第四章-矩阵特征值和特征向量

第四章第四章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 教学安排说明教学安排说明 章节题目 4 1 矩阵的特征值与特征向量 4 2 相似矩阵与矩阵对角化 学时分配 共 4 学时 4 1 矩阵的特征根与特征向量 2 学时 4 2 相似矩阵与矩阵对角化 2 学时 本章教学目的与要求 目的 通过教学使学生掌握特征根 特征向量 特征多项式等概念 熟练掌 握计算特征根与特征向量的方法 属于不同特征根的特征向量的关系 可对角化 的判定和计算 要求是 1 正确理解方阵的特征根 特征多项式 特征方程和特征向量等概念 2 重点掌握特征根和特征向量的性质和求法 本章的难点 3 深刻理解相似矩阵的概念 并熟练掌握它们的性质 4 重点掌握方阵相似对角矩阵的条件 本章的难点 课 堂 教 学 方 案 课程名称 4 1 特征值与特征向量 授课时数 2 学时 授课类型 理论课 教学方法与手段 讲授法 教学目的与要求 掌握特征根 特征向量 特征多项式概念及特征根 特征向量 的求法 教学重点 难点 特征根 特征向量 特征多项式概念及求法 教学内容 4 1 4 1 特征值与特征向量特征值与特征向量 1 11 1 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量 定义定义 1 1 设是阶方阵 若存在常数和非零维向量使关系式A n nx 1 A xx 成立 则称数为方阵的特征值 非零向量称为对应于特征值的特征向量 AxA 下面讨论如何求矩阵的特征值与特征向量 设有阶方阵 n 和维列向量 nnnn n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 n n x x x x 2 1 将 1 式改写成 2 0AE x 得到一个含个未知数个方程的齐次线性方程组 nn 0 0 0 2211 2222121 1212111 nnnnn nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa 此方程组有非零解的充分必要条件是其系数行列式 0 EA 即 0 21 22212 11211 nnnn n n aaa aaa aaa 定义定义 2 2 设为阶方阵 含有未知量的矩阵称为矩阵的特征矩阵 其行A n EA A 列式是的次多项式 称为矩阵的特征多项式 记作 称为 EA nA f 0 EA 矩阵的特征方程 A 是矩阵的一个特征值 则一定是的根 因此矩阵的特征值又称为矩 A 0 EA A 阵的特征根 在复数范围内 阶方阵有个特征值 A nn 关于特征向量 做几点说明 1 对于每一个特征值 与对应的特征向量有无穷多个 这是因为齐次方程组i i 0 i AE x 每一个非零解都是的对应于的特征向量 Ai 2 对应于同一特征值的特征向量的线性组合 仍是特征向量 3 不同的特征值所对应的特征向量不相等 即一个特征向量只能对应于一个特征 值 综上所述 得到矩阵的特征值与特征向量的求法 A 1 求出特征方程的全部根 重根按重数计算 则 0 EA n 21 就是方阵的全部特征值 n 21 2 对的每个特征值 分别代入 得齐次线性方程组A i 0 i AE x 0 i AE x 3 求的基础解系 其中每个解向量都是对应于的特征向量 基 0 i AE x A i 础解系的线性组合就是对应于的全部特征向量 A i 例例 1 1 求矩阵的特征值和特征向量 31 13 A 例例 2 2 求矩阵 310 410 482 A 的特征值和特征向量 1 21 2 特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质 性质性质 1 1 若阶方阵A的特征值为 则 n n 21 1 nnn aaa 221121 2 A n 21 如例 2 中矩阵的特征值 则 284 014 013 A 2 1 321 0 321 0 2 1 3 332211 aaa2 2 11 321 2 14 13 2 284 014 013 性质性质 2 2 若向量分别是矩阵A的对应于不同特征值的特征向量 则 12 xx 21 线性无关 12 xx 证明证明 若线性相关 因为都是非零向量 则有数使得 即 12 xx 12 xx k21 k xx 也是A的对应于的特征向量 与已知条件矛盾 所以 线性无关 2 x 1 12 xx 一般地 如果是矩阵A的不同特征值 