数学北师大版一年级下册完全平方公式的认识.docx

课题：16 完全平方公式（第1课时）【北师大版七年级下学期】 漳州 市 漳浦 县（市、区） 学校 漳浦立人学校 姓名 黄顺伟 内容分析1. 课标要求能推导乘法公式：（ab）2=a22ab+b2,了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单的计算。2. 教材分析知识层面：在学习完全平方公式之前，已经学习了整式的乘法即多项式乘以多项式，平方差公式等知识，为本课程提供了算理的指导。平方差公式也为完全平方公式提供了推导公式的数学活动经验，最后完全平方公式也是七年级学生接触的第二个重要的整式乘法公式，为今后的因式分解，解一元二次方程等内容奠定了知识基础。能力层面：在小学第二学段，七年级上学期学生已经掌握了运用法则和运算律进行数的运算的能力、数学归纳能力和推理能力。同时整式加减、整式乘法的能力已经形成。完全平方公式是多项式乘以多项式运算的直接结果，是多项式乘多项式运算的一种特殊情况，对于帮助特殊情况下的整式乘法提供简便计算的知识基础。另外，课程设计上也重视完全平方公式的几何背景，让学生体会和掌握运用几何知识探索公式的过程。帮助学生形成综合运用数学知识的能力。思想层面：探索完全平方公式的过程其实是经历了从一般到特殊的过程，该过程蕴含了数学归纳思想、合情推理和演绎推理相结合的过程。其中，教科书“想一想”通过几何直观的形式展现出求正方形面积的过程，是把数与代数的知识和图形与几何的知识相结合，体现了数形结合思想和模型思想。 3. 学情分析通过课前预习和导读提纲的引领下，班级大约二分之一的学生已经知道什么是完全平方公式，但是他们只是停留在公式法则的机械套用，没有深刻领会完全平方公式推导过程与过往知识的联系（班级大约三分之一的学生能够通过自己归纳领会完全平方公式的推导过程）或者没有领悟到为什么要从多项式乘多项式当中总结出完全平方公式，在运用是还存在着一定的疑惑，同时，对于完全平方公式的几何背景，没有深刻领悟数与代数与图形与几何之间的联系。对于完全平方公式的结构特点了有了初步体会，但在完全平方公式的实际运用上对于符号的变形、漏项等问题还存在不同程度的混乱。在小学的基础和七年级上册整式的加减已经形成初步的符号意识，并且掌握了一定的运用法则计算的能力和推理能力。同时在本章前几节的整式乘法的基础上已经掌握了整式乘法法则和整式乘法的计算原理，为完全平方公式的推导做了一定的知识铺垫。同时在此之前的课程中数形结合一直都在渗透，并且学生有一定的意识。结合上一节平方差公式的课程中也积累了一定的数学活动经验。对于教学内容的了解，学生能通过教科书中列举的两个具有相同特征的等式，并且通过书中展示的步骤发现其中的规律，结合完全平方公式，能领会规律之间的联系，但对于完全平方公式的推导没有系统的掌握。同时对与完全平方公式的几何背景，更多的停留在几何求解的基础之上，对于数与代数与图形与几何之间的联系缺乏系统的归纳与领悟。对与例题部分的公式运用，只是停留在套用公式上，缺乏对公式的活学活用，特别是符号的处理、漏项等问题还要进一步加强。这也是对完全平方公式的结构特征没有真正掌握的原因。教学目标1.经历探索完全平方公式的过程，会推导完全平方公式，了解完全平方公式的几何背景。知识技能2. 体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算，会将几何问题转化成数与代数的问题。数学能力3. 由整式乘法推导出完全平方公式发展符号意识和数学推理能力，通过几何背景的推导渗透数形结合思想。数学思想【设计意图】1.经历探索完全平方公式的过程，能够理解完全平方公式的由来并且深层次了解公式的结构特征为公式的灵活运用做铺垫.2.对于数与代数问题，能够进行推导，理解公式的结构特征，灵活运用公式参与计算，在公式的几何背景的引领下能够主动想到把几何问题转化为数与代数的问题。3.