高一数学公式正弦余弦公式总结教案新课标人教A版必修4

第二十七讲 正 余弦定理及应用正 余弦定理及应用 一 复习目标要求一 复习目标要求 1 通过对任意三角形边长和角度关系的探索 掌握正弦定理 余弦定理 并能解决一些简单的三 角形度量问题 2 能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 二 二 2010 年命题预测年命题预测 对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化 三角形形状的判断 三角形内三角函数的求值以及 三角恒等式的证明问题 立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题 今后高考的命题会以正 弦定理 余弦定理为知识框架 以三角形为主要依托 结合实际应用问题考察正弦定理 余弦定理及应 用 题型一般为选择题 填空题 也可能是中 难度的解答题 三 知识精点讲解三 知识精点讲解 1 直角三角形中各元素间的关系 如图 在 ABC 中 C 90 AB c AC b BC a 1 三边之间的关系 a2 b2 c2 勾股定理 2 锐角之间的关系 A B 90 3 边角之间的关系 锐角三角函数定义 sinA cosB c a cosA sinB c b tanA b a 2 斜三角形中各元素间的关系 如图 6 29 在 ABC 中 A B C 为其内角 a b c 分别表示 A B C 的对边 1 三角形内角和 A B C 2 正弦定理 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2 sinsinsin R 为外接圆半径 3 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍 a2 b2 c2 2bccosA b2 c2 a2 2cacosB c2 a2 b2 2abcosC 3 三角形的面积公式 1 2 1 aha 2 1 bhb 2 1 chc ha hb hc分别表示 a b c 上的高 2 2 1 absinC 2 1 bcsinA 2 1 acsinB 3 sin 2 sinsin 2 CB CBa sin 2 sinsin 2 AC ACb sin 2 sinsin 2 BA BAc 4 2R2sinAsinBsinC R 为外接圆半径 5 R abc 4 6 csbsass 2 1 cbas 7 r s 4 解三角形 由三角形的六个元素 即三条边和三个内角 中的三个元素 其中至少有一个是边 求其他未知元素的问题叫做解三角形 广义地 这里所说的元素还可以包括三角形的高 中线 角 平分线以及内切圆半径 外接圆半径 面积等等 解三角形的问题一般可分为下面两种情形 若给 出的三角形是直角三角形 则称为解直角三角形 若给出的三角形是斜三角形 则称为解斜三角形 解斜三角形的主要依据是 设 ABC 的三边为 a b c 对应的三个角为 A B C 1 角与角关系 A B C 2 边与边关系 a b c b c a c a b a b c b c b 3 边与角关系 正弦定理 R C c B b A a 2 sinsinsin R 为外接圆半径 余弦定理 c2 a2 b2 2bccosC b2 a2 c2 2accosB a2 b2 c2 2bccosA 它们的变形形式有 a 2R sinA b a B A sin sin bc acb A 2 cos 222 5 三角形中的三角变换 三角形中的三角变换 除了应用上述公式和上述变换方法外 还要注意三角形自身的特点 1 角的变换 因为在 ABC 中 A B C 所以 sin A B sinC cos A B cosC tan A B tanC 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin CBACBA 2 三角形边 角关系定理及面积公式 正弦定理 余弦定理 r 为三角形内切圆半径 p 为周长之半 3 在 ABC 中 熟记并会证明 A B C 成等差数列的充分必要条件是 B 60 ABC 是正三角形的充分必要条件是 A B C 成等差数列且 a b c 成等比数列 四 典例解析四 典例解析 题型 1 正 余弦定理 例 1 1 在 ABC中 已知 0 32 0 A 0 81 8 B 42 9 acm 解三角形 2 在 ABC中 已知20 acm 28 bcm 0 40 A 解三角形 角度精确到 0 1 边长精确到 1cm 解析 1 根据三角形内角和定理 0 180 CA B 000 180 32 081 8 0 66 2 根据正弦定理 0 0 sin42 9sin81 8 80 1 sin sin32 0 aB bcm A 根据正弦定理 0 0 sin42 9sin66 2 74 1 sin sin32 0 aC ccm A 2 根据正弦定理 0 sin28sin40 sin0 8999 20 bA B a 因为 0 0 B 0 180 所以 0 64 B 或 0 116 B 当 0 64 B时 00000 180 180 4064 76 CA B 0 0 sin20sin76 30 sin sin40 aC ccm A 当 0 116 B时 00000 180 180 40116 24 CA B 0 0 sin20sin24 13 sin sin40 aC ccm A 点评 应用正弦定理时 1 应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时 可能有两解的情形 2 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 例 2 1 在 ABC 中 已知2 