高考压轴题中的lnx

高考压轴题中的高考压轴题中的 lnx 对于千千万万的高考生来说 数学很难吗 我是一名已经经历过 高考的人了 我很热爱数学所以大学还是学数学 而今天我就把我 的一些总结送给大家 如何让 lnx 融入你的生活 首先对于高中常见的三个函数 y y x y e x 它们之 间有嘛联系 首先比较 y e x 与 y x 的关系 构造函数 g x e x x 求导 得极值 在 x 0 时取得最小值 即 g x g 0 1 也即是 e x x 1 此时忽略定义域的话 两边同时取对数即 x ln x 1 此时再进 行变换 令 t x 1 即 x t 1 得到 lnt t 1 也就是 lnx x 1 同理继 续令 x 化简得到 lnx 1 此时相信聪明的学生已经看出来了这 t 1 x 1 只是一个简单的形式变换 但他对于以后的解题有巨大的帮助 现在我们总结一下总共得到的公式 e x 1 x ln x 1 1 x x 注意我又变了几个 而对于 y lnx y x y e x 三者的图像你们 可以自己画一下 把 y e x 向下平移一个单位 同时把 y lnx 向上 平移一个单位就会发现它们神奇的汇聚在 0 0 处 y 上 下面开讲例题 1 已知 f x kx g x x xln 1 若不等式 f x g x 在 0 恒成立 求 k 的取值范 围 2 求证 2 4 2ln 3 4 3ln n n 4 ln e2 1 解题思路 对于第一问来说 so easy 但对于第二问就有一点点问 题 此时回到我们刚开始讨论的东西 对于函数中的 x 可以是定义 域中的任何形式当然包括 n 以及 等 n 2 n 1 n J 1 求导易知 k 此时构造了一个函数 h x e2 1 0 上恒成立 代入 x n 得到恒成立 此时 x 2 lnx e2 1 n n 4 ln e2 1 已经转化成 1 的问题了 很明显用放缩裂项法 2 2 1 3 2 1 n 2 1 很容易的出来 对于放缩裂项法我补充一点 除了 1nn 1 n 1 以外 还有一个 1n 1 1nn1 n 1 2 1 1nn 1 2 1 1 nn 在很多证明题中他不一定直接给出 重要函数 可能间接 也可能不给 这就需要我们学会敏锐的观察力 2 已知 f x x xln 1 求 f x 的单调区间和最大值 2 证明 f x 1 在 0 恒成立 比较 f f x 1 2 2 3 2 f 与的大小关系 n 2 1 2 1n 12 n n 解题思路 同样对于第一问来说 so easy 但对于第二问就有一点 点问题 其实很明显1 因为由一开始 lnx x 1 同除以 X 而 x xln x 1 已 接着同理令 x 代入 化简即可 n 2 2011 类似高考题 2011 年高考全国卷理科 22 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 设函数 证明 当时 2 ln 1 2 x f xx x 0 x 0f x 从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随即抽取一张 然后放 回 用这种方式连续抽取 20 次 设抽得的 20 个号码互不相同的概 率为 证明 p 19 2 91 10 p e 2011 年高考湖北卷理科 21 本小题满分 14 分 已知函数 求函数的最大值 ln1 0 f xxxx f x 设均为正数 证明 1 2 3 kk ab k n 1 若 则 1 12212nnn a ba ba bbbb 12 12 1 n kkk n a aa 2 若 则 12 1 n bbb 12 222 1212 1 n kkk nn b bbb bb n J 略 小试牛刀 1 求证 3 2ln 4