完全平方公式的推导过程蕴含着数学归纳和推理的数学思想，学生推导的过程，进一步体会归纳、推理的思想，学生经历公式的几何推导过程中，可以体会数形结合思想的作用。教学重点、难点1.教学重点：会推导完全平方公式，并能运用公式进行计算，掌握公式的结构特征；2.教学难点：了解完全平方公式的几何背景。教学策略讲授法、几何直观、自主探究、小组讨论教学过程一、复习引入在新知识学习之前先引导学生回顾整式乘法多项式乘多项式的法则:(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(先给出多项式乘多项式让学生回顾思考法则，再提问学生回答，并把法则算式板书在教学主板上)进一步复习平方差公式：a2- b2=（a+b）(a-b) (先给出平方差公式的前半部分，让学生先回顾思考，再请学生回答，并把公式板书在教学主板上。)【设计意图】1.完全平方公式的代数意义是通过整式的乘法即多项式乘多项式的原理作为基础知识，这里设计复习多项式乘多项式的法则也是为后面的新授的公式推导提供了知识铺垫。2.平方差公式和完全平方公式不管是从公式的推导，公式的结构都有很高的相似度，同时在完全平方公式2的课程中会出现两个公式的综合运用。这里设计回顾平方差公式第一为了与完全平方公式对辨析对比，防止混淆，也让学生回顾平方差推导的过程，为推导完全平方公式积累数学活动经验，又为完全平方公式2中的综合运用做知识铺垫。二、新知学习列举与教科书p37页 两个具有与完全平方公式相同特征的算式让学生计算：（m+5）2 (3+4x)2 师：先看一下题目，把它们坐在课堂练习本上，我们待会请两位同学上来解这两道题。（邀请学生上台做题）在做题的过程中教师要引导学生细心观察这两道计算题中有什么特点，有什么规律。（待学生完成解题后，与学生一起观察台上的两位同学的解题是否正确，若这确给予肯定评价并与学生掌声鼓励，若错误引导全班一起改正错误。进一步结合解题过程的引导思考“两道题有什么特点”“有什么规律”“有什么共同点”引导全班学生一起思考，提问学生收集不同的答案）生1：这两道题都是括号平方的形式；生2：中间两项都一样；（师追问哪里的两项一样）多项式乘开的中间两项一样。生3：多项式乘开的中间两项一样，都可以和成两倍的形式。师总结：这两道题都是括号的平方的形式，可以结合我们之前学过的多项式乘以多项式的法则乘开，发现乘开过程中有两项是平方的形式，另外有两项是一样的，又可以用合并同类项的知识合并起来，形成下面这种形式。都有这种规律，我们能不能像昨天平方差公式那样总结出公式出来呢？生：可以；追问：（a+b）2等于什么呢？生：(a+b)2=a2+2ab+b2（师把公式板书在教学主板上）师：这样的公式就是今天我们要学习的完全平方公式（在教学主板上板书课题“完全平方公式”）【设计意图】教科书列举两个具有相同特征的等式要让学生自主探究，在课前预习的环节班级大部分学生能从教科书中展现的步骤领会其中的规律，即和下文的完全平方公式做对应，但是学生大部分停留在套用公式的基础之上，忽略了完全平方公式的由来是由多项式乘多项式展开而来。同时教科书有在提示“再列举两例验证你的发现”，正好以此为契机再列举两例相同的等式引入。放手让学生去计算并且找出其中的规律和联系，设置学生提问环节是想从班级学生中收集探究结果，依次来验证学生的预习情况和掌握情况如何，再进一步确定教师总结完全平方公式的详略，通过收集学生的答案教师应该系统的归纳出完全平方公式的算理是通过整式乘法的运算得来的，让学生明白完全平方公式的由来，初步形成对公式的理解。同时，再讲明完全平方公式之“和的平方”的形式后引出课题“完全平方公式”。为后面探究完全平方公式之“差的平方”做铺垫。二、自主探究通过完全平方公式之“和的平方”的推导，进一步引导“差的平方“公式。师：刚刚我们推导了(a+b)2=a2+2ab+b2的形式，那么（a-b）2是否依然有规律。结合我们刚刚的推导方式，想一想是否有联系。请同学们在自己的课堂练习本验证一下。