河南省郑州市2017届高中毕业年级第二次质量预测(理数)

1 河南省郑州市河南省郑州市 2017 届高中毕业年级第二次质量预测届高中毕业年级第二次质量预测 数学 理科 数学 理科 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 考试时间 120 分钟 满分 150 分 考生应首先阅读答题卡上的文字信息 然后在答题卡上作答 在试题卷上作答无 效 交卷时只交答题卡 第第 卷 选择题卷 选择题 共共 60 分 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 个小题个小题 每小题每小题 5 分分 共共 60 分分 在每小题给出的四个选项中 只有在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 已知复数 则集合中元素的个数是 n f ninN z zf n A 4B 3C 2D 无数 2 设 则 0 5 3x 3 log 2y cos2z A B C D zxy yzx zyx xzy 3 要计算的结果 下面程序框图中的判断框内可以填 111 1 232017 A B C D 2017n 2017n 2017n 2017n 4 某几何体的三视图如图所示 其中俯视图为扇形 则该几何体的体积为 A B 16 3 3 C D 2 9 16 9 5 下列命题是真命题的是 A 函数都不是偶函数R sin 2 f xx B 使 R cos coscos C 向量 则在方向上的投影为 2 1 2 a 0 1 bab D 是 的既不充分又不必要条件 1x 1x 6 在区间上任取实数 在区间上任取实数 使函数 1 ea 0 2b 有两个相异零点的概率是 2 1 4 f xaxxb 2 A B C D 1 2 1 e 1 4 1 e 1 8 1 e 1 16 1 e 7 已知数列满足 为数列的前 n a 11nnn aaa 2n 1 am 2 an n S n a 项和 则的值为 n 2017 S A B C D 2017nm 2017nm mn 8 已知实数 满足则的最小值是 xy 2 6 1 yx xy x 2 2 zxy A B C D 6543 9 已知空间四边形 满足 则ABCD 3AB 7BC 11CD 9DA 的值 AC BD A B C D 1 0 21 2 33 2 10 将数字 124467 重新排列后得到不同的偶数个数为 A 72B 120C 192D 240 11 已知为双曲线上任一点 过点向双曲线的两条渐进线分别作垂线 垂P 2 2 1 4 y x P 足分别为 则的值为 AB PAPB A 4B 5C D 与点的位置有关 4 5 P 12 已知函数 如果当时 若函数的图象恒在直线的 sin 2cos x f x x 0 x f xykx 下方 则的取值范围是 k A B 3 1 C D 3 3 3 1 3 3 3 3 3 3 第第 卷 非选择题卷 非选择题 共共 90 分 分 本卷包括必考题和选考题两部分 第本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 题为选考题 考生根据要求作答 二 填空题 每题二 填空题 每题 5 分 满分分 满分 20 分 将答案填在答题纸上 分 将答案填在答题纸上 13 正方体的八个顶点中 有四个恰好为一个正四面体的顶点 则正方体的表面积与正四 面体的表面积之比为 14 已知幂函数的图象过点 则的展开式中的系数为 yx 3 9 8 a x x x 3 15 过点作直线与抛物线相交于 两点 且 则点 1 0 P 2 8yx AB2 PAAB 到该抛物线焦点的距离为 B 16 等腰中 为边上的中线 且 则的面积ABC ABAC BDAC3BD ABC 最大值为 三 解答题三 解答题 本大题共 本大题共 6 小题 共小题 共 70 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知数列前项和为 且满足 n an n S 1 2a 1 1 1 2 nn San nN 求数列的通项公式 n a 若 设数列前项和为 求证 3 log 1 nn ba 2 1 nnb b n n T 3 4 n T 18 本小题满分 12 分 如图 三棱柱中 各棱长均相等 分别为棱 111 ABCABC DEFABBC 的中点 11 AC 证明 平面 EF 1 ACD 若三棱柱为直棱柱 求直线 111 ABCABC BC 与平面所成角的正弦值 1 ACD 19 本小题满分 12 分 某食品公司研发生产一种新的零售食品 从产品中抽取 100 件作为样本 测量这些产品 的一项质量指标值 由测量结果得到如图频率分布直方图 求直方图中的值 a 由频率分布直方图可以认为 这种产品的质量指标值服从正态分布Z 试计算数据落在上的概率 2 200 12 2 N 187 8 212 2 参考数据 若 则 2 ZN 0 6826PZ 22 0 9544PZ 4 设生产成本为 质量指标为 生产成本与质量指标之间满足函数关系yx 假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替 试计算生产 0 4 205 0 880 205 x x y xx 该食品的平均成本 5 20 本小题满分 12 分 已知椭圆 以椭圆内一点为中点作弦 设线段的 22 2xym 0m 2 1 MABAB 中垂线与椭圆相交于 两点 CD 求椭圆的离心率 试判断是否存在这样的 使得 在同一个圆上 并说明理由 mABCD 21 本小题满分 12 分 已知函数 lnf xxxx 2 2 a g xxax aR 若和在有相同的单调区间 求的取值范围 f x g x 0 a 令 若在定义域内有两个不同的极值点 h xf xg xax aR h x i 求的取值范围 a ii 设两个极值点分别为 证明 1 x 2 x 2 12 xxe 请考生在请考生在 22 23 两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 22 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知直线 的极坐标方程是 