高中数学竞赛教材讲义 第九章 不等式讲义

用心 爱心 专心 1 第九章第九章 不等式不等式 一 基础知识一 基础知识 不等式的基本性质 1 a ba b 0 2 a b b ca c 3 a ba c b c 4 a b c 0ac bc 5 a b c 0acb 0 c d 0ac bd 7 a b 0 n N an bn 8 a b 0 n N nn ba 9 a 0 x a a xax a 或 xb 0 c d 0 所以 ac bc bc bd 所以 ac bd 重复利用性质 6 可得 性质 7 再证性质 8 用反证法 若 由性质 7 得 即 nn ba nnnn ba a b 与 a b 矛盾 所以假设不成立 所以 由绝对值的意义知 9 成立 nn ba a a a b b b 所以 a b a b a b 所以 a b a b 下 面再证 10 的左边 因为 a a b b a b b 所以 a b a b 所以 10 成 立 11 显然成立 下证 12 因为 x y 2 0 所以 x y 2 yxxy xy2 当且仅当 x y 时 等号成立 再证另一不等式 令 因为 x3 b3 c3 czbyax 3 3 3 3abc a b 3 c3 3a2b 3ab2 3abc a b 3 c3 3ab a b c a b c a b 2 a b c c2 3ab a b c a b c a2 b2 c2 ab bc ca a b c a b 2 b c 2 c a 2 0 所以 2 1 a3 b3 c3 3abc 即 x y z 等号当且仅当 x y z 时成立 3 3 xyz 二 方法与例题 1 不等式证明的基本方法 1 比较法 在证明 A B 或 A0 与 1 比 B A 较大小 最后得出结论 例 1 设 a b c R 试证 对任意实数 x y z 有 x2 y2 z2 2 xz b ac yz a cb xy c ba accbba abc 证明 左边 右边 x2 y2 z2yz acba bc xy accb ab 2 2 222 2 2y ac c y ac a xy accb ab x cb b xz cbba ca 222 2 2x cb c xz cbba ca z ba a z ba b yz acba bc 0 222 x cb c z ba a z ba b y ac c y ac a x cb b 所以左边 右边 不等式成立 例 2 若 a xlog 1 x 1 x 1 因为 0 1 x21 x 0 0 1 x loga 1 x 2 分析法 即从欲证不等式出发 层层推出使之成立的充分条件 直到已知为止 叙述方式为 要证 只需证 例 3 已知 a b c R R 求证 a b c 3 a b 3 abc 2 ab 证明 要证 a b c a b只需证 3 3bac 2 ab 3 32abcabc 因为 所以原不等式成立 33 332abcbacababcabc 例 4 已知实数 a b c 满足 0 a b c 求证 2 1 1 1 1 1 1 2 abbacc 证明 因为 0 n 1 n 证明 1 当 n 3 时 因为 34 81 64 43 所以命题成立 2 设 n k 时有 kk 1 k 1 k 当 n k 1 时 只需证 k 1 k 2 k 2 k 1 即 1 1 2 2 1 k k k k 因为 所以只需证 即证 k 1 2k 2 k k 2 k 1 只需证1 1 1 k k k k 1 2 2 1 k k k k k k k k 1 1 k 1 2 k k 2 即证 k2 2k 1 k2 2k 显然成立 所以由数学归纳法 命题成立 4 反证法 例 6 设实数 a0 a1 an满足 a0 an 0 且 a0 2a1 a2 0 a1 2a2 a3 0 an 2 2an 1 an 0 求证 ak 0 k 1 2 n 1 证明 假设 ak k 1 2 n 1 中至少有一个正数 不妨设 ar是 a1 a2 an 1中 第一个出现的正数 则 a1 0 a2 0 ar 1 0 ar 0 于是 ar ar 1 0 依题设 ak 1 ak ak ak 1 k 1 2 n 1 所以从 k r 起有 an ak 1 an 1 an 2 ar ar 1 0 因为 an ak 1 ar 1 ar 0 与 an 0 矛盾 故命题获证 5 分类讨论法 例 7 已知 x y z R 求证 0 222222 yx xz xz zy zy yx 证明 不妨设 x y x z 用心 爱心 专心 3 x y z 则 x2 y2 z2 由排序原理可得 zyzxyx 111 原不等式成立 yx x xz z zy y yx z xz y zy x 222222 x z y 则 x2 z2 y2 由排序原理可得 zyyxzx 111 原不等式成立 yx x xz z zy y yx z xz y zy x 222222 6 放缩法 即要证 A B 可证 A C1 C1 C2 Cn 1 Cn Cn B n N 例 8 求证 2 12 1 3 1 2 1 1 