（师走动观察，查看学生的自主探究情况，注意教科书上的两种形式，有意识地请两位同学上台板演出自己的推导过程。）生1：（a-b）2=(a-b)(a-b) =a2-2ab+b2生2:（a-b）2=a+(-b)2=a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2（待两位学生完成之后）师：（提问班级学生看反馈）和生1的方法一样的举手，和生2的方法一样的举手。提问生1，你的解题思路是什么，根据什么知识来做这道题。生1：根据多项式乘以多项式的方法来做的，把（a-b）看做一个整体，在经过化简得到。师给予表扬肯定，引导班级掌声鼓励（如若回答不明确，师应引导其总结算理在于运用整式乘法的思路）师进而系统的总结以上的思路是根据整式乘法之多项式乘多项式的原理，并经过合并同类项得到，与“和的平方“推导方法类似。师进一步提问生2：请你说一说你的解题思路是什么？生2：我是根据上面所学的完全平方公式的得来的，因为减去一个数等于加上这个数的相反数，所以可以套用上面的公式。师给予肯定回答，并引导班级学生掌声鼓励。（对于回答错误，师应该引导学生：这种方法是结合“和的平方”的公式，和整式加减的知识点得来的）师总结：通过我们上面两种解题思路我们可以得到（a-b）2=a2-2ab+b2。我们可以从生1的方法推导出来，也可以从生2的方法推导出来（结合两位学生的板书，一起总结下来。并把（a-b）2=a2-2ab+b2板书到教学主板上）【设计意图】教科书议一议已经给出两种关于“差的平方”的公式推导，学生通过预习对于“差的平方”的公式推导有了基本的印象，所以设置让学生自主探究即可。在探究过程中大部分学生能根据以后知识和数学活动经验得出正确的结果，教师走动观察查找“合适”的答案让学生上台板书是想让学生把推导过程还原出来，在教师总结部分能依赖学生的步骤进行分步骤总结，同时也查看学生的反馈情况，了解学生掌握算理的情况如何。最后的总结是照顾到学习比较缓慢的同学有一个探究之后在整理的过程，照顾到班级各层次的学生领回完全平方公式的推导原理。三、合作提升刚刚通过整式加减和整式乘除的方式来推导完全平方公式，接下来教师进一步引导完全平方公式的几何推导过程，让数与代数与图形与几何联系起来。探究过程中采用小组讨论的方式来得出不同的结果，最终在总结中得到知识的统一。师：刚刚我们通过整式的乘法来得出完全平方公式的推导过程，接下来我们采用小组讨论的形式讨论一下书中“想一想”的正方形面积与我们今天学习的完全平方公式有什么联系？（学生学习小组开始讨论，讨论过程中，教师走动到每个小组观察讨论情况，参与学生之间的讨论，收集小组之间的不同思路，为选取小组代表提问做铺垫，走动过程中要帮助小组引导从求面积的角度去思考它们之间的联系）aabb师：我观察到各个小组讨论的思路各不相同，我们请一些小组的代表起来分享一下小组的思路。小组1：我们把整块正方形看做一个整体，正方形的边长是（a+b）,所以正方形的面积就是（a+b）2。另外我们把正方形按着它的画线分成四块面积，总面积就是四块面积的和也就是a2+b2+ab+ab正好等于（a+b）2的展开形式。师：非常好，他们把正方形看成一个整体求面积得出（a+b）2，再把正方形分成四块求面积，其实就发现原来就是（a+b）2的展开形式即a2+b2+2ab。（边总结他们的思路边在黑板上的几何图形标出对应的量）师：其他组的同学有不同的方法吗？有的请举手。小组2：我们是把整块面积横向分成两块，边长一边是（a+b）和a,另一块边长是（a+b）和b，所以他们的面积和等于a(a+b)-b(a+b),然后用分配率计算发现就等于完全平方公式的展开形式。师：很好，他们这组的方法不同，他们是把正方形横向分成两块，然后进行求解，发现用分配率求解就得到与完全平方公式的联系。当然后面分配率算开的这些，其实就是四块小的面积的和。（教师边分析，边结合图形讲解，做到讲演结合。）我们推导的是（a+b）2=a2+b2+2ab的形式，那么（a-b）2=a2+b2-2ab的形式如何结合几何图形来推导呢？