（江苏专用）2013高考数学总复习 （基础达标演练+综合创新备选）第十篇 圆锥曲线与方程《第61讲　直线与圆锥曲线》理（含解析） 苏教版

1 20132013 高考总复习江苏专用 理科 第十篇高考总复习江苏专用 理科 第十篇 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 第第 6161 讲讲 直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线 基础达标演练 基础达标演练 综合创新备选 含解析 综合创新备选 含解析 A 级 基础达标演练 时间 45 分钟 满分 80 分 一 填空题 每小题 5 分 共 35 分 1 已知直线y kx 1 与椭圆 1 a 0 相切 给出下列k a之间的关系 x2 4 y2 a 4a 4k2 1 4k2 a 1 a 4k2 1 a 4k2 1 其中正确的是 填序号 解析 由Error 得 4k2 a x2 8kx 4 1 a 0 直线与椭圆相切 0 即 64k2 4 4k2 a 4 a 1 0 a 4k2 1 答案 2 过点 0 1 作直线 使它与抛物线y2 4x仅有一个公共点 这样的直线有 条 解析 结合图形分析可知 满足题意的直线共有 3 条 直线x 0 过点 0 1 且平行于x 轴的直线以及过点 0 1 且与抛物线相切的直线 非直线x 0 答案 3 3 过抛物线y2 4x的焦点作直线交抛物线于点A x1 y1 B x2 y2 若AB 7 则AB 的中点M到抛物线准线的距离为 解析 由题知抛物线的焦点为 1 0 准线方程为x 1 由抛物线定义知 AB AF BF x1 x2 x1 x2 p 即x1 x2 2 7 得x1 x2 5 于是弦AB的中 p 2 p 2 点M的横坐标为 因此M到抛物线准线的距离为 1 5 2 5 2 7 2 答案 7 2 4 设双曲线 1 a 0 b 0 的一条渐近线与抛物线y x2 1 只有一个公共点 则 x2 a2 y2 b2 双曲线的离心率为 解析 双曲线 1 的一条渐近线为y x 由方程组Error 消去y得 x2 x 1 0 x2 a2 y2 b2 b a b a 2 有唯一解 所以 2 4 0 2 e b a b a c a a2 b2 a 1 b a 25 答案 5 5 若斜率为 1 的直线l与椭圆 y2 1 交于不同两点A B 则AB的最大值为 x2 4 解析 设直线l的方程为y x t 代入 y2 1 消去y得x2 2tx t2 1 0 由题意 x2 4 5 4 得 2t 2 5 t2 1 0 即t2 5 弦长AB 2 4 5 t2 5 4 10 5 答案 4 10 5 6 已知双曲线方程是x2 1 过定点P 2 1 作直线交双曲线于P1 P2两点 并使 y2 2 P 2 1 为P1P2的中点 则此直线方程是 解析 设点P1 x1 y1 P2 x2 y2 则由x 1 x 1 得k 2 1 y2 1 22 2 y2 2 2 y2 y1 x2 x1 4 从而所求方程为 4x y 7 0 将此直线方程与双曲线方程联立 2 x2 x1 y2 y1 2 4 2 得 14x2 56x 51 0 0 故此直线满足条件 答案 4x y 7 0 7 2011 苏州调研 已知抛物线C的顶点在坐标原点 焦点为F 0 1 直线l与抛物 线C相交于A B两点 若AB的中点为 2 2 则直线l的方程为 解析 由题意知 抛物线的方程为x2 4y 设A x1 y1 B x2 y2 且x1 x2 联立 方程得Error 两式相减得x x 4 y1 y2 2 12 2 1 y1 y2 x1 x2 x1 x2 4 直线l的方程为y 2 x 2 即y x 答案 x y 0 二 解答题 每小题 15 分 共 45 分 8 已知直线l的方程为x 2 且直线l与x轴交于点M 圆O x2 y2 1 与x轴交于 A B两点 1 过点M的直线l1交圆于P Q两点 且圆弧PQ恰为圆周的 求直线l1的方程 1 4 2 求以l为准线 中心在原点 且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程 解 1 由题意知 POQ 2 3 点O到直线l1的距离为 2 2 设l1的方程为y k x 2 k2 2k k2 1 2 2 1 7 l1的方程为y x 2 7 7 2 设椭圆方程为 1 a b 0 半焦距为c 则 2 x2 a2 y2 b2 a2 c 