2016年高考数学理试题分类汇编：导数及其应用(含答案)

2016 年高考数学理试题分类汇编 导数及其应用 一、选择题 1、（ 2016 年四川高考） 设直线 别是函数 f(x)= 0 1, 1, 图象上点 的切线， 直相交于点 P，且 别与 y 轴相交于点 A， B，则 面积的取值范围是 （ A） (0,1) （ B） (0,2) （ C） (0,+ ) （ D） (1,+ ) 【答案】 A 2、（ 2016 年全国 I 高考） 函数 y=2x2e|x|在 2,2的图像大致为 【答案】 D 二、填空题 1、（ 2016 年全国 考） 若直线 y kx b是曲线 的切线，也是曲线 1)的切线，则 b 【答案】 1 2、（ 2016 年全国 考） 已知 0x 时， ( ) ) 3f x x x ，则曲线 y f x在点 (1, 3) 处的切线方程 是 _。 【答案】 21 三、解答题 1、（ 2016 年北京高考） 设函数 () x x e b x，曲线 ()y f x 在点 (2, (2)f 处的切线方程为( 1) 4y e x ， （ 1） 求 a ， b 的值； （ 2）求 () 【解析】 （ I）( ) x x ( ) e e (1 ) ea x a x a xf x x b x b 曲线()y f x在点(2, (2)处的切线方程为e 1) 4 (2) 2(e 1) 4f ，(2)f 即2( 2) 2e 2 2( e 1 ) 4 2( 2) (1 2) e 1a 由 解得：2a，（ I）可知：2( ) e x x x，2( ) (1 )e x 令2( ) (1 )e xg x x ， 2 2 2( ) e (1 ) e ( 2) ex x xg x x x x ,22 2,() 0 极 小值 的最小值是22(2) (1 2) e 1g 最小值为( 2) ( 2) e e 1 0 即( ) 0 对x()在 ,上单调递增，无减区间 . 2、（ 2016 年山东高考） 已知 221( ) l n , x a x x . （ I）讨论 () （ 1a 时，证明 3( ) 2f x f x 对于任意的 1,2x 成立 . 【解析】 ( ) 求导数322)11(=)( 32 2)(1(=当 0a 时， (0,1)x ， 0)( )(调递增， )(1, +x ， 0a 时，3322+(2)(1(=2)(1(=)( x ) （ 1） 当 ， 12a， (0,1)x 或 ),( +2 0)( )(调递增， )(1, ， 0a 时， 1)( )(调递增， ,1)( ， 0)( x ， )(调递增； 2)(+(g=)()( ） 即23)()( 2,1x 成立 3、（ 2016 年四川高考） 设函数 f(x)=中 a R. （ I）讨论 f(x)的单调性； （ 定 a 的所有可能取值，使得 f(x) 区间（ 1， +）内恒成立 (e=自然对数的底数 )。 【解析】 （ I） 由题意， 21 2 1 2 , 0x a x 当 0a 时， 22 1 0 ， 0， 0, 上单调递减 . 当 0a 时， 11222 a x ，当 10,2x a时， 0； 当 1 ,2x a 时， 0. 故 0,2a上单调递减，在 1 ,2a上单调递增 . （ 原不等式等价于 11 在 1,x 上恒成立 . 一方面，令 1 2 111e l n x f x a x x ， 只需 1,x 上恒大于 0即可 . 又 10g ，故 x 处必大于等于 0. 令 1211 2 e xF x g x a x ， 1 0g ，可得 12a. 另一方面， 当 12a时， 31 1 12 3 2 3 31 2 1 2 2 2 e 1 e ex x x a x x x x x 1,x 故 3 20 ，又 1 ，故 2a时恒大于 0. 当 12a时， 1,x 单调递增 . 1 2 1 0F x F a ，故 1,x 单调递增 . 10g x g，即 1,x 上恒大于 0. 综上， 12a. 4、（ 2016 年天津高考） 设函数 3( ) ( 1 )f x x a x b , ， 其中 , (I)求 )(单 调区间； (若 )(在极值点0x，且 )()(01 ，其中01 ，求证： 1023； （ ）设 0a ，函数 |)(|)( ，求证： )(区间 1,1 上的最大值 不小于 41. 