2019-2020学年大庆市让胡路区铁人中学高二上学期期末数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年黑龙江省大庆市让胡路区铁人中学高二上学期期末数学（文）试题一、单选题1若98与63的最大公约数为，二进制数化为十进制数为，则（ ）A53B54C58D60【答案】C【解析】由题意知，与63的最大公约数为7，又，选C点睛：求两个正整数的最大公约数时，可用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当出现整除时，就得到要求的最大公约数2与命题“若，则”等价的命题是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】C【解析】分析：根据四种命题等价性关系判断.详解：原命题与其逆否命题等价，项是原命题的逆否命题，符合要求故选点睛： 与非非，与非非，与非非具有等价关系.3在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变为曲线，则曲线的方程为（ ）ABCD【答案】B【解析】将代入曲线化简可得到式子.【详解】将代入曲线方程得到故答案为B.【点睛】本题考查了曲线的变换公式的应用，属于基础题.4如图，矩形长为5，宽为3，在矩形内随机撒100颗黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数为60颗，以此实验数据为依据可以估算椭圆的面积约为（）A9B11C12D10【答案】A【解析】欲估计出椭圆的面积,可利用概率模拟,只要利用平面图形的面积比求概率即可.【详解】由题意,以面积为测度,设椭圆的面积为，矩形的面积为，则，又因为矩形的面积为，所以椭圆的面积为，故选：A.【点睛】本题考查运用几何概型估算几何图形的面积，关键理解几何概型的真正含义，属于基础题.5袋中装有3个黑球、2个白球、1个红球，从中任取两个，互斥而不对立的事件是（ ）A“至少有一个黑球”和“没有黑球”B“至少有一个白球”和“至少有一个红球”C“至少有一个白球”和“红球黑球各有一个”D“恰有一个白球”和“恰有一个黑球”【答案】C【解析】根据互斥事件与对立事件的定义即可判断.【详解】对于A, “至少有一个黑球”和“没有黑球”不能同时发生,且必有一个发生,因而为对立事件;对于B, “至少有一个白球”和“至少有一个红球”可以同时发生,所以不是互斥事件;对于C, “至少有一个白球”和“红球黑球各有一个”两个事件不能同时发生,且除这两个事件还有其他事件(如两个黑球)发生,所以两个事件为互斥事件,但为不对立事件对于D, “恰有一个白球”和“恰有一个黑球”可以同时发生,所以不是互斥事件.综上可知,C为正确选项故选:C【点睛】本题考查了互斥与对立事件的概念和判断,属于基础题.6“”是“方程表示椭圆”的( )A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据构成椭圆的标准方程所需的条件可得选项.【详解】若表示椭圆,得 ，解得且. 所以由方程表示椭圆得实数的取值范围是;因此：由“”不可推得“方程表示椭圆”，当时，方程表示的是圆，而由“方程表示椭圆”可推得“”，所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，故选：C.【点睛】本题考查构成椭圆的标准方程所需的条件，注意不要漏分母不能相等的条件，属于基础题.7某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图,估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（ ）A73.3，75，72B72，75，73.3C75，72，73.3D75，73.3，72【答案】B【解析】根据频率分布直方图,结合平均数、众数、中位数的求法,即可得解.【详解】由频率分布直方图可知,平均数为 众数为最高矩形底边的中点,即中为数为: 可得所以中为数为 综上可知,B为正确选项故选:B【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,平均数、众数、中位数的计算,属于基础题.8已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为()A0.4B0.6C0.8D1【答案】B【解析】件产品中有件次品，记为，有件合格品，记为，从这件产品中任取件，有种，分别是，恰有一件次品，有种，分别是，设事件“恰有一件次品”，则，故选B【考点】古典概型9阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为()A-10B6C14D18【答案】B【解析】模拟法：输入；不成立；不成立成立输出,故选B.【考点】本题主要考查程序框图与模拟计算的过程.10已知椭圆上有一点,是椭圆的左、右焦点,若为直角三角形,则这样的点有( )A3个B4个C6个D8个【答案】C【解析】由为直角三角形，分直角的三种情况，分别得出符合要求的点，可得选项.【详解】当为直角时，这样的点有2个，如下图中的点；当为直角时，这样的点有2个，如下图中的点；当为直角时，因为椭圆中，所以这样的点有2个，如下图中的点，所以符合条件为直角三角形的点有6个，故选：C. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程和椭圆的简单的几何性质，注意对条件分类讨论，属于基础题.11已知抛物线：，直线，抛物线上有一动点P到y轴的距离为，P到直线的距离为，则的最小值为（ ）ABCD【答案】D【解析】根据抛物线的定义得将抛物线上有一动点P到y轴的距离为转化为点到焦点的距离，再作与垂直,垂足为，可得，当三点共线，且点在线段上时，即点是由向作垂线的垂线段与抛物线的交点时，取得最小值，再运用点到直线的距离公式可得选项.【详解】抛物线的焦点为，准线，过作与准线垂直,垂足为,根据抛物线的定义得，作与垂直,垂足为，则，当三点共线，且点在线段上时，即点是由向作垂线的垂线段与抛物线的交点，如下图中的点，此时取得最小值，点到直线的距离，所以的最小值为，故选：D.【点睛】本题考查抛物线上的动点的距离之和的问题，此类题目常常需要根据抛物线的定义将动点到准线的距离转化为到动点到焦点的距离，再运用两点之间线段最短“化折为直”得到最小值，属于中档题.12已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集是（ ）ABCD【答案】A【解析】令，则：，由题意可知：，则函数在R上单调递增，且，不等式即，即：，结合函数的单调性可得不等式的解集为：，表示为区间形式即：.本题选择A选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用。因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的。根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧。许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效。二、填空题13某班共有56名学生，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知12号、26号、54号同学在样本中，则样本中还有一名同学的编号是_【答案】40【解析】先求出组距，然后根据已知的第二个样本的编号，求得第三个样本的编号.【详解】从名学生中抽取名，组距为，由于抽取到第二个编号为号，故第三个样本的编号为号.【点睛】本小题主要考查系统抽样的知识，先求得系统抽样的组距，然后根据已知来求得未知的样本编号，属于基础题.14函数的单调增区间是_【答案】【解析】函数的定义域为，且：，求解不等式可得：，则函数的单调增区间是.15下列说法中正确的个数是_.（1）命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为“若方程无实数根，则”.（2）命题“，”的否定“，”.（3）若为假命题，则，均为假命题.（4）“”是“直线：与直线：平行”的充要条件.【答案】1【解析】根据命题与逆否命题的定义可判断（1）;根据特称命题的否定即可判断（2）;由复合命题真假的关系可判断（3）;根据两条直线平行时的斜率关系可判断（4）.【详解】对于（1）,命题“若,则方程有实数根”的逆否命题为“若方程无实数根,则”,所以（1）正确;对于（2）,命题“,”的否定“,”,所以（2）错误;对于（3）,若为假命题,则、中至少有一个为假命题,所以（3）错误;对于（4）,当时, 直线：与直线：,则且,所以是“”是“直线：与直线：平行”的充分条件;当“直线：与直线：平行”时,则,解得或,所以“”是“直线：与直线：平行”的充分不必要条件.所以（4）错误.综上可知,正确的为（1）故答案为:1【点睛】本题考查了命题与逆否命题的关系,特称命题的否定形式,复合命题真假的判断及充分必要条件的判断,属于基础题.16已知双曲线E：的右顶点为A，抛物线C：的焦点为若在E的渐近线上存在点P，使得，则双曲线E的离心率的取值范围是_【答案】【解析】求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设，以及向量的垂直的条件：数量积为0，再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，化简整理，结合离心率公式即可得到所求范围【详解】双曲线E：的右顶点为，抛物线C：的焦点为，双曲线的渐近线方程为，可设，即有，可得，即为，化为，由题意可得，即有，即，则由，可得故答案为：【点睛】对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).三、解答题17在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线与曲线C交于两点（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求【答案】（1）直线l的方程为yx+1，曲线C的方程为1；（2）.【解析】（）消去参数，即可求得直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线的直角坐标方程；（）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线参数方程中参数的几何意义，即可求解【详解】（）由直线的参数方程为，消去参数，可得直线的方程为，由曲线的极坐标方程，根据，曲线的方程为（）将（参数），代入1，得，设所对应的参数分别为，则，则【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理利用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题18若函数，当时，函数有极值（1）求函数的解析式； （2）判断函数的极值点并求出函数的极值.【答案】（1）（2）当时，有极大值，当时，有极小值。【解析】(1)先对函数进行求导,然后根据,可求出的值,进而确定函数的解析式.(2)根据(1)中解析式然后求导,然后令导函数等于0，求出的值,然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,确定出函数的单调性,进而得到函数的极值;【详解】(1)因为，由题意知，解得 ，所以所求的解析式为;(2)由(1)可得，令,得或,则当或时,，在和单调递增；当时, ，在单调递减,因此,当时,有极大值,当时,有极小值;所以当时，有极大值，当时，有极小值。【点睛】本题考查运用函数的导函数，研究函数的极值和函数的单调性等相关的性质，在求函数的极值，一定需得出在极值点两旁的单调性是不一致的，属于基础题.19如表是某位同学连续5次周考的历史、政治的成绩，结果如下：周次12345历史(x分)7981838587政治(y分)7779798283参考公式：，表示样本均值(1)求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差；(2)一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量的线性回归方程 【答案】（1）（2）【解析】(1)利用所给数据,即可求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差;(2)利用最小二乘法求出线性回归直线的方程的系数,写出回归直线的方程,得到结果.【详解】(1)历史成绩的平均数.,政治成绩的方差，(2)，,.所以两个变量的线性回归方程是.【点睛】本题考查平均数、方差的求解，以及线性回归方程的求解，在求解时，熟练运用公式，仔细运算，属于基础题.20已知抛物线：的焦点，上一点到焦点的距离为5（1）求的方程；（2）过作直线，交于，两点，若直线中点的纵坐标为-1，求直线的方程【答案】（1）（2）【解析】法一：利用已知条件列出方程组，求解即可法二：利用抛物线的准线方程，由抛物线的定义列出方程，求解即可法一：由可得抛物线焦点的坐标，设出两点的坐标，利用点差法，求出线段中点的纵坐标为，得到直线的斜率，求出直线方程法二：设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，设出两点的坐标，通过线段中点的纵坐标为，求出即可【详解】法一:抛物线: 的焦点的坐标为,由已知解得或,的方程为. 法二:抛物线的准线方程为由抛物线的定义可知解得的方程为. 2.法一:由(1)得抛物线C的方程为,焦点设两点的坐标分别为,则 两式相减,整理得线段中点的纵坐标为直线的斜率直线的方程为即分法二:由(1)得抛物线的方程为,焦点设直线的方程为由消去,得设两点的坐标分别为,线段中点的纵坐标为解得直线的方程为即【点睛】本题主要考查了直线与抛物线相交的综合问题，对于涉及到中点弦的问题，一般采用点差法能直接求出未知参数，或是将直线方程设出，设直线方程时要注意考虑斜率的问题，此题可设直线的方程为，就不需要考虑斜率不存在，将直线方程与抛物线方程联立，利用条件列出等量关系，求出未知参数21已知函数（1）求曲线在处的切线方程；（2）