以极点为平面直角坐标系的原点 极轴为lsin 0 3 轴的正半轴 建立平面直角坐标系 曲线的参数方程是 为参数 xC 2cos 22sin x y 求直线 被曲线截得的弦长 lC 从极点作曲线的弦 求各弦中点轨迹的极坐标方程 C 23 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 21 f xx g xxa 当时 解不等式 0a f xg x 若存在 使成立 求实数的取值范围 xR f xg x a 6 E F D C1 A1 A B1 B C G 数学 理科 参考答案数学 理科 参考答案 一 选择题一 选择题 1 A 2 C 3 B 4 D 5 B 6 A 7 C 8 C 9 B 10 D 11 C 12 B 二 填空题二 填空题 13 14 112 15 5 16 6 3 1 三 解答题三 解答题 17 由 得 1 2a 1 1 1 N 2 nn Sann 1 1 2 2 nn San n 两式相减得 3 分 1 32 nn aa 由得到 又 1 32 nn aa 1 3 1 1 nn aa 1 130 a 所以为以 3 为首项以 3 为公比的等比数列 1 n a 1 1 3 33 nn n a 故 6 分31 n n a 9 分 33 log 1 log 3n nn ban 2 111 11 2 22 nn b bn nnn 12 分 1111111111 1 232435112 11113233 1 221242 1 2 4 n T nnnn n nnnn 18 证明 在三棱柱中 且 111 ABCABC 11 AC AC 11 AC AC 连结 在中 因为 D E 分别为棱 AB BC 的中点 所以 EDABC 1 2 DE AC DEAC 又为的中点 可得 所以 2 分F 11 AC 111 1 2 AFAC 11 AF DE AFDE 因此四边形为平行四边形 所以 1 AFED 1 EF AC 又 111 EFACDDAACD 平面 平面 所以 4 分 1 EFACD平面 证明 由于底面 ABC 是正三角形 为的中点 所以 DABCDAB 又 又 所以 1 AACD 1 AAABA 6 分 11 CDA ABB 平面 在平面内 过点作 交直线 11 A ABBB 1 BGAD 于 连结 1 ADGCG 由此得 为直线与 1 BGACD 平面BCG BC 所成的角 1 ACD平面 设三棱柱的棱长为 可得 由a 1 5 2 a AD 1 A AD x y z O 7 所以 BGD 5 5 a BG 在中 Rt BGC 5 sin 5 BG BGC BC 所以直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值为 12 分 5 5 19 解析 I 4 分0 033 a II 由 I 知 从而 2 200 12 2 ZN 6 分 187 8212 2 200 12 2200 12 2 0 6826 PZPZ 由题设条件及食品的质量指标的频率分布直方图 得食品生产成本分组与频率分布表如下 组号1234567 分组 66 70 70 74 74 78 78 82 82 92 92 100 100 108 频率0 020 090 220 330 240 080 02 9 分 根据题意 生产该食品的平均成本为 70 0 0274 0 0978 0 2282 0 3392 0 24 100 0 08 108 0 0284 52 12 分 20 解析 将椭圆化成标准方程 3 分 22 1 0 2 xy m m m 2 2 e 由题意 设 直线的斜率存在 设 1122 A x yB xy 3344 C xyD xyAB 为 联立AB 2 1yk x 22 2 0 xym m 得 222 12 4 12 2 21 0 0 kxkk xkmm 此时由得 6 分 12 2 4 21 4 1 12 kk xxk k 0 A6 m 则为 则为 8 分AB30 xy CD10 xy 8 则得故的中点为 22 10 2 xy xym 2 3210yym 34 2 3 yy CDN 21 33 由弦长公式可得到 2 12 12 6 1 2 3 m ABkxx 若存在圆 则圆心在上 2 34 128 1 1 2 3 m CDyyAB AB 的中点到直线的距离为 10 分CDNAB 4 2 3 2222 4 2 64 329 ABm NANB 又 22 112864 2 2439 CDmm 存在这样的 使的在同一个圆上 12 分6m A B C D 21 解 函数 f x的定义域为 0 ln f xxxx ln fxx 当时 当时 1x 0fx 01x 0fx 所以 在上单调递减 在上单调递增 2 分 f x 0 1 1 若在上单调递减 在上单调递增 22 2 22 aa g xxaxx aR 0 1 1 则 4 分0 a 依题意 函数的定义域为 0 h x ln h xxax 所以方程在 0 有两个不同根 0h x 即 方程ln0 xax 在 0 有两个不同根 5 分 转化为 函数 lnyx 与函数 yax 的图像在 0 上有两个不同交点 如图 可见 若令过原点且切于函数 lnyx 图像的直线斜率为k 只须0 ak 6 分 令切点 00 A ln xx 所以 0 0 1 x xky x 又 0 0 ln x k x 所以 0 00 ln1x xx 解得 0 xe 于是 1 k e 所以 1 0a e 8 分 由 i 可知 12 x x 分别是方程ln 0 xax 的两个根 x y o 1 y lnx y ax A 9 即 11 ln xax 22 ln xax 不妨设 作差得 1 12 2 ln x a xx x 即 1 2 12 ln x x a xx 12 xx 原不等式等价于 2 12 xxe 12 1 1212 212 2 lnln22ln xxx xxa xx xxx 令 则 10 分 1 2 x t x 1t 12 1 212 221 lnln 1 xxtx t xxxt 设 21 ln 1 1 t F ttt t 2 2 1 0 1 t Ft t t 函数在上单调递增 即不等式成 F t 1 10F tF 21 ln 1 t t t 立 故所证不等式成立 12 分 2 12 xxe 22 解 直线的直角坐标方程是