【解析】（ 1） 31f x x a x b 2 3 1f x x a 0a ，单调递增； 0a ， ,1 3a 单调递增，在1 , 133单调递减，在1,3a 单调递增 （ 2）由 00 2031 320 0 0 01 3 1f x x x x b 2001 2 1x x b 320 0 0 03 2 2 2 3 1 3 2f x x x x b 20 0 01 8 8 9 6x x x b 200= 1 2 1x x b 0 0 13 2 =f x f x f x 1023 （ 3）欲证 ()0 2， 上的最大值不小于 14，只需证在区间 0 2， 上存在 12, 使得121( ) ( ) 2g x g x 即可 当 3a 时， 02， 上单调递减 (2) 1 2f a b (0) 1 1( 0 ) ( 2 ) 2 2 4 2f f a 递减，成立 当 03a时， 3113 3 3a a af a b 3 3 3a a aa a b 233aa a b 113 3 3 3a a a af a b 233aa a b (2) 1 2f a b (0) 1 ( 2 ) ( 0 ) 2 2f f a 若 304a 时， 10 2 2 22f f a ，成立 当 34a时， 41113 3 3 3 2a a af f a ， 所以， ()0 2， 上的最大值不小于 14成立 5、（ 2016 年全国 I 高考） 已知函数 有 两个零点 . （ I） 求 a 的取值范围； （ 设 的两个零点，证明： +p qq p q.， ， （ I）求使得等式 F（ x） =a2 成立的 x 的取值范围； （ i）求 F（ x）的最小值 m（ a）； （ F（ x）在区间 0,6上的最大值 M（ a） . （ i）设函数 21f x x， 2 2 4 2g x x a x a ，则 m i n 10f x f， 2m i n 42g x g a a a ， 所以，由 定义知 m i n 1 ,m a f g a ，即 20 , 3 2 24 2 , 2 2a a a （ 02x时， F m a x 0 , 2 2 F 2x f x f f ， 当 26x时， F m a x 2 , 6 m a x 2 , 3 4 8 m a x F 2 , F 6x g x g g a 所以， 3 4 8 , 3 42 , 4a 9、 (2016 江苏 )已知函数( ) ( 0 , 0 , 1 , 1 )x a b a b a b . （ 1） 设 a=2,b=1. 求方程() 的根 ; 若对任意不等式(2 ) f( ) 6f x m x恒成立，求实数 m 的最大值； （ 2）若0 1, 1，函数 2g x f x有且只有 1 个零点，求 值 . 解： （ 1）因为12, 2，所以( ) 2 2. 方程( ) 2即2 2，亦即2(2 ) 2 2 1 0 ， 所以2( 1) 0x ，于是21x，解得0. 由条件知2 2 2 2( 2 ) 2 2 ( 2 2 ) 2 ( ( ) ) 2x x x xf x f x . 因为(2 ) ( ) 6f x m f x对于成立，且( ) 0 所以2( ( ) 4()对于 恒成立 . 而2( ( ) ) 4 4 4( ) 2 ( ) 4( ) ( ) ( )f x f xf x f x f x ，且2( (0) 4 4(0)， 所以4m，故实数. （ 2）因为函数( ) ( ) 2g x f x只有 1 个零点，而00( 0) ( 0) 2 2 0g f a b ， 所以 0 是函数() 因为 ( ) ln x a a b b，又由0 1, 1 知, ， 所以( ) 0有唯一解0 )b. 令( ) ( )h x g x，则 2 2) ( l n l n ) ( l n ) ( l n )x x x xh x a a b b a a b b ， 从而对任意( ) 0所以( ) ( )g x h x是( , )上的单调增函数， 于是当0, )，0) ( ) 0g x g x；当0( ,时，0( ) ( ) 0g x g x. 因而函数(), )