暑期班第11讲.平面向量的概念、线性运算与基本定理.学生版

2010 年 暑假 高一数学 第 11 讲 A 学生版 page 1 of 14 第第 1111 讲讲 平面向量的概念 线性运算 与基本定理 高考要求 平面向量平面向量的相关概念B 向量加法与减法C 向量的数乘C 向量的线性运算 两个向量共线B 平面向量的基本定理A 平面向量的正交分解及其坐标表示B 用坐标表示平面向量的加法 减法与数乘运 算 C 平面向量的基本 定理及坐标表示 用坐标表示的平面向量共线的条件C 数量积C 数量积的坐标表示C 用数量积表示两个向量的夹角B 平面向量的数量 积 用数量积判断两个平面向量的垂直关系C 平面向量 向量的应用用向量方法解决简单的问题B 1 理解平面向量和向量相等的含义 理解向量的几何表示 2 掌握向量加 减法的运算 并理解其几何意义 掌握向量数乘的运算 并理解其几何意义 以及两个向 量共线的条件 3 了解向量的线形运算性质及其几何意义 4 了解平面向量的基本定理及其几何意义 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 会用坐标表示平面向 量的加 减与数乘向量运算 会用坐标表示平面向量共线的条件 5 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 知道平面向量数量积与向量投影的关系 6 掌握数量积的坐标表达式 会进行平面向量数量积的坐标运算 能运用数量积表示两个向量的夹角 会 用数量积判断两个平面向量的垂直关系 2010 年 暑假 高一数学 第 11 讲 A 学生版 page 2 of 14 知识精讲 板块一 向量的线性运算 一 知识内容 向量的加法 减法和数乘向量的综合运算 通常叫做向量的线性运算 1 向量的概念 向量的概念 在高中阶段 我们把具有大小和方向的量称为向量 有些向量不仅有大小和方向 而且还有作用点 例如 力就是既有大小和方向 又有作用点的向 量 有些量只有大小和方向 而无特定的位置 例如 位移 速度等 通常把后一类向量叫做自由向 量 高中阶段学习的主要是自由向量 以后我们说到向量 如无特别说明 指的都是自由向量 是可 以任意平行移动的 向量不同于数量 数量之间可以进行各种代数运算 可以比较大小 两个向量不 能比较大小 B A P O E D C BA O H G F E D C B A 2010 年 暑假 高一数学 第 11 讲 A 学生版 page 3 of 14 向量的表示 几何表示法 用有向线段表示向量 有向线段的方向表示向量 的方向 线段的长度表示向量的长度 字母表示法 注意起点在前 AB 终点在后 相等向量 同向且等长的有向线段表示同一向量 或相等向量 向量共线或平行 通过有向线段的直线 叫做向量的基线 如果向量的基线互相平行或AB AB 重合 则称这些向量共线或平行 向量平行于向量 记作 a b a b 说明 共线向量的方向相同或相反 注意 这里说向量平行 包含向量基线重合的情形 与两条直线平行的概念有点不同 事实上 在高等 数学中 重合直线是平行直线的特殊情形 零向量 长度等于零的向量 叫做零向量 记作 零向量的方向不确定 零向量与任意0 向量平行 用向量表示点的位置 任给一定点和向量 过点作有向线段 则点相对于点Oa OOAa A 位置被向量所唯一确定 这时向量又常叫做点相对于点的位置向量 Oa OA AO 2 向量的加法 a b a b b aa b b a b a a b D C B A C O B A a b b c c b a a b c 向量加法的三角形法则 已知向量 在平面上任取一点 作 再作向量 则向量叫做和 a b AABa BCb AC AC a 的和 或和向量 记作 即 b ab abABBCAC 向量求和的平行四边形法则 已知两个不共线的向量 作 则 三点不共线 以 a b ABa ADb ABDAB 为邻边作平行四边形 则对角线上的向量 这个法则叫做向量求和的平行四AD ABCDACab 边形法则 向量的运算性质 向量加法的交换律 abba 向量加法的结合律 abcabc 关于 0 00aaa 向量求和的多边形法则 2010 年 暑假 高一数学 第 11 讲 A 学生版 page 4 of 14 已知个向量 依次把这个向量首尾相连 以第一个向量的始点为始点 第个向量的终点为终nnn 点的向量叫做这个向量的和向量 这个法则叫做向量求和的多边形法则 n 3 向量的减法 d c b a a b c d b a c d a b b a B A O 相反向量 