椭圆与圆O恰有两个不同的公共点 则a 1 或b 1 当a 1 时 c b2 a2 c2 1 2 3 4 则椭圆方程为x2 1 4y2 3 当b 1 时 c 1 a2 2 则椭圆方程为 y2 1 x2 2 故所求椭圆方程为x2 1 或 y2 1 4y2 3 x2 2 9 设A B分别为椭圆 1 a b 0 的左 右顶点 椭圆长半轴的长等于焦距 且 x2 a2 y2 b2 x 4 为它的右准线 1 求椭圆的方程 2 设P为右准线上不同于点 4 0 的任意一点 若直线AP BP分别与椭圆相交于异于 A B的点M N 证明 点B在以MN为直径的圆内 解 1 依题意得a 2c 4 解得a 2 c 1 从而b 故椭圆的方程为 a2 c3 1 x2 4 y2 3 2 由 1 得A 2 0 B 2 0 设M x0 y0 4 M点在椭圆上 y0 4 x 3 42 0 又点M异于顶点A B 2 x0 2 由P A M三点共线可以得P 4 6y0 x0 2 从而 x0 2 y0 BM BP 2 6y0 x0 2 2x0 4 x 4 3y BM BP 6y2 0 x0 2 2 x0 22 02 0 将 代入 化简得 2 x0 BM BP 5 2 2 x0 0 0 则 MBP为锐角 BM BP 从而 MBN为钝角 故点B在以MN为直径的圆内 10 2011 苏锡常镇调研 已知椭圆E 1 a b 0 的离心率为 且过点P 2 x2 a2 y2 b2 2 2 设椭圆的右准线l与x轴的交点为A 椭圆的上顶点为B 直线AB被以原点为圆心的 2 圆O所截得的弦长为 4 5 5 1 求椭圆E的方程及圆O的方程 2 若M是准线l上纵坐标为t的点 求证 存在一个异于M的点Q 对于圆O上任意一点 N 有为定值 且当M在直线l上运动时 点Q在一个定圆上 MN NQ 解 1 因为e 所以a c 因为a2 b2 c2 所以b c 2 2 c a2 因为 1 过点P 2 所以 1 解得a2 8 b2 c2 4 x2 a2 y2 b22 4 a2 2 b2 所以椭圆的方程为 1 x2 8 y2 4 因为A 4 0 B 0 2 所以直线AB的方程为y x 2 即x 2y 4 0 则O到AB的 1 2 距离d 4 5 5 所以圆O的半径r 2 4 5 2 1 2 4 5 2 所以圆O的方程为x2 y2 4 2 椭圆E的右准线的方程为x 4 设l上取定的点M为 4 t 圆O上的任意一点N为 x0 y0 定点Q为Q x y 因为NM与NQ的比是常数且Q不同于M 所以NQ2 NM2 是正的常数 1 即 x0 x 2 y0 y 2 x0 4 2 y0 t 2 x y 2xx0 2yy0 x2 y2 x y 16 t2 8x0 2ty0 2 02 02 02 0 将x y 4 代入有 2xx0 2yy0 x2 y2 4 8 x0 2 ty0 20 t2 2 02 0 因为有无数组 x0 y0 从而Error 由式 代入式 得 16 2 t2 2 4 20 t2 即 16 t2 2 20 t2 4 0 所以 1 16 t2 4 0 因为 1 所以 4 16 t2 即存在一个定点Q 不同于点M 使得对于圆O上的任意一点N 均有为定值 NM NQ 又 16 t2 代入 得x2 y2 4 即x2 y2 4 于是x2 y2 x 即 4 4 4 2 y2 x 1 2 1 4 故点Q在圆心 半径为 的定圆上 1 2 0 1 2 B 级 综合创新备选 时间 30 分钟 满分 60 分 一 填空题 每小题 5 分 共 30 分 1 已知A B为抛物线C y2 4x上的两个不同的点 F为抛物线C的焦点 若 4 则直线AB的斜率为 FA FB 解析 由题意知焦点F 1 0 直线AB的斜率必存在 且不为 0 故可设直线AB的方程为 y k x 1 k 0 代入y2 4x中化简得ky2 4y 4k 0 设A x1 y1 B x2 y2 则 y1 y2 4 k y1y2 4 又由 4可得y1 4y2 FA FB 6 联立 式解得k 4 3 答案 4 3 2 已知F1 F2分别是双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点 过F1作垂直于x轴的 x2 a2 y2 b2 直线交双曲线于A B两点 若 ABF2为锐角三角形 则双曲线的离心率的范围是 解析 ABF2为锐角三角形 又AF1 F1F2 2c tan AF2F1 tan 45 b2 a b2 a 2c 1 b2 