高中数学立体几何中添加辅助线的策略学法指导

高中数学立体几何中添加辅助线的策略高中数学立体几何中添加辅助线的策略 立体几何中添加辅助线的主要策略 一是把定义或者定理中缺少的线 面 体补完整 二是要把已知量和未知量统一在一个图形中 如统一在一个三角形中 这样可以用解三角 形的方法求得一些未知量 再如也可以统一在平行四边形或其他几何体中 下面加以说明 一 添加垂线策略 因为立体几何的许多定义或定理是与垂线有关的 如线面角 二面角 的定义 点到平面 线到平面 平面到平面距离的定义 三垂线定理 线面垂直 面面垂 直的判定及性质定理 正棱柱 正棱锥的性质 球的性质等 所以运用这些定义或定理 就需要把没有的垂线补上 尤其要注意平面的垂线 因为有了平面的垂线 才能建立空间 直角坐标系 才能使用三垂线定理或其逆定理 例 1 在三棱锥中 三条棱 OA OB OC 两两互相垂直 且 OA OB OC MABCO 是 AB 边的中点 则 OM 与平面 ABC 所成的角的大小是 用反三角函数表示 图 1 解 如图 1 由题意可设 则 O 点在底aOA 3 ABCO a 6 1 V a2CABCAB 面的射影 D 为底面的中心 又 OM 与ABC a 3 3 S 3 1 V OD ABC ABCO a 6 3 MC 3 1 DM 平面 ABC 所成角的正切值是 所以二面角大小是 2 a 6 6 a 3 3 tan 2arctan 点评 本题添加面 ABC 的垂线 OD 正是三棱锥的性质所要求的 一方面它构造出了 正三棱锥里面的 另一方面也构造出了 OM 与平面 ABC 所成的角 ODMRt ODCRt 二 添加平行线策略 其目的是把不在一起的线 集中在一个图形中 构造出三角形 平 行四边形 矩形 菱形 这样就可以通过解三角形等 求得要求的量 或者利用三角形 梯形的中位线来作出所需要的平行线 例 2 如图 2 在正方体中 则与 DF 所成 1111 DCBAABCD 4 BA FDEB 11 111 1 BE 角的余弦值是 A B C D 17 15 2 1 17 8 2 3 图 2 解析 取 易得四边形 ADFG 是平行四边形 则 AG DF 再作 4 BA GA 11 1 四边形也是平行四边形 就是与 DF 所成角 由余弦定理 AG EE1EAGE1EBE1 1 BE 算出结果 选 A 点评 求异面直线所成角常采用平移法 三 向中心对称图形对称中心添加连线策略 这主要是因为对称中心是整个图形的 交通 枢纽 它可以与周围的点 线 面关联起来 常见的有对平行四边形连对角线 对圆的问 题向圆心连线 对球体问题向球心连线 例 3 如图 3 O 是半径为 1 的球的球心 点 A B C 在球面上 OA OB OC 两两垂 直 E F 分别是大圆弧 AB 与 AC 的中点 则点 E F 在该球面上的球面距离是 A B C D 4 3 2 4 2 图 3 解析 添加辅助线 OE OF 连结 EF 构成 关键是求 为了使 EF 与OEF EOF 已知条件更好地联系起来 过 E 作 垂足为 G 连结 FG 构造 在图 3AOEG GEF 中 2 EGF FG 2 2 4 sin1EG 3 EOF OFOE1FGEGEF 22 点 E F 在该球面上的球面距离为 故选 B 3 1 3 点评 本题抓住了球心 抓住了弧中点 利用这些特殊点作辅助线是解题的关键 四 名线策略 即添加常用的 重要的线 如中位线 高 角平分线 面对角线和体对角 线等 尽管这些线上面也有提到 但还是要在这里强化一下 这些线有着广泛的联系 尤 其是添加三角形中位线或者梯形中位线 这主要是因为中位线占据了两个边的中点 并且 中位线平行于底边 且是底边长的一半 它可以把底边与其他线面的角度关系平移 使已 知和未知集中在一个三角形中 例 4 如图 4 正三棱柱的各棱长都为 2 E F 分别是 AB 的中点 111 CBAABC 11C A 则 EF 的长是 图 4 A 2B C D 357 解析 如图 4 所示 取 AC 的中点 G 连结 EG FG 则易得 故1EG 2FG 选 C 5EF 点评 本题充分体现了中位线的重要性 五 割补策略 分割成常见规则图形 或者补形成典型几何体 例 5 一个四面体的所有棱长都为 四个顶点在同一球面上 则此球的表面积为 2 A B C D 6 3 4 33 解析 把这个正四面体补成正方体 如图 5 正四面体可看成是由BCDA BCDA 正方体的面对角线构成的 这个正四面体和这个正方体有相同的外接球面 因为四面体 的棱长为 所以正方体棱长为