上海市浦东新区2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(解析版)

2015-2016学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共36分，共有12题，每题3分）1数1与9的等差中项是_2若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是_3行列式中元素8的代数余子式的值为_4若向量=（1，2），=（1，3），=3，则向量的单位向量=_5等差数列an中，a1=1，a3=3，an=9，则n=_6已知向量=（1，2），=（1+x，x），且，则x的值为_7已知=，若实数满足=，则的值为_8一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输出的结果为_9关于x的方程=0的解为_10若无穷等比数列an的各项和为3，则首项a1的取值范围为_11已知正方形ABCD的边长为1，M是正方形ABCD四边上或内部的动点，则的取值范围是_12定义=（nN*）为向量=（xn，yn）到向量=（xn+1，yn+1）的一个矩阵变换，设向量=（cos，sin），O为坐标原点，则|=_二、选择题(本大题满分12分，共4题，每题3分)13用数学归纳法证明“1+a+a2+an+1=”时，在验证n=1成立时，左边应该是（）A1+a+a2B1+a+a2+a3C1+aD114下列命题正确的是（）A若（anbn）=a0，则an0且bn0B若（anbn）=0，则an=0或bn=0C若无穷数列an有极限，且它的前n项和为Sn，则=a1+a2+anD若无穷数列an有极限，则an=an+115如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（）A +=+B +=+C +=+D +=+16设Sn为等差数列an的前n项和，若已知S6S7，S7S8，则下列叙述中正确的个数有（）S7是所有Sn（nN*）中的最大值；a7是所有an（nN*）中的最大值；公差d一定小于0；S9一定小于S6A1个B2个C3个D4个三、解答题17已知，x，y的方程组（1）求D，Dx，Dy；（2）当实数m为何值时方程组无解；（3）当实数m为何值时方程组有解，并求出方程组的解18已知等比数列an的首项为1，公比为q（0q1），它的前n项和为Sn，且Tn=，求Tn的值19已知向量=（1，7），=（5，1），=（2，1）（其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点（1）若，求的坐标；（2）当取最小值时，求cosAPB的值20已知无穷等数列an中，首项a1=1000，公比q=，数列bn满足bn=（lga1+lga2+lgan）（1）求数列bn的通项公式；（2）求数列bn的前n项和的最大值21设数列an的前n项和为Sn，已知Sn+1=pSn+q（nN*，p，q为常数），a1=2，a2=1，a3=q3p（1）求p，q的值；（2）求数列an的通项公式；（3）记集合M=n|，nN*，若M中仅有3个元素，求实数的取值范围2015-2016学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共36分，共有12题，每题3分）1数1与9的等差中项是5【考点】等差数列的通项公式【分析】由等差中项的定义可得2a=1+9，解之可得【解答】解：解：设1与9两数的等差中项为a，则可得2a=1+9，解得a=5，故答案为：52若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是【考点】二元一次方程组的矩阵形式【分析】首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程解出x，y，即可【解答】解：由二元线性方程组的增广矩阵为可得到二元线性方程组的表达式故答案为3行列式中元素8的代数余子式的值为1【考点】三阶矩阵【分析】由代数余子式的定义A12=1即可求得答案【解答】解：设A=，元素8的代数余子式A12=1；故答案为：14若向量=（1，2），=（1，3），=3，则向量的单位向量=（，）或（，）【考点】平面向量的坐标运算【分析】利用平面向