与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量 记作 a a a 零向量的相反向量仍是零向量 差向量定义 如果把两个向量的始点放在一起 则这两个向量的差是以减向量的终点为始点 被减向量的终点为终点的向量 推论 一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量BA OOA O 或简记 终点向量减始点向量 OB 一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量 4 数乘向量 定义 实数和向量的乘积是一个向量 记作 且的长 a a a aa 判断正误 已知 R abab aaa aa abab 5 向量共线的条件 平行向量基本定理 如果 则 反之 如果 且 则一定存在唯一的ab a b a b 0b 一个实数 使 ab 单位向量 给定一个非零向量 与同方向且长度等于 的向量 叫做向量的单位向量 如a a 1a 果的单位向量记作 由数乘向量的定义可知或 a 0 a 0 aa a 0 a a a 二 典例分析 例例 1 已知的两条对角线交于点 设 用向量和表示向量 ABCD OABa ADb a b BD AO 已知的两条对角线交于点 设对角线 用 表示 ABCD OAC a BD b a b BC AB 2010 年 暑假 高一数学 第 11 讲 A 学生版 page 5 of 14 例例 2 设是正六边形的中心 若 试用向量 表示 POABCDEOAa OEb a b OB OC OD 例例 3 如图 分别是的边 的靠近的三等分点 MNABC ABACA 求证 且 1 3 MNBC MNBC 例例 4 已知 则 3 2 2 4 0mamamab m 已知 方向相同 且 则 a b 3a 7b 2ab 例例 5 已知矩形中 宽为 长为 试作出向量 并求ABCD22 3AB a BCb ACc abc 其长度 C B N M A 2010 年 暑假 高一数学 第 11 讲 A 学生版 page 6 of 14 例例 6 下列命题中正确的有 四边形是平行四边形当且仅当 ABCDABDC 向量与是两平行向量 AB BA 向量与是共线向量 则 四点必在同一直线上 AB CD ABCD 单位向量不一定都相等 与共线 与共线 则与也共线 a b b c a c 平行向量的方向一定相同 例例 7 如图所示 是的 个等分点 以 及这个点中任意两 1 A 2 A 3 A 8 AOA8 1 A 2 A 8 AO9 个为起始点和终点的向量中 模等于半径倍的向量有多少个 2 例例 8 第 14 届 希望杯 全国数学邀请赛 已知正六边形 在下列表达式 ABCDEF 中 与等价的有 BCCDEC 2BCDC FEED 2EDFA AC A 个 B 个 C 个 D 个1234 A8 O A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 2010 年 暑假 高一数学 第 11 讲 A 学生版 page 7 of 14 例例 9 设是不共线的向量 已知向量 若三点共线 12 e e 121212 2 3 2ABeke CBee CDee ABD 求的值 k 例例 10 设 为非零向量 其中任意两个向量不共线 已知与共线 且与共线 a b c ab c bc a 则 bac 例例 11 证明 若向量的终点共线 当且仅当存在实数 OA OB OC ABC 满足等式 使得 1 OCOBOA 例例 12 2007 年江西 如图 在中 点是的中点 过点的直线分别交直ABC OBCO线 于不同的两点 若 则ABACMN ABmAM ACnAN mn 的值为 O N M C B A O C B A 2010 年 暑假 高一数学 第 11 讲 A 学生版 page 8 of 14 例例 13 2008 年全国 在中 若点满足 则 ABC ABc ACb D2BDDC AD A B C D 21 33 bc 52 33 cb 21 33 bc 12 33 bc 2009 安徽高考卷 在平行四边形中 和分别是边和的中点 若 其中 ABCDEFCDBCACAEAF 则 R 例例 14 在平行四边形中 和分别是边和的点 且 ABCDEFCDBC 1 BFa FCa 1 DEb ECb 若 其中 则 ACAEAF R 例例 15 2008 湖南 设 分别是的三边 上的点 且DEFABC BCCAAB 则与 2 DCBD 2 CEEA 2 AFFB