nn n 证明 1 2 2 1 2 1 2 1 4 1 4 1 2 1 1 12 1 3 1 2 1 1 n nnnn 得证 22 1 2 1 1 2 1nn nn 例 9 已知 a b c 是 ABC 的三条边长 m 0 求证 mc c mb b ma a 证明 mba m mba ba mba b mba a mb b ma a 1 因为 a b c 得证 mc c mc m 1 7 引入参变量法 例 10 已知 x y R R l a b 为待定正数 求 f x y 的最小值 2 3 2 3 y b x a 解 设 则 f x y k x y k kl y k l x 1 1 2 3 3 2 2 1 k b a l k a3 b3 3a2b 3ab2 2 2333 2 33333 2 11111 l ka k b k b k bkakaba l 等号当且仅当时成立 所以 f x y min 2 3 l ba y b x a 2 3 l ba 例 11 设 x1 x2 x3 x4 2 x2 x3 x4 x1 求证 x1 x2 x3 x4 2 4x1x2x3x4 证明 设 x1 k x2 x3 x4 依题设有 k 1 x3x4 4 原不等式等价于 1 k 3 1 2 x2 x3 x4 2 4kx2x3x4 x2 x3 x4 即 x2 x3 x4 x2x3x4 因为 f k k 在上递减 k k 4 1 2 k 1 1 3 1 所以 x2 x3 x4 x2 x3 x4 k k 4 1 2 2 1 4 1 k k 用心 爱心 专心 4 3x2 4x2 x2x3x4 4 2 3 1 3 所以原不等式成立 8 局部不等式 例 12 已知 x y z R 且 x2 y2 z2 1 求证 222 111z z y y x x 2 33 证明 先证 2 33 1 2 2 x x x 因为 x 1 x2 33 2 3 2 2 1 1 2 2 1 3 222 xx 所以 2 33 33 2 1 1 2 2 2 2 2 x x xx x x x 同理 2 2 2 33 1 y y y 2 2 2 33 1 z z z 所以 2 33 2 33 111 222 222 zyx z z y y x x 例 13 已知 0 a b c 1 求证 2 111 ab c ca b bc a 证明 先证 2 1cba a bc a 即 a b c 2bc 2 即证 b 1 c 1 1 bc a 因为 0 a b c 1 所以 式成立 同理 2 1 2 1cba c ab c cba b ca b 三个不等式相加即得原不等式成立 9 利用函数的思想 例 14 已知非负实数 a b c 满足 ab bc ca 1 求 f a b c 的最小值 accbba 111 解 当 a b c 中有一个为 0 另两个为 1 时 f a b c 以下证明 f a b 2 5 c 不妨设 a b c 则 0 c f a b c 2 5 3 3 1 11 2 22 bac ba c c 因为 1 a b c ab a b c 4 2 ba 解关于 a b 的不等式得 a b 2 c 1 2 c 用心 爱心 专心 5 考虑函数 g t g t 在 上单调递增 tc t1 1 2 1 2 c 又因为 0 c 所以 3c2 1 所以 c2 a 4c2 所以 2 3 3 1 2 cc 1 2 c 所以 f a b c bac ba c c 1 11 2 22 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 cc c cc c c 1 1 1 2 2 2 2 c cc c c 2 13 2 1 1 1 2 2 2 2 cc c c 22 11 3 2 5 2 13 2 4 22 cccc 下证0 c2 6c 9 9c2 9 0 cc 11 3 2 133 2 cc cc 4 3 因为 所以 式成立 4 3 c 4 3 3 3 c 所以 f a b c 所以 f a b c min 2 5 2 5 2 几个常用的不等式 1 柯西不等式 若 ai R R bi R R i 1 2 n 则 2 11 2 1 2 n i ii n i i n i i baba 等号当且仅当存在 R R 使得对任意 i 1 2 n ai bi 变式 1 若 ai R R bi R R i 1 2 n 则 2 1 2 1 1 2 n i i n i i n i i i b a b a 等号成立条件为 ai bi i 1 2 n 变式 2 设 ai bi同号且不为 0 i 1 2 n 则 1 2 1 1 n i ii n i i n i i i ba a b a 等号成立当且仅当 b1 b2 bn 2 平均值不等式 设 a1 a2 an R 记 Hn Gn n aaa n 111 21 An 则 Hn Gn An Qn 即调 n n aaa 21 n aaa Q n aaa n n n 22 2 2 121 和平均 几何平均 算术平均 平方平均 其中等号成立的条件均为 a1 a2 