这在我们书本p24的做一做，我们把它作为小组课下讨论作业，请小组长记录一下，结合我们刚刚讨论的思路去探究。【设计意图】完全平方公式的几何背景探索起来比较富有乐趣，设置小组讨论提高学生的学习主动性和学习热情。同时从几何的角度联系到完全平方公式有多种思路，可以发展学生的探究能力，积累数学活动经验。在小组讨论过程当中教师要参与到小组讨论当中，第一起到引导小组讨论的思路不要偏题，第二了解班级小组讨论情况为后面分享学生探究思路做准备。在小组讨论完设置提问环节，目的在于把学生讨论思路分享出来，教师的总结起到系统归纳知识点的作用，做到外化思路显性教学，让学习薄弱的学生也能通过分享总结，获得思路。最后把教科书中的“做一做”留作课后小组谈论作业，目的在于用课上学习的方法延伸至课后讨论，在知识的思维活动在学生头脑当中保持一定的时间，通过讨论开发数学探究思维和发展推理能力，同时也提高课堂效率。四、引导发展经历完全平方公式的代数意义和几何意义的推导，开始过渡到在实际的习题当中实践发现新的规律、总结规律，进而对完全平方公式的结构特征有了更深的认识。师：前面我们学习了完全平方公式是怎么来的，现在我们一起在习题当中实践计算一样，看看有没有什么规律。2、（-m+8）2=(-m)2+28(-m)+82=m2-18m+641、（m+8）2 =m2+28m+82 =m2+16m+64 教师给出四道习题（请四位同学上台板演）：4、（-m-8）2=(-m)2-28(-m)+82=m2+16m+643、（m-8）2 =m2-28m+82 =m2-16m+64 （师待学生完成之后，根据解题步骤总结规律，正确给予鼓励，若出现错误，根据错误讲解易错点，并在计算当中讲解计算应该注意的地方。）师：第1题很简单因为完全平方公式很清楚，直接运用公式简便计算。第2题要注意把-m看做一个整体，在运用公式参与计算。第3题也很清楚明了直接运用公式参与计算。第4题要注意的是可以把-m看做一个整体，后面的“-”看成减号，8再看做一个整体，运用完全平方公式进行简便计算。（在总结过程中要结合学生板书的步骤分析，让学生清楚步骤。）（进一步四道题最终结果做规律总结的引导）师：我们根据题目的最终答案对比一下有什么特点。生：第1题和第4题的答案一致，第2题和第3题的答案一致.师：我们在观察他们的算式之间有什么特点？生：第1题和第4题括号内的数字是同号的，第2题和第3题括号内的符号是相反的。师：那这样我们是不是可以把这个规律统称为：“同号得正，异号得负”（结合板书讲解）师总结：根据完全平方公式我们可以知道它们的计算结果有括号内两项的平方，和它们乘积的两倍，在符号问题上我们可以观察两项是同号还是异号，根据同号得正，异号得负来帮助我们检验结果正确与否。（结合板书讲解）【设计意图】本环节设计四到类型题，其中数字和字母一样，区别在于符号的不同。目的在于让学生体会在运用完全平方公式过程当中，遇到不用的符号问题应该如何处理和如何运用公式参与运算，也为进一步突破解题过程中符号对应用的干扰。数值上设计相同是为了加快学生们的解题速度，因为本环节在于突破公式的符号问题和公式的运用，在计算环节上减轻难度，提高课堂效率。设计学生上台板演是为了更加直观的反馈出学生现在在运用公式这方面的掌握情况，同时也给教师提供了分析总结规律的步骤。结尾的分析总结是为了帮助学生进行知识的建构过程，让知识系统化。让学生更深层次的理解完全平方公式的结构特征。五、成效评价总结完完全平方公式的结构特点，教师慢慢过渡的实际例题的训练，反馈计算结果。师：发现公式的规律之后，我们开始在实际计算总实践一下看看我们的规律对我们的计算有没有帮助。师：下面我们进入书中的随堂练习，完成下面这三题。生开始计算，教师走动观察计算情况。师在多媒体上展示计算结果，让学生举手反馈正确与否。师进行课堂总结：师：这节课我们学了什么生：完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a