 a 2 b 2 c 2 a 1 1 b 1 1 c 1 1 3 3 3 27 27 当且仅当 a b c 1 时等号成立 3 a 3 b 3 c 3 abc 2 已知函数 f x m x 2 m R R 且 f x 2 0 的解集为 1 1 1 求 m 的值 2 若 a b c R R 且 m 求证 a 2b 3c 9 1 a 1 2b 1 3c 解 1 f x 2 m x 0 x m m 0 m x m f x 2 0 的解集是 1 1 故 m 1 2 由 1 知 1 a b c R R 由柯西不等式得 a 2b 3c a 2b 3c 1 a 1 2b 1 3c 2 9 1 a 1 2b 1 3c a 1 a2b 1 2b3c 1 3c 3 已知 x y z R R 且 x y z 1 1 若 2x2 3y2 6z2 1 求 x y z 的值 2 若 2x2 3y2 tz2 1 恒成立 求正数 t 的取值范围 解 1 2x2 3y2 6z2 x y z 2 1 当且仅当 时 1 2 1 3 1 6 2x 1 2 3y 1 3 6z 1 6 取 2x 3y 6z 又 x y z 1 x y z 1 2 1 3 1 6 2 2x2 3y2 tz2 x y z 2 1 2x2 3y2 tz2 min 1 2 1 3 1 t 1 5 6 1 t 2x2 3y2 tz2 1 恒成立 1 t 6 1 5 6 1 t 4 1 求函数 y 的最大值 x 15 x 2 若函数 y a 最大值为 2 求正数 a 的值 x 16 4x5 解 1 2 1 1 x 1 5 x 8 2 当 x 15 xx 15 x2 且仅当 1 1 即 x 3 时 ymax 2 x 15 x2 2 a 2 2 a2 4 x 1 x a2 4 x 16 4x a x 1 2 3 2 x 3 2 5 2 由已知 a2 4 20 得 a 2 5 2 又 a 0 a 2 7 1 算术 几何平均不等式 若 a1 a2 an R R n 1 且 n N N 则叫做这 n 个正数的算术平均 a1 a2 an n 数 叫做这 n 个正数的几何平均数 n a1a2 an 基本不等式 n N N ai R R 1 i n a1 a2