量坐标运算公式求解【解答】解：向量=（1，2），=（1，3），=3，=（3，6）（1，3）=（4，3），向量的单位向量=（，）故答案为：（，）或（，）5等差数列an中，a1=1，a3=3，an=9，则n=6【考点】等差数列的通项公式【分析】根据等差数列的通项公式先求出d，然后在利用等差数列的通项公式求解即可【解答】解：等差数列an中，a1=1，a3=3，a3=1+2d=3，d=2，an=9=1+（n1）2，解得n=6，故答案为66已知向量=（1，2），=（1+x，x），且，则x的值为【考点】平面向量数量积的运算【分析】由，可得=0，即可得出【解答】解：，=（1+x）+2x=1+3x=0，解得x=，故答案为：7已知=，若实数满足=，则的值为3【考点】向量的线性运算性质及几何意义【分析】根据向量关系作出平面图形，由线段长度比值可得出答案【解答】解：=，P，P1，P2三点共线，且P2在线段P1P的反向延长线上，P2P1=P2P，=3，故答案为：38一个算法的程序框图如图所示，则该算法运行后输出的结果为1320【考点】程序框图【分析】框图首先先给i赋值12，给s赋值1，然后判断判断框中的条件是否满足，满足则执行s=si，i=i1，不满足则跳出循环输出s的值【解答】解：框图首先给i赋值12，给s赋值1判断1210成立，执行s=112=12，i=121=11；判断1110成立，执行s=1211=132，i=111=10判断1010成立，执行s=13210=1320，i=101=9；判断910不成立，跳出循环，输出s的值为1320故答案为：13209关于x的方程=0的解为x=2或x=3【考点】三阶矩阵【分析】将行列式展开，整理得=x25x+6，由x25x+6=0，即可求得x的值【解答】解： =129+x41+13x221x219x134=x25x+6，x25x+6=0，解得：x=2或x=3，故答案为：x=2或x=310若无穷等比数列an的各项和为3，则首项a1的取值范围为（0，3）（3，6）【考点】数列的极限【分析】依题意知|q|1且q0，由Sn=3q=1（1，1），从而可求得a1的取值范围【解答】解：设等比数列的公比为q，依题意知|q|1且q0，Sn=，Sn=3，可得q=1（1，1），即111且10，解得0a13或3a16故答案为：（0，3）（3，6）11已知正方形ABCD的边长为1，M是正方形ABCD四边上或内部的动点，则的取值范围是0，1【考点】平面向量数量积的运算【分析】如图所示，由数量积的意义可得：当点M位于边AD时， 取得最小值；当点M位于边BC时， 取得最大值即可得出【解答】解：如图所示，由数量积的意义可得：当点M位于边AD时， 取得最小值0；当点M位于边BC时， 取得最大值：1的取值范围是0，1故答案为：0，112定义=（nN*）为向量=（xn，yn）到向量=（xn+1，yn+1）的一个矩阵变换，设向量=（cos，sin），O为坐标原点，则|=（）n1【考点】几种特殊的矩阵变换【分析】由题意可知，分别求得|，代入求得=（cosxsinx，cosx+sinx），及|，进而求得，及|，|，|，即可求得|=（）n1【解答】解：由=，当n=1， =（cos，sin），|=cos2+sin2=1=（）0，=（cosxsinx，cosx+sinx），|=（），=2（sinx，cosx），|=2=（）2，=2（sinxcosx，sinxcosx），|=2=2=（）3，=4（sinx，cosx），|=4=4=（）4，|=（）n1，故答案为：（）n1二、选择题(本大题满分12分，共4题，每题3分)13用数学归纳法证明“1+a+a2+an+1=”时，在验证n=1成立时，左边应该是（）A1+a+a2B1+a+a2+a3C1+aD1【考点】数学归纳法【分析】在验证n=1时，左端计算所得的项只需把n=1代入等式左边即可得到答案【解答】解：用数学归纳法证明“1+a+a2+an+1=”，在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2故选：A14下列命题正确的是（）A若（anbn）=a0，则an0且bn0B若（anbn）=0，则an=0或bn=0C若无穷数列an有极限，且它的前n项和为Sn，则=a1+a2+anD若无穷数列an有极限，则an=an+1【考点】数列的极限【分析】对于A，可举an=n，bn=，由数列