an 证明 由柯西不等式得 An Qn 再由 Gn An可得 Hn Gn 以下仅证 Gn An 用心 爱心 专心 6 1 当 n 2 时 显然成立 2 设 n k 时有 Gk Ak 当 n k 1 时 记 Gk 1 k kka aaa 1 121 因为 a1 a2 ak ak 1 k 1 Gk 1 k k kk k k Gakaaak 1 1121 2kGk 1 k k k k k kk GkGaaak 2 2 1 2 1 1121 22 所以 a1 a2 ak 1 k 1 Gk 1 即 Ak 1 Gk 1 所以由数学归纳法 结论成立 3 排序不等式 若两组实数 a1 a2 an且 b1 b2 bn 则对于 b1 b2 bn的任意排列 有 a1bn a2bn n iii bbb 21 1 anb1 a1b1 a2b2 anbn n i n ii bababa 21 21 证明 引理 记 A0 0 Ak 则 1 1 nka k i i n i iib a 1 n i iii bss 1 1 阿贝尔求和法 nn n i iii bsbbs 1 1 1 证法一 因为 b1 b2 bn 所以 b1 b2 bk k iii bbb 21 记 sk b1 b2 bk 则 sk 0 k 1 2 n k iii bbb 21 所以 a1b1 a2b2 anbn k i n ii bababa 21 21 n j j i j bba j 1 snan 0 n j jjj aas 1 1 最后一个不等式的理由是 aj aj 1 0 j 1 2 n 1 sn 0 所以右侧不等式成立 同理可证左侧不等式 证法二 调整法 考察 若 则存在 k i n ii bababa 21 21n i bb j 若 j n 1 则将与互换 n i bb j n i b j i b 因为 0 nnnn i nj b n i njnjnnj i n i jnn bbaabaabaababababa 所 调整后 和是不减的 接下来若 则继续同样的调整 至多经 n 1 次调整 1 1 n i bb n 就可将乱序和调整为顺序和 而且每次调整后和是不减的 这说明右边不等式成立 同理可 得左边不等式 例 15 已知 a1 a2 an R R 求证 a1 a2 an 1 22 1 3 2 2 2 2 1 a a a a a a a a n n n 证明 证法一 因为 23 3 2 2 11 2 2 1 2 2aa a a aa a a 2an 1 1 2 1 2 1 2a a a aa a a n nn n n 上述不等式相加即得 a1 a2 an 1 22 1 3 2 2 2 2 1 a a a a a a a a n n n 证法二 由柯西不等式 a1 a2 an a1 a2 an 2 1 22 1 3 2 2 2 2 1 a a a a a a a a n n n 用心 爱心 专心 7 因为 a1 a2 an 0 所以 a1 a2 an 1 22 1 3 2 2 2 2 1 a a a a a a a a n n n 证法三 设 a1 a2 an从小到大排列为 则 n iii aaa 21 222 21n iii aaa 由排序原理可得 11 111 iii aaa nn a1 a2 an 得证 n iii aaa 21 1 22 1 3 2 2 2 2 1 a a a a a a a a n n n 注 本讲的每种方法 定理都有极广泛的应用 希望读者在解题中再加以总结 三 基础训练题三 基础训练题 1 已知 0 xm 则 m 的最小值是 12x 6 a b 4 是 不等式 x a x b 8 的解集是 x 2 x 6 的 条件 7 若 a b R R 则 a b 1 以下结论成立是 a4 b4 a3 b3 1 8 1 4 1 abba 211 22 2 2 1 2 1 ba b b aa 2 1 lglg 2 1 aba b 8 已知 0 0 b 0 且 ab m aabb n abba 则比较大小 m n 11 已知 n N 求证 12 31 2 1 1 22 n n n 12 已知 0 ax2 0 1 a 0 记 比较大小 a x a ax y a ax a x y 11 11 21 2 21 1 x1x2 y1y2 8 已知函数的值域是 则实数 a 的值为 x xa y cos1 sin 3 4 9 设 a b0 P a1 a2 c1 c2 Q b1 b2 2 1 b 2 2 b 2 比较大小 P Q 2 已知 x2 y2 xy 1 则 x y 3 x y 2 3 二次函数 f x x2 ax b 记 M max f 1 f 2 f 3 则 M 的最小值为 4 设实数 a b c d 满足 a b c d 或者 a b c d 比较大小 4 a c d a b d 2a 3d c 2a 2b c d 5 已知 xi R R i 1 2 n 且 则 x1x2 xn的最小值为1 1 1 1 n i i x 这里 n 1 6 已知 x y R R f x y x2 6y2 2xy 14x 6y