高中数学《指数函数与对数函数的关系》学案3 新人教B版必修1

用心 爱心 专心1 指数函数和对数函数典例剖析指数函数和对数函数典例剖析 知识梳理知识梳理 一 指数函数 对三个指数函数的图象特征与函数性质的认识 yyy x x x 2 1 2 10 1 所有指数函数的图象交叉相交于点 0 1 如和相交于 当时 y x 2y x 10 01 x 0 的图象在的图象的上方 当 刚好相反 故有y x 10y x 2x 0 及 102 22 102 22 2 与的图象关于y轴对称 y x 2y x 1 2 3 通过 三个函数图象 可以画出任意y x 2y x 10y x 1 2 一个函数 的示意图 如的图象 一定位于ya x aa 01且y x 3 和两个图象的中间 且过点 从而也由y x 2y x 10 01 1 3 x y 关于y轴的对称性 可得的示意图 即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象 y x 1 3 二 对数函数 1 对三个对数函数的图象的认识 yxyx loglog 21 2 yx lg 1 所有对数函数的图象都过点 1 0 但是与在点 1 0 曲线是交叉的 yx log2yx lg 即当时 的图象在的图象上方 而时 x 0yx log2yx lg01 x 的图象在的图象的下方 故有 yx log2yx lglog lg 215 15 log lg 201 01 2 的图象与的图象关于x 轴对称 yx log2yx log1 2 3 通过 三个函数图象 可以作出yx log2yx lgyx log1 2 任意一个对数函数的示意图 如作的图象 它一定位于和yx log3yx log2 两个图象的中间 且过点 1 0 时 在的上方 而位于的下方 yx lgx 0yx lgyx log2 时 刚好相反 则对称性 可知的示意图 01 xyx log1 3 2 对数常用公式 log log log a b a N N b lglg ln2 303lg lg0 4343 NN NN e 1 log log a b b a loglog a m a nb m n b loglog a n a nb b loga m na m n 典例剖析典例剖析 题型一题型一 函数的单调性判断函数的单调性判断 例 1 讨论函数的单调性 1 2 1log2log2 2 2 2 1 xxy 4 9 2 3 1 xx y 剖析 1 易知函数定义域为 令 则原函数 0 xxgu 2 1 log 1222 2 uuufy 用心 爱心 专心2 y f g x 是由 g x 与 f u 复合而成的复合函数 而在时是减函数 xxgu 2 1 log 0 x 在时是减函数 在时是增函数 1222 2 uuufy 2 1 2 1 2 2 u 2 1 u 2 1 u 又 即 则 得 由下表讨论复合函数的单调性 2 1 u 2 1 log 2 1 x 2 2 x 2 1 u 2 2 x 单调性 函数 2 2 0 2 2 xxgu 2 1 log 1222 2 uuufy 1log2log2 2 2 2 1 xxy 可见 函数在区间上单调递减 在区间上单调递增 1log2log2 2 2 2 1 xxy 2 2 0 2 2 点评 复合函数的单调性的讨论用列表法求解 十分方便且非常有效 2 剖析 设 则 由 知 当时 u 4 9 2 xxu u y 3 1 2 2 1 4 9 22 xxxu 2 1 x 为减函数 当时 u 为增函数 而为减函数 故在时为增函数 在 2 1 x u y 3 1 4 9 2 3 1 xx y 2 1 x 时为减函数 2 1 x 评注 复合函数单调性的判断一般遵循 同增异减 原则 这是一种简洁有效的方法 题型二题型二 函数值域求法函数值域求法 一 配方法配方法 配方法是求二次函数值域的基本方法 形如的函数值域问 2 cxbfxfaxF 题 均可使用配方法 例 2 已知 求函数值域 3 1 log2 3 xxf x 22 xfxfy 剖析 由 得 3 1 log2 3 xxf x 2 2 2 2 22 log2 log2 xx xfxfy 又函数 f x 定义域 1 3 3 3 log6log6 log 2 33 2 3 xxx 所以函数定义域为 解得 所以 22 xfxfy 31 31 2 x x 31 x 2 1 0 log3 x 由二次函数单调性得 所求函数值域为 4 37 6 y 4 37 6 点评 配方法是求函数值域的最基本最常用的方法 二 利用函数有界性利用函数有界性 形如 等 因为 可求 y 范围 从而求出其值域 2 xgx 0 2 x 例 3 求函数值域 12 12 x x y 剖析 由 得 或 y 1 21 21 x x y 1 2 1 x y y 02 x 10 1 1 y y y 故原函数值域为 1 1 点评 由于 也可类似求解 sin 1x cos 1x 用心 爱心 专心3 三 利用函数单调性三 利用函数单调性 例 4 已知关于 x 的方程有负根 1 求实数 a 的值的集合 M 2 若函数 35 432 x a a 的定义域恰为 M 求 f x 的值域 64xf x 剖析 1 当 x 0 时 即 得 即 3 1 4 x 5 1 32 a a 23 32 a 23 32 Maa