2ac c2 a2 2ac e2 2e 1 0 解得 1 e 1 又 22 e 1 1 e 1 2 答案 1 1 2 3 2011 苏北四市三调 已知点A 0 2 抛物线y2 2px p 0 的焦点为F 准线为l 线段FA交抛物线于点B 过B作l的垂线 垂足为M 若AM MF 则p 解析 依题意 设点B 点F M y2 1 2p y1 p 2 0 p 2 y1 则 AB y2 1 2p y1 2 AF p 2 2 AM p 2 y1 2 FM p y1 由 得 2 y1 2 0 AB AF y2 1 2p p 2 即y y1 p2 0 2 1 p2 2 由AM MF得 y1 y1 2 0 AM FM p2 2 即y 2y1 0 2 1 p2 2 由 得y1 把 代入 解得p 3p2 p2 42 答案 2 4 过椭圆 1 a b 0 的左顶点A且斜率为 1 的直线与椭圆的另一个交点为M 与 x2 a2 y2 b2 y轴的交点为B 若AM MB 则该椭圆的离心率为 解析 由题意知A点的坐标为 a 0 l的方程为y x a B点的坐标为 0 a 故 M点的坐标为 代入椭圆方程得a2 3b2 c2 2b2 e a 2 a 2 6 3 7 答案 6 3 5 已知椭圆C1 1 a b 0 的离心率为 直线l y x 2 与以原点为圆心 x2 a2 y2 b2 3 3 椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切 则椭圆C1的方程为 解析 e e2 2 3 3 c a a2 b2 a2 1 3 2a2 3b2 直线l x y 2 0 与圆x2 y2 b2相切 b b b2 2 a2 3 椭圆C1的方程是 1 2 22 x2 3 y2 2 答案 1 x2 3 y2 2 6 已知抛物线y2 4x 过点P 4 0 的直线与抛物线相交于A x1 y1 B x2 y2 两点 则 x x的最小值是 2 12 2 解析 设过点P的直线为y k x 4 当k不存在时 A 4 4 B 4 4 则x x 32 2 12 2 当k存在时 有k2x2 8k2 4 x 16k2 0 则x1 x2 8 x1 x2 16 4 k2 故x x x1 x2 2 2x1x2 32 32 2 12 2 16 k4 64 k2 故 x x min 32 2 12 2 答案 32 二 解答题 每小题 15 分 共 30 分 7 已知抛物线C的顶点在坐标原点 焦点在x轴上 ABC的三个顶点都在抛物线上 且 ABC的重心为抛物线的焦点 若BC所在直线l的方程为 4x y 20 0 1 求抛物线C的方程 2 若O是坐标原点 P Q是抛物线C上的两动点 且满足PO OQ 证明 直线PQ过定 点 1 解 设抛物线C的方程为y2 2mx A x1 y1 B x2 y2 由Error 得 2y2 my 20m 0 0 m 0 或m 160 解得y1 2 则y1 y2 m 161m2 4 m 2 x1 x2 10 5 y1 4 5 y2 4 m 8 8 再设A x3 y3 由于 ABC的重心为F 则Error 解得Error m 2 0 点A在抛物线上 2 2m m 8 抛物线C的方程为y2 16x m 2 11m 8 10 2 证明 当PQ的斜率存在时 设PQ的方程为y kx b 显然 k 0 b 0 PO OQ kPOkOQ 1 设P xP yP Q xQ yQ xPxQ yPyQ 0 将直线y kx b代入抛物线方程 得ky2 16y 16b 0 yPyQ 从而xPxQ 16b k y2Py2Q 162 b2 k2 0 k 0 b 0 直线PQ的方程为y kx 16k PQ过点 16 0 b2 k2 16b k 当PQ的斜率不存在时 显然PQ x轴 又PO OQ POQ为等腰三角形 由Error 得P 16 16 Q 16 16 此时直线PQ过点 16 0 直线PQ恒过定点 16 0 8 2011 苏州调研 如图 椭圆 1 的左焦点为F 上顶点为A 过点A作直线AF x2 4 y2 3 的垂线分别交椭圆 x轴于B C两点 1 若 求实数 的值 AB BC 2 设点P为 ACF的外接圆上的任意一点 当 PAB的面积最大时 求点P的坐标 解 1 由条件 得F 1 0 A 0 直线AF的斜率k1 因为AB AF 33 所以直线AB的斜率为 3 3 则直线AB的方程为y x 3 33 令y 0 得x 3 所以点C的坐标为 3 0 由Error 得 13