ADBECF BC A 反向平行B 同向平行 C 互相垂直D 既不平行也不垂直 2010 年 暑假 高一数学 第 11 讲 A 学生版 page 9 of 14 板块二 向量的分解与基本定理 一 知识内容 1 平面向量基本定理 如果和是一平面内的两个不平行的向量 那么该平面内的任一向量 1 e 2 e a 存在唯一的一对实数 使 1 a 2 aa 1 122 a ea e 2 基底 我们把不共线向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 记作 1 e 2 e 12 e e 叫做向量关于基底的分解式 1 122 a ea e a 12 e e 说明 定理中 是两个不共线向量 1 e 2 e 是平面内的任一向量 且实数对 是惟一的 a 1 a 2 a 平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底 平面向量基本定理的证明 在平面内任取一点 作 O 11 OEe 22 OEe OAa 由于与不平行 可以进行如下作图 1 e 2 e 过点作的平行 或重合 直线 交直线于点 A 2 OE 1 OEM 过点作的平行 或重合 直线 交直线于点 A 1 OE 2 OEN 于是依据平行向量基本定理 存在两个唯一的实数和 1 a 2 a 分别有 所以 1 1 OMa e 22 ONa e 1 122 aOAOMONa ea e 证明表示的唯一性 如果存在另对实数 使 则 xy 12 OAxeye 1 12212 a ea exeye 即 由于与不平行 如果与中有一个不等于 1122 0 xa eya e 1 e 2 e 1 xa 2 ya 0 不妨设 则 2 0ya 1 21 2 xa ee ya 由平行向量基本定理 得与平行 这与假设矛 1 e 2 e 盾 因此 即 1 0 xa 2 0ya 1 xa 2 ya 证明 三点共线或点在线上的方法 ABP 已知 是直线 上的任意两点 是 外一点 则对直线 上任意一点 存在实数 使ABlOllPt 关于基底的分解式为 并且满足 式的点一定OP OA OB 1 OPt OAtOB P 在 上 l 证明 设点在直线 上 则由平行向量定理知 存在实数Pl 使 tAPtAB t OBOA 1 OPOAAPOAtOBtOAt OAtOB E2 E1 e2 e1O A N M P M B A O l 2010 年 暑假 高一数学 第 11 讲 A 学生版 page 10 of 14 设点满足等式 则 即在P 1 OPt OAtOB APtAB P 上 l 其中 式可称为直线 的向量参数方程式 当时 l 1 2 t 点是的中点 则 这是向量的中点的向量表达式 可推广到MAB 1 2 OMOAOB AB 中 若为边中点 则有存在 OAB MAB 1 2 OMOAOB 二 典例分析 例例 16 已知的两条对角线与交 是任意一点 ABCD ACBDEO 求证 OA OB OC OD 4OE 例例 17 如图 已知的面积为 分别为边 上的点 且ABC 2 14cmDEABBC 交于点 求的面积 2 1AD DBDE CE AECDPAPC 例例 18 如图 平行四边形中 分别是的中点 为的交点 若ABCDEF BCDC GDEBF 试以 为基底表示 AB a AD b a b DE BF CG P E D C BA G F E D C B A 2010 年 暑假 高一数学 第 11 讲 A 学生版 page 11 of 14 例例 19 证明对角线互相平分的四边形是平行四边形 例例 20 已知五边形 分别是边 的中点 分别ABCDEMNPQABCDBCDEKH 是和的中点 求证 平行且等于 MNPQKH 1 4 AE 例例 21 四边形中 分别为 的中点 为的中点 ABCDEFMNBCADBDACOMN 试用向量的方法证明 也是的中点 OEF E D C B A M N P Q K H 2010 年 暑假 高一数学 第 11 讲 A 学生版 page 12 of 14 60 45 E D B C A 例例 22 2008 年广东高考 在平行四边形中 与交于点是线段的中点 的延长线与交于ABCDACBDOE ODAECD 点 若 则 FACa BDb AF A B 11 42 ab 21 33 ab C D 11 24 ab 12 33 ab 2009 年湖南高考 如图 两块斜边长相等的直角三角板拼在一起 若 则 ADxAByAC x y 例例 23 2009 年天津高考改编 若等边的边长为 平面内一点