与圆有关的最值(范围)问题

与圆有关的最值（范围）问题圆是数学中优美的图形，具有丰富的性质由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形性质，利用数形结合求解当然，根据教学要求的说明，“平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想”，因此在此类问题的求解中，有时也会用到函数思想和基本不等式思想等本文将就与圆的最值问题有关的题目进行归纳总结，希望能为学生在处理此类问题时提供帮助类型一：圆上一点到直线距离的最值问题应转化为圆心到直线的距离加半径，减半径例1 已知P为直线y=x+1上任一点，Q为圆C：上任一点，则的最小值为 .【分析】：这是求解“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，这一结论在解题时可直接应用解：如图1，圆心C到直线y=x+1的距离，圆半径，故变题1：已知A(0,1),B(2,3),Q为圆C上任一点，则的最小值为 . 【分析】本题要求的最大值，因为线段AB为定长，由三角形面积公式可知，只需求“Q到的最小值”，因此问题转化为“圆上一动点到直线的最小距离”，即例1解：如图2，设为Q到的距离，则xyOCBQAxyOCPQ图1 图2变题2：由直线y=x+1上一点向圆C：引切线，则切线长的最小值为 【分析】一般地，当直线和圆相切时，应连接圆心和切点，构造直销三角形进行求解因为，故即求PC的最小值，即例1解：如图3，变题3：已知P为直线y=x+1上一动点，过P作圆C：的切线PA，PB,A、B为切点，则当PC= 时，最大【分析】，故即求角的最大值，利用其正弦值即可转化为求PC的最小值，即例1解：如图4，,时，最大，即最大xyOCPABxyOCPA图3 图4变题4：已知P为直线y=x+1上一动点，过P作圆C：的切线PA，PB,A、B为切点，则四边形PACB面积的最小值为 .【分析】将四边形面积转化为两个全等的三角形的面积，从而转化为PA的最小值，问题又转化为求切线段的最小值问题解：如图4，由变式2可知，故四边形PACB面积的最小值为xyOC【解题回顾】在上面例1及几个变试题的解题过程中，我们可以总结一句“万变不离其宗”，一般地，求“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，“圆心到直线的距离加半径”即为最大距离，这一结论在解题时可直接应用另：和切线段有关的问题常利用“连接圆心和切点，构造直销三角形“进行求解也即将“ 两个动点的问题转化为一个动点的问题”如下例例2已知圆C：，从圆C外一点向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PM=PO,求使得PM取得最小值的点P坐标【分析】本题中，由于点P和点M均在动，故直接做很难求解联系到PM是切线段，因此可利用将条件PM=PO转化为只含有一个变量P的式子即可求解解：由题意，令，即，化简得：PM=PO，即求直线到原点O(0,0)的最小距离，易得PM的最小值为.类型二：利用圆的参数方程转化为三角函数求最值例3若实数x、y满足，求x-2y的最大值【分析】本题是典型的用圆的参数方程解决的题型，利用圆的参数方程将所求式转化为三角函数求最值，利用辅助角公式即得最大值解：，令，则（其中）当时，故x-2y的最大值为0xyOC【解题回顾】和圆有关的一次式的求解，利用圆的参数方程可以比较方便的求到最值类型三：抓住所求式的几何意义转化为线性规划问题求最值若所求式子具有较明显的几何意义，可以转化为线性规划问题求最值比如例2，除了用圆的参数方程求解，还可以联想到在线性规划问题中，这类题通常转化为直线方程的纵截距求解解法二：令,则，由题意，当直线的纵截距最小时，最大，此时直线和圆相切，故圆心到直线的距离 ，故，由题意，即x-2y的最大值为0除了转化为直线的截距求解，还有一些式子具有明显的几何意义，比如斜率、两点间距离、点到直线的距离等比如在上例中，改为求，的取值范围，则可以分别用如下方法求解：对，转化为圆上任意一点P到点连线斜率的最大值，可设过点的直线为，直线和圆相切时，即圆心到直线的距离 ，可得，故对，转化为圆上任意一点P到点距离的平方的取值范围，由例1易得，即对，联想到点到直线的距离公式中有类似的元素可将问题转化为圆上任意一点P到直线的距离的问题，易得，圆心到直线的距离为，故圆上任一点P(x,y)到直线的距离，即.【解题回顾】当所求式子含有明显的几何意义时，注意联系线性规划，用线性规划的思路求解可将问题简单化和直观化类型四：向函数问题转化平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想有些问题，单纯利用圆的几何性质无法求解此时应考虑如何利用代数思想将问题转化为函数问题PABO例4（ 2010年高考全国卷I理科11）已知圆O：，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，则的最小值为 【分析】本题中，由于A、B都是动点，故将转化为坐标形式较难求解此时考虑到向量数量积的定义，令，而切线段PA=PB也可用表示，故所求式可转化为关于的三角函数求解解：令，令，则（当且仅当，即时取等号）【解题回顾】本题以向量定义为载体，巧妙地利用了设角为变量，将与圆有关的问题转化为三角函数的问题求解将几何问题代数化，利用函数思想求解同时运用了换元思想，基本不等式思想等解题方法，是一道综合题类型五：向基本不等式问题转化CAEFGHxyOMN例5已知圆C：， 过点做两条互相垂直的直线，交圆C与E、F两点，交圆C与G、H两点，（1）EF+GH的最大值(2) 求四边形EGFH面积的最大值【分析】由于EF和GH都是圆的弦长，因此可利用将EF+GH转化，难点是转化后要利用基本不等式的相关知识点解：（1）令圆心C到弦EF的距离为，到弦GH的距离为，则EF+GH，又，由：（当且仅当取等号）故EF+GH（2），（当且仅当取等号）【解题回顾】本题（1）是利用，（2）是利用基本不等式是求最值的基本方法在利用基本不等式求最值时应注意如何构造“定量” 由于圆的对称性，在与圆有关的最值问题中，