3 a 62 c 0 60 B 求 b 及 A 2 在 ABC 中 已知134 6 acm 87 8 bcm 161 7 ccm 解三角形 解析 1 222 2cos bacacB 22 2 3 62 2 2 3 62 cos 0 45 2 12 62 4 3 3 1 8 2 2 b 求A可以利用余弦定理 也可以利用正弦定理 解法一 cos 222222 2 2 62 2 3 1 22 2 2 2 62 bca A bc 0 60 A 解法二 sin 0 2 3 sinsin45 2 2 a AB b 又 62 2 4 1 4 3 8 2 3 2 1 8 3 6 a c 即 0 0 A 0 90 0 60 A 2 由余弦定理的推论得 cos 222 2 b ca A bc 222 87 8161 7134 6 2 87 8 161 7 0 5543 0 56 20 A cos 222 2 cab B ca 222 134 6161 787 8 2 134 6 161 7 0 8398 0 32 53 B 0000 180 180 56 2032 53 CA B 0 90 47 点评 应用余弦定理时解法二应注意确定 A 的取值范围 题型 2 三角形面积 例 3 在中 求Atan的值和的面积 解法一 先解三角方程 求出角 A 的值 2 1 45cos 2 2 45cos 2cossin A AAA 又 4560 105 AA 13 tantan 4560 23 13 A 4 62 60sin45cos60cos45sin 6045sin 105sinsin A 解法二 由sincosAA 计算它的对偶关系式sincosAA 的值 0 cos 0sin 1800 2 1 cossin2 2 1 cos sin 2 AAA AA AA 2 3 cossin21 cos sin 2 AAAA 得 得 从而 sin264 tan23 cos426 A A A 以下解法略去 点评 本小题主要考查三角恒等变形 三角形面积公式等基本知识 着重数学考查运算能力 是一 道三角的基础试题 两种解法比较起来 你认为哪一种解法比较简单呢 例4 06年湖南 已知 ABC的三个内角A B C成等差数列 其外接圆半径为1 且有 2 2 cos 2 2 sinsin CACA 1 求A B C的大小 2 求 ABC的的面积 解析 A B C 180 且2B A C B 60 A C 120 C 120 A 2 2 cos 2 2 sinsin CACA 60 sin21 2 2 cos 2 3 sin 2 1 02 AAA 2 2 2 2 60sin 0 60sin 0 60sin 21 60sin 0000 AAAA或 又 0 A 180 A 60 或A 105 当A 60 时 B 60 C 60 4 33 60sin4 2 1 sin 2 1 032 RBacS此时 当A 105 时 B 60 C 15 4 3 60sin15sin105sin4 2 1 sin 2 1 0002 RBacS此时 点评 要善于借助三角形内的部分变形条件 同时兼顾三角形的面积公式求得结果 题型 3 与三角形边角相关的问题 例 5 1 2005 江苏 5 ABC 中 3 3 ABC 则 ABC 的周长为 A 4 3sin 3 3 B B 4 3sin 3 6 B C 6sin 3 3 B D 6sin 3 6 B 2 06 年全国 2 文 17 在 2 5 45 10 cos 5 ABCBACC 中 求 1 BC 2 若点D AB是的中点 求中线C D 的长度 解析 1 答案 D 解析 在ABC 中 由正弦定理得 2 3 3 sin B AC 化简得 AC sin32B 2 3 3 3 sin B AB 化简得 AB 3 2 sin 32B 所以三角形的周长为 3 AC AB 3 Bsin32 3 2 sin 32B 3 3 6 sin 6cos3sin33 BBB 故选 D 2 解 1 由 2 55 cossin 55 CC 得 23 10 sinsin 18045 cossin 210 ACCC 由正弦定理知 10 3 10 sin3 2 sin102 2 AC BCA B 2 105 sin2 sin52 2 AC ABC B 1 1 2 BDAB 由余弦定理知 22 2cos 2 1 182 1 3 213 2 CDBDBCBD BCB 点评 本题考查了在三角形正弦定理的的运用 以及三角公式恒等变形 化简等知识的运用 例 6 在锐角ABC 中 角ABC 所对的边分别为abc 已知 2 2 sin 3 A 1 求 22 tansin 22 BCA 的值 2 若2a 2 ABC S 求b的值 解析 1 因为锐角 ABC 中 A B C 2 2 sin 3 A 所以 cosA 1 3 则 2 222 2 BC sin BCAA 2 tansinsin BC 222 cos 2 1cos BC11cosA17 1cosA 1cosBC21cosA33 2 ABCABC 112 2 S2SbcsinAbc 223 AA 因为 又 则 bc 3 将 a 2 cosA 1 3 c 3 b 代入余弦定理 222 abc2bccosA 中 得 42 b6b90 解得 b 3 点评 知道三角形边外的元素如中线长 面积 周长等时 灵活逆用公式求得结果即可 题型 4 三角形中求值问题 例 7 ABC 的三个内角为ABC 求当 A 为何值时 cos2cos 2 BC A 取得最大值 并求出 这个最大值 解析 由 A B C 得 所以有 cos sin B C 2 2 A 2 B C 2 A 2 cosA 2cos cosA 2sin 1 2sin2 2sin 2 sin 2 B C 2 A 2 A 2 A 2 A 2 1 2 3 2 当 sin 即 A 