高中数学《直接证明与间接证明》同步练习5 新人教A版选修2-2

用心 爱心 专心1 直接证明与间接证明直接证明与间接证明 课下练兵场课下练兵场 命 题 报 告 难度及题号 知识点 容易题 题号 中等题 题号 稍难题 题号 综合法1 3 4 7 8 9 10 分析法 511 反证法 2612 一 选择题 1 设a lg2 lg5 b ex x 0 则a与b大小关系为 A a b B a b C a b D a b 解析 a lg2 lg5 lg10 1 而b ex e0 1 故a b 答案 A 2 设x y z 0 a x b y c z 则a b c三数 1 y 1 z 1 x A 至少有一个不大于 2 B 都小于 2 C 至少有一个不小于 2 D 都大于 2 解析 a b c x y z 6 1 y 1 z 1 x 因此a b c至少有一个不小于 2 答案 C 3 设a b R 则 a b 1 是 4ab 1 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 若 a b 1 则 4ab 4a 1 a 4 a 2 1 1 若 4ab 1 取 1 2 a 4 b 1 a b 3 即 a b 1 不成立 则 a b 1 是 4ab 1 的充分不必要条件 答案 A 4 若a b 0 则下列不等式中总成立的是 A a b B C a b D 1 b 1 a b a b 1 a 1 1 a 1 b 2a b a 2b a b 用心 爱心 专心2 解析 a b 0 1 b 1 a 又a b a b 1 b 1 a 答案 A 5 若P Q a 0 则P Q的大小关系是 aa 7a 3a 4 A P Q B P Q C P Q D 由a的取值确定 解析 要证P Q 只要证P2 Q2 只要证 2a 7 2 2a 7 2 a a 7 a 3 a 4 只要证 a2 7a a2 7a 12 只要证 0 12 0 12 成立 P Q成立 答案 C 6 如果 A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于 A2B2C2的三个内角的正弦值 则 A A1B1C1和 A2B2C2都是锐角三角形 B A1B1C1和 A2B2C2都是钝角三角形 C A1B1C1是钝角三角形 A2B2C2是锐角三角形 D A1B1C1是锐角三角形 A2B2C2是钝角三角形 解析 由条件知 A1B1C1的三个内角的余弦值均大于 0 则 A1B1C1是锐角三角形 假设 A2B2C2是 锐角三角形 由 21121 21121 21121 sincossin 22 sincossin 22 sincossin 22 AAAAA BBBBB CCCCC 得得 那么 A2 B2 C2 这与三角形内角和为 180 相矛盾 2 所以假设不成立 所以 A2B2C2是钝角三角形 答案 D 二 填空题 7 若记号 表示求两个实数a和b的算术平均数的运算 即a b 则两边均含有运算符号 a b 2 和 且对于任意 3 个实数a b c都能成立一个等式可以是 解析 a b b a a b 2 b a 2 用心 爱心 专心3 a b c b a c 答案 a b c b a c 8 如果a b a b 则a b应满足的条件是 abba 解析 a b a b 2 0 a 0 b 0 且a b abbaabab 答案 a 0 b 0 且a b 9 设x y z是空间的不同直线或不同平面 且直线不在平面内 下列条件中能保证 若x z 且 y z 则x y 为真命题的是 填所有正确条件的代号 x为直线 y z为平面 x y z为平面 x y为直线 z为平面 x y为平面 z为直线 x y z为直线 解析 中x 平面z 平面y 平面z x 平面y或x 平面y 又 x 平面y 故x y成立 中若x y z均为平面 则x可与y相交 故 不成立 x z y z x y为不同直线 故x y成立 z x z y z为直线 x y为平面可得x y 成立 x y z均为直线可异面垂直 故 不成立 答案 三 解答题 10 设f x 3ax2 2bx c 若a b c 0 f 0 0 f 1 0 求证 a 0 且 2 1 b a 证明 f 0 0 c 0 又 f 1 0 即 3a 2b c 0 而a b c 0 即b a c代入 式 3a 2a 2c c 0 即a c 0 a c a c 0 又 a b c 0 a b 0 1 0 1 b a b a 又c a b 代入 式得 3a 2b a b 0 2a b 0 2 0 2 故 2 1 b a b a b a 11 已知a 0 求证 a 2 a2 1 a22 1 a 用心 爱心 专心4 证明 要证 a 2 a2 1 a22 1 a 只要证 2 a a2 1 a2 1 a2 a 0 故只要证 2 2 a 2 a2 1 a2 1 a2 即a2 4 4 1 a2 a2 1 a2 a2 2 2 a 2 1 a22 1 a 从而只要证 2 a a2 1 a22 1 a 只要证 4 a2 2 a2 2 1 a2 1 a2 即a2 2 而上述不等式显然成立 1 a2 故原不等式成立 12 已知a b c是互不相等的实数 求证 由y ax2 2bx c y bx2 2cx a和y cx2 2ax b确定的三条抛物线至少有一条与x轴 有两个不同的交点 证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点 即任何一条抛物线与x轴 没有两个不同的交点 由y ax2 2bx c y bx2 2cx a y cx2 2ax b 得 1 2b 2 4ac 0 2 2c 2 4ab 0 3 2a 2 4bc