09-2高数工期中试卷答案

北京工业大学北京工业大学 09 级第二学期期中考试级第二学期期中考试 高等数学 信 工 2 期中考试试卷 第 1 页 共 6 页 北京工业大学北京工业大学 2009 20102009 2010 学年第二学期学年第二学期 高等数学 信 工 高等数学 信 工 期中试卷答案期中试卷答案 学号 姓名 成绩 注注意意 本本试试卷卷共共 6 6 页页 1 12 2 道道题题 考考试试时时间间 9 95 5 分分钟钟 考考试试日日期期 2 20 01 10 0 年年月月 5 5 日日 一 计算下列各题 一 计算下列各题 本大题共本大题共 6 6 小题 小题 每小题每小题 8 8 分 共分 共 4848 分分 解答应写出主要过程或演算解答应写出主要过程或演算 步骤步骤 1 设 求 yx ez 2 0 1 d z 解 3 分 2 0 1 0 1 20 x y z xye x 3 分 2 2 0 1 0 1 0 x y z x e y 2 分 000dzdxdy 2 设 其中具有连续的二阶偏导数 求 x y xfxz f xy z x z 2 解 4 分 21 f x y fxf x z 4 分 22 2 12 2 f x y f xy z 3 求曲面 在点 处的切平面和法线方程 0 cos 2 sin yzxy 3 1 2 解 曲面在点处的法向量为 即 2 分 3 1 2 3 3 3 0 n 3 0 n 所以 切平面方程为 3 分023 zy 法线方程为 3 分 3 3 1 0 2 z y x 北京工业大学北京工业大学 09 级第二学期期中考试级第二学期期中考试 高等数学 信 工 2 期中考试试卷 第 2 页 共 6 页 4 设幂级数的收敛半径为 2 2 对幂级数而言 为其收敛 1n n nx a 1 3 n n n xa A 点的集合 为其发散点的集合 为其尚不能缺定敛散性的点的集合 试将下列的BCx 值 e e 1 5 4 3 2 1 0 1 2 归入相应的集合 解 3 3 2 分 5 1 1 0 1 2 4 3 2 C e BeA 5 设是以为周期的函数 且 若将 xf 2 x x xx xf 0 1 0 0 0 展开成傅里叶级数 设其和函数为 xf xS 1 写出的表达式 只写出一个周期里的即可 xS 2 求 及 2 S 2 3 S 解 4 分 x x xxf xS 2 1 0 1 2 1 0 0 4 分 1 2 1 2 S 2 2 2 3 SS 北京工业大学北京工业大学 09 级第二学期期中考试级第二学期期中考试 高等数学 信 工 2 期中考试试卷 第 3 页 共 6 页 北京工业大学北京工业大学 09 级第二学期期中考试级第二学期期中考试 高等数学 信 工 2 期中考试试卷 第 4 页 共 6 页 6 写出微分方程的特解形式 不需要求出系数值 x exyyy 42 43 解 因为特征方程为 所以 特征根 4043 2 rr1 4 21 rr 分 而 即 是单根 x exxf 42 4 2 xxP 则特解得形式为 4 x xecbxaxy 42 分 二 二 解答题解答题 本大题共本大题共 4 4 小题 每题小题 每题 8 8 分 分 共共 32 分分 要求写出详细的解答过程要求写出详细的解答过程 7 设 其中函数 与都有连续 zyxfu 0 2 zex y xysin f 的一阶偏导数 求 dx du 解 因为 dx dz z f dx dy y f x f dx du 而 4 分 cos2 1 cos 21 3 xex dx dz x dx dy y 所以 4 分 z f y f x f dx du cos cos2 1 2 sin 1 3 xex x 北京工业大学北京工业大学 09 级第二学期期中考试级第二学期期中考试 高等数学 信 工 2 期中考试试卷 第 5 页 共 6 页 8 判别级数 是否收敛 若收敛请说明是绝对收敛 还是条件收敛 1 32 32 n nn nn 解 因为 1 3 2 3 1 32 232 nn nn n nnnn u 当 时 每一项都是正的 1 n 而 1 1 3 2 3 1 3 2 3 11 1 lim 2 11 2 1 nn nn lin u u nn nn n n n n 1 3 1 所以 原级数收敛 6 分 且是绝对收敛 2 分 9 求通过点的曲线方程 使此曲线在区间上所形成的曲边梯形面积的值等于 2 1 1 x 该曲线段终点的横坐标与纵坐标乘积的二倍减去 xy 解 设所求曲线方程为 xfy 由题意知 2 分42 1 xydxxf x 两边同时对求导 得x 即 解此微分方程 yxyy 22yyx 2 分离变量 x dx y dy 2 两边积分 得 3 分Cxylnlnln2 即 将 代入 得 x C y 2 2 1 yx4 C 则所求曲线方程为 3 x y 2 北京工业大学北京工业大学 09 级第二学期期中考试级第二学期期中考试 高等数学 信 工 2 期中考试试卷 第 6 页 共 6 页 分 北京工业大学北京工业大学 09 级第二学期期中考试级第二学期期中考试 高等数学 信 工 2 期中考试试卷 第 7 页 共 6 页 10 将函数展开为的幂级数 并指出其幂级数的 1 1ln 1 222 xxxxf x 收敛区间 解 因为 1 22 1 1 2 ln 1 2 n n n fxxxxx n 1 12 1 2 1 n n n x n 11 x 4 分 又 故 1 0 f x n n n x t n dttfxf 0 1 12 1 0 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 n n n x nn 4 分 11 x 三 三 解答题解答题 本大题共本大题共 2 2 小题 每题小题 每题 1010 分 分 共共 20 分分 要求写出详细的解答过程要求写出详细的解答过程 11 求微分方程 的解 使得该解所表示的曲线在点处与直线034 yyy 2 0 相切 0422 yx 解 因为特征方程为 所以 特征根 034 2 rr1 3 21 rr 所以 原方程的通解为 4 分 xx eCeCy 2 3 1 而由条件知 2 分1 0 2 0 yy 代入到通解 得 2 5 2 1 21 CC 则原方程的特解为 4 分 xx eey 2 5 2 1 3 北京工业大学北京工业大学 09 级第二学期期中考试级第二学期期中考试 高等数学 信 工 2 期中考试试卷 第 8 页 共 6 页 12 求的收敛区间和和函数 并求出级数的和 1 12 n n xn 1 3 12 n n n 解 收敛域为 1 分 1 1 x 设原级数的和为 xS 故 111 2 12 n n