极限的公式即可判断；对于B，可举an=n，bn=，运用数列极限的公式即可判断；对于C，可举an=（）n1，Sn=，求出极限即可判断；对于D，可举an=，求出极限，结合n，n+1趋向于无穷，即可判断【解答】解：对于A，若（anbn）=a0，可举an=n，bn=，即有an不存在， =0，故A错；对于B，若（anbn）=0，可举an=n，bn=，则an不存在， bn=0，故B错；对于C，若无穷数列an有极限，且它的前n项和为Sn，可举an=（）n1，Sn=，即有an=0， Sn=2，显然=a1+a2+an不成立，故C错；对于D，若无穷数列an有极限，可举an=， =0，显然=0，故D正确故选：D15如图，A，B，C，D是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（）A +=+B +=+C +=+D +=+【考点】向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义【分析】用不同的方法表示出同一向量，然后对式子进行化简验证【解答】解：=，故选：B16设Sn为等差数列an的前n项和，若已知S6S7，S7S8，则下列叙述中正确的个数有（）S7是所有Sn（nN*）中的最大值；a7是所有an（nN*）中的最大值；公差d一定小于0；S9一定小于S6A1个B2个C3个D4个【考点】数列的函数特性【分析】利用等差数列的性质求解【解答】解：a70，a80，S7最大，故正确；d0，a1最大，故错误；由s6s7，S7S8可得S7S6=a70，S8S7=a80a8a7=d0，故正确；S9S6=a7+a8+a9=3a80，故正确故选：C三、解答题17已知，x，y的方程组（1）求D，Dx，Dy；（2）当实数m为何值时方程组无解；（3）当实数m为何值时方程组有解，并求出方程组的解【考点】线性方程组解的存在性，唯一性【分析】（1）根据方程组得解法求得D=m4，Dx=2，Dy=m2；（2）由线性方程组解得存在性，当丨A丨=0时，方程组无解；根据行列式的展开，求得m的值；（3）由当0，方程组有唯一解，由（1）即可求得方程组的解【解答】解：（1）=，D=m4，Dx=2，Dy=m2 （2）由A=，当丨A丨=0，即=m4=0，解得：m=4，当m=4，方程组无解 （3）当0，解得：m4，方程组有唯一解，由，4解得：y=，代入求得x=，方程的解集为：18已知等比数列an的首项为1，公比为q（0q1），它的前n项和为Sn，且Tn=，求Tn的值【考点】数列的极限【分析】对q讨论，分q=1，0q1，运用等比数列的求和公式，以及数列极限的公式计算即可得到所求值【解答】解：（1）当；（2）当，由综上得19已知向量=（1，7），=（5，1），=（2，1）（其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点（1）若，求的坐标；（2）当取最小值时，求cosAPB的值【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算【分析】（1）点P是直线OC上的一个动点可设=（2x，x）利用向量坐标运算、向量共线定理，即可得出（2）利用数量积运算性质、二次函数的单调性、向量夹角公式即可得出【解答】解：（1）点P是直线OC上的一个动点可设=（2x，x），=（12x，7x），=（52x，1x），（12x）（1x）（7x）（52x）=0，解得x=（2），k=2时， 取的最小值8，此时，20已知无穷等数列an中，首项a1=1000，公比q=，数列bn满足bn=（lga1+lga2+lgan）（1）求数列bn的通项公式；（2）求数列bn的前n项和的最大值【考点】数列的求和【分析】（1）利用等比数列的通项公式可得an，再利用等差数列的前n项和公式即可得出（2）利用等差数列的前n项和公式及其二次函数的单调性即可得出【解答】解：（1）an=1000=104n，=，lgan=4n，（2）设数列bn的前n项之和为Tn，则=+，当n=6，7时，Tn取得最大值21设数列an的前n项和为Sn，已知Sn+1=pSn+q（nN*，p，q为常数），a1=2，a2=1，a3=q3p（1）求p，q的值；（2）求数列an的通项公式；（3）记集合M=n|，nN*，若M中仅有3个元素，求实数的取值范围【考点】数列递推式【分析】（1）