时 cosA 2cos取得最大值为 A 2 1 2 3 B C 2 3 2 点评 运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式 通过三角函数的性 质求得结果 例 8 06 四川文 18 已知 A B C 是ABC 三内角 向量 3 1 m sin cosAAn 且 1 nm 求角 A 若 22 1 sin2 3 cossin B BB 求t anC 解析 1m n 1 3cos sin1AA 即3sincos1AA 31 2 sincos1 22 AA 1 sin 62 A 5 0 666 AA 66 A 3 A 由题知 22 12sincos 3 cossin BB BB 整理得 22 sinsincos2cos0BBBB cos0B 2 tantan20BB tan2B 或tan1B 而tan1B 使 22 cossin0BB 舍去 tan2B 点评 本小题主要考察三角函数概念 同角三角函数的关系 两角和与差的三角函数的公式以及倍 角公式 考察应用 分析和计算能力 题型 5 三角形中的三角恒等变换问题 例 9 在 ABC 中 a b c 分别是 A B C 的对边长 已知 a b c 成等比数列 且 a2 c2 ac bc 求 A 的大小及 c Bbsin 的值 分析 因给出的是 a b c 之间的等量关系 要求 A 需找 A 与三边的关系 故可用余弦定理 由 b2 ac 可变形为 c b2 a 再用正弦定理可求 c Bbsin 的值 解法一 a b c 成等比数列 b2 ac 又 a2 c2 ac bc b2 c2 a2 bc 在 ABC 中 由余弦定理得 cosA bc acb 2 222 bc bc 2 2 1 A 60 在 ABC 中 由正弦定理得 sinB a Absin b2 ac A 60 ac b c Bb 60sinsin 2 sin60 2 3 解法二 在 ABC 中 由面积公式得 2 1 bcsinA 2 1 acsinB b2 ac A 60 bcsinA b2sinB c Bbsin sinA 2 3 评述 解三角形时 找三边一角之间的关系常用余弦定理 找两边两角之间的关系常用正弦定理 例 10 2002 京皖春 17 在 ABC 中 已知 A B C 成等差数列 求 2 tan 2 tan3 2 tan 2 tan CACA 的值 解析 因为 A B C 成等差数列 又 A B C 180 所以 A C 120 从而 2 CA 60 故 tan3 2 CA 由两角和的正切公式 得3 2 tan 2 tan1 2 tan 2 tan CA CA 所以 2 tan 2 tan33 2 tan 2 tan CACA 3 2 tan 2 tan3 2 tan 2 tan CACA 点评 在三角函数求值问题中的解题思路 一般是运用基本公式 将未知角变换为已知角求解 同 时结合三角变换公式的逆用 题型 6 正 余弦定理判断三角形形状 例 11 2002 上海春 14 在 ABC 中 若 2cosBsinA sinC 则 ABC 的形状一定是 A 等腰直角三角形B 直角三角形 C 等腰三角形D 等边三角形 答案 C 解析 2sinAcosB sin A B sin A B 又 2sinAcosB sinC sin A B 0 A B 点评 本题考查了三角形的基本性质 要求通过观察 分析 判断明确解题思路和变形方向 通畅 解题途径 例 12 06 安徽理 11 如果 111 ABC 的三个内角的余弦值分别等于 222 A B C 的三个内角的正弦值 则 A 111 ABC 和 222 A B C 都是锐角三角形 B 111 ABC 和 222 A B C 都是钝角三角形 C 111 ABC 是钝角三角形 222 A B C 是锐角三角形 D 111 ABC 是锐角三角形 222 A B C 是钝角三角形 解析 111 ABC 的三个内角的余弦值均大于 0 则 111 ABC 是锐角三角形 若 222 A B C 是锐角三角形 由 211 211 211 sincossin 2 sincossin 2 sincossin 2 AAA BBB CCC 得 21 21 21 2 2 2 AA BB CC 那么 222 2 ABC 所以 222 A B C 是钝角三角形 故选 D 点评 解决此类问题时要结合三角形内角和的取值问题 同时注意实施关于三角形内角的一些变形 公式 题型 7 正余弦定理的实际应用 例 13 06 上海理 18 如图 当甲船位于 A 处时获悉 在其正东方 向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往救援 同 时把消息告知在甲船的南偏西 30 相距 10 海里 C 处的乙船 试问乙船 应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援 角度精确到 1 解析 连接 BC 由余弦定理得 BC2 202 1022 20 10COS120 700 于是 BC 107 710 120sin 20 sin ACB sin ACB 7 3 ACB 90 ACB 41 乙船应朝北偏东 71 方向沿直线前往 B 处救援 点评 解三角形等内容提到高中来学习 又近年加强数形结合思 想的考查和对三角变换要求的降低 对三角的综合考查将向三角形中 问题伸展 但也不可太难 只要掌握基本知识 概念 深刻理解其中 基本的数量关系即可过关 北 20 10 A B C D A B C M N 例 14 06 江西理 19 如图 已知 ABC 是边长为 1 的正三角形 M N 分别是 边 AB AC 上的点 线段 MN 经过 ABC 的中心 G 设 MGA 2 33 1 试将 AGM AGN 的面积 分别记