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第一单元 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念与运算一、选择题1若A、B、C为三个集合，ABBC，则一定有()A. AC BCA CAC DA 解析：AABBCC，则AC.答案：A2设D是正三角形P1P2P3及其内部的点构成的集合，点P0是P1P2P3的中心若集合SP|PD，|PP0|PPi|，i1,2,3，则集合S表示的平面区域是()A三角形区域 B四边形区域 C五边形区域 D六边形区域解析：|PP0|PPi|，点P在P0Pi的垂直平分线将平面分成的靠近P0的区域内，即点P在如下图六边形ABCDEF内(包括边界)，故选D. 答案：D3设A、B是两个非空集合，定义运算ABx|xAB，且xAB，已知Ax|y ，By|y2x，x0，则AB()A0,1(2，) B0,1)(2，) C0,1 D0,2解析：由2xx20解得0x2，则A0,2，By|y2x，x0(1，)AB0,1(2，)答案：A4满足条件M11,2,3的集合M的个数是()A1 B2 C3 D4解析：满足条件M11,2,3的集合M为2,3，1,2,3，共两个答案：B二、填空题5 设全集UZ，A1,3,5,7,9，B1,2,3,4,5,6，则下图中阴影部分表示的集合是_解析：图中阴影部分表示的集合是B(ZA)2,4,6答案：2,4,66(原创题)已知集合UR，Ax|x21，By|yx1，xA，则(UA)(UB)等于_解析：Ax|1x11,1，By|yx1，xA0，2，(UA)(UB)U(AB)(，1)(2，)答案：(，1)(2，)7某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有_人解析：由容斥原理知共有(261513)3618名同学同时参加两个小组，没有人参加三个小组，于是同时参加数学和化学小组的有18(64)8(人)答案：8三、解答题8设A2，1，x2x1，B2y，4，x4，C1,7，且ABC，求x、y的值解答：ABC1,7，必有7A,7B，1B.即有x2x17x2或x3.当x2时，x42，又2A，2AB，但2C，不满足ABC，x2不符合题意当x3时，x47，2y1y.因此，x3，y.9已知集合Ax|y , By|ya2xx2，若ABA，求实数a的取值范围解答：由152xx20，即(x5)(x3)0得5x3，A5,3又ya2xx2a1(x1)2a1，B(，a1，ABA即AB.a13.即a2.因此实数a的取值范围是2，)10设Ax|x24x0，Bx|x22(a1)xa210，BA，求实数a的取值范围解答：Ax|x24x00，4，因此A的子集分别为，0，4，0，4又BA，若B，4(a1)24(a21)4(2a2)0，解得a1；若B0，解得a1；若B4，无解；若B0，4，解得a1；综上所述，实数a的取值范围是a1或a1.1设集合A(x，y)|y|x2|，x0，B(x，y)|yxb，AB.(1)b的取值范围是_；(2)若(x，y)AB，且x2y的最大值为9，则b的值是_解析：(1)如下图所示，AB为图中阴影部分，若AB，则b2；(2)若(x，y)AB，且x2y的最大值为9，x2y在(0，b)处取得最大值，2b9，b.答案：(1)b2(2)2(2009北京)已知数集Aa1，a2，an(1a1a2an，n2)具有性质P：对任意的i，j(1ijn)，aiaj与两数中至少有一个属于A.(1)分别判断数集1,3,4与1,2,3,6是否具有性质P，并说明理由；(2)证明：a11，且an；(3)证明：当n5时，a1，a2，a3，a4，a5成等比数列解答：(1)由于34与均不属于数集1,3,4，所以该数集不具有性质P.由于12,13,16,23，都属于数集1,2,3,6，所以该数集具有性质P.(2)证明：因为Aa1，a2，an具有性质P，所以anan与中至少有一个属于A.由于1a1a2an，所以ananan，故ananA.从而1A，因为1a1a2an，所以akanan，故akanA(k2,3，n)由A具有性质P可知A(k1,2,3，n)又因为，所以a1，a2，an1，an.从而a1a2an1an.故an.(3)证明：由(2)知，当n5时，有a2，a3，即a5a2a4a.