而是A的对应于的t 21 12 i iiis i 线性无关的特征向量 则向量组也线性无关 2 1 ti 1 1112112 t sttts 性质性质 3 3 n阶矩阵A与它的转置矩阵 T A的特征值相同 证明证明 因为 TT EAEAEA 所以A与 T A的特征多项式相同 从而它们的特征值相同 性质性质 4 4 设 是n阶矩阵的特征值 则 2 是 2 A的特征值 A 证明证明 因为 是A的特征值 所以 用左乘上式 得 A xx A 2 xAAxAAAxxA 由于以及特征值的定义知的xxAxxAxA 2 0 x 22 A是 特征值 课后作业课后作业 习题四习题四 1 1 2 2 课 堂 教 学 方 案 课程名称 4 2 矩阵的相似与矩阵的对角化 授课时数 2 学时 授课类型 理论课 教学方法与手段 讲授法 教学目的与要求 掌握矩阵相似的定义及相关的性质 理解矩阵可对角化的条件 教学重点 难点 矩阵相似的定义及相关的性质 矩阵可对角化的条件 教学内容 4 2 4 2 矩阵的相似与矩阵的对角化矩阵的相似与矩阵的对角化 在矩阵的运算中 对角矩阵的运算最方便 自然要问 对于一个阶方阵 是否可化为nA 对角矩阵 且保持矩阵的一些重要性质 本节将讨论这个问题 A 2 12 1 矩阵相似的定义矩阵相似的定义 定义定义 1 1 设 都是阶矩阵 如果有可逆矩阵 P 使 则称是的A BnBAPP 1 BA 相似矩阵 或称矩阵与相似 记为 其中矩阵称为相似变换矩阵 ABBA P 从定义显然可看出 矩阵的相似关系具有以下性质 1 反身性 对任意阶矩阵 有相似 nAAA与 2 对称性 若相似 则与相似 BA与BA 3 传递性 若与相似 且与相似 则与相似 ABBCAC 2 22 2 相似矩阵的性质相似矩阵的性质 定理定理 1 1 相似矩阵有相同的特征多项式 证明证明 设矩阵与矩阵相似 所以存在可逆矩阵 使 于是ABPBAPP 1 PEPAPPEAPPEB 111 EPPAPP 11 EAPEAPPEAP 11 所以 矩阵与矩阵有相同的特征多项式 AB 但应注意 定理的逆命题不成立 例如 矩阵 它们的特征多 10 11 10 01 BA 项式均为 但他们不是相似矩阵 2 1 定理定理 2 2 相似矩阵有相同的行列式值 证明证明 设矩阵与矩阵相似 所以存在可逆矩阵 使 于是根据方阵ABPBAPP 1 行列式性质 两边求行列式 得 即 故矩阵 A 与 BAPAPAPPB 11 BA 有相同的行列式值 定理定理 3 3 相似矩阵有相同的可逆性 且当它们都可逆时 其逆矩阵也相似 证明证明 设矩阵与矩阵相似 则 故矩阵与矩阵具有相同的可逆性 若ABBA AB 矩阵与矩阵相似且都可逆 则存在可逆矩阵 使得 于是ABPBAPP 1 PAPPAPAPPB 111111111 即相似 11 BA 与 定理定理 4 4 相似矩阵有相同的秩 证明证明 留给读者 2 32 3 矩阵相似的条件矩阵相似的条件 由于相似矩阵具有很多共同的性质 在研究矩阵性质时 可通过与其相似的简单矩阵的 性质来研究 在阶矩阵中 对角矩阵是一类很简单的矩阵 下面研究矩阵与对角矩阵的关n 系 定理定理 5 5 阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是矩阵nA n 2 1 有个线性无关的特征向量 An 证明证明 必要性 设矩阵与对角矩阵相似 即存在可逆矩阵 使得AP n APP 2 1 1 那么 PAP 设 则可写成 21n P PAP n nn A 2 1 2121 nn 2211 可得 2 1 niA iii 因为可逆 有 所以都是非零向量 因而P0 P 2 1 ni i 都是 A 分别对应于特征值的特征向量 并且这个特征向量线性无关 n 21i n 充分性 设为的个线性无关特征向量 它们对应的特征值依次为 n 21 An 则有 n 21 令 因为线性无关 2 1 niA iii 21n P n 21 所以可逆 且P 2121nn AAAAAP 2211nn n n 2 1 21 P 用左乘上式两端 得 即矩阵与对角矩阵相似 1 P APP 1 A 当矩阵与对角矩阵相似时 可逆矩阵由特征向量构成 其对角矩阵的主对A P 角线上的元素为的特征值 A 推论推论 若阶矩阵有个相异的特征值 则与对角矩阵nAn n 21 A n 2 1 相似 注意 推论的逆命题不一定成立 对于阶方阵 若存在可逆矩阵 使为对角阵 则称方阵可对角化 nAP APP 1 A 定理定理 6 6 阶矩阵可