云南省昭通市实验中学高中数学《第一章 解三角形》同步练习 新人教A必修5

用心 爱心 专心1 云南省昭通市实验中学高中数学云南省昭通市实验中学高中数学 第一章第一章 解三角形解三角形 同步练习同步练习 新人教 新人教 A A 必修必修 5 5 一 选择题一 选择题 1 已知A B两地的距离为 10 km B C两地的距离为 20 km 现测得 ABC 120 则A C两地的距离为 A 10 kmB 103 kmC 105 kmD 107 km 2 在 ABC中 若 2 cos A a 2 cos B b 2 cos C c 则 ABC是 A 等腰三角形B 等边三角形 C 直角三角形D 等腰直角三角形 3 三角形三边长为a b c 且满足关系式 a b c a b c 3ab 则c边的对 角等于 A 15 B 45 C 60 D 120 4 在 ABC中 三个内角 A B C所对的边分别为a b c 且a b c 1 3 2 则 sin A sin B sin C A 3 2 1B 2 3 1C 1 2 3D 1 3 2 5 如果 A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于 A2B2C2的三个内角的正弦值 则 A A1B1C1和 A2B2C2都是锐角三角形 B A1B1C1和 A2B2C2都是钝角三角形 C A1B1C1是钝角三角形 A2B2C2是锐角三角形 D A1B1C1是锐角三角形 A2B2C2是钝角三角形 6 在 ABC中 a 23 b 22 B 45 则 A为 A 30 或 150 B 60 C 60 或 120 D 30 用心 爱心 专心2 7 在 ABC中 关于x的方程 1 x2 sin A 2xsin B 1 x2 sin C 0 有两个不等的实 根 则A为 A 锐角B 直角C 钝角D 不存在 8 在 ABC中 AB 3 BC 13 AC 4 则边AC上的高为 A 2 23 B 2 33 C 2 3 D 33 9 在 ABC中 cba cba 333 c2 sin A sin B 4 3 则 ABC 一定是 A 等边三角形B 等腰三角形 C 直角三角形D 等腰三角形或直角三角形 10 根据下列条件解三角形 B 30 a 14 b 7 B 60 a 10 b 9 那么 下面判断正确的是 A 只有一解 也只有一解 B 有两解 也有两解 C 有两解 只有一解 D 只有一解 有两解 二 填空题二 填空题 11 在 ABC中 a b分别是 A和 B所对的边 若a 3 b 1 B 30 则 A的值是 12 在 ABC中 已知 sin Bsin C cos2 2 A 则此三角形是 三角形 13 已知a b c是 ABC中 A B C的对边 S是 ABC的面积 若a 4 b 5 S 53 求c的长度 14 ABC中 a b 10 而 cos C是方程 2x2 3x 2 0 的一个根 求 ABC周长的 最小值 15 在 ABC中 A B C的对边分别为a b c 且满足 sin A sin B sin C 2 5 6 若 ABC 的面积为 4 393 则 ABC的周长为 16 在 ABC中 A最大 C最小 且 A 2 C a c 2b 求此三角形三边之 比为 用心 爱心 专心3 三 解答题三 解答题 17 在 ABC中 已知 A 30 a b分别为 A B的对边 且a 4 3 3 b 解 此三角形 18 如图所示 在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的 斜度为 15 向山顶前进 100 米后到达点B 又从点B测得斜度为 45 建筑物的高CD 为 50 米 求此山对于地平面的倾斜角 用心 爱心 专心4 19 在 ABC中 A B C的对边分别为a b c 若bcos C 2a c cos B 求 B的大小 若b 7 a c 4 求 ABC的面积 20 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 求证 2 22 c ba C BA sin sin 用心 爱心 专心5 参考答案参考答案 一 一 选择题选择题 1 D 解析 AC2 AB2 BC2 2AB BCcos ABC 102 202 2 10 20cos 120 700 AC 107 2 B 解析 由 2 cos A a 2 cos B b 2 cos C c 及正弦定理 得 2 cos sin A A 2 cos sin B B 2 cos sin C C 由 2 倍角 的正弦公式得 2 sin A 2 sin B 2 sin C A B C 3 C 解析 由 a b c a b c 3ab 得 a2 b2 c2 ab cos C ab cba 2 222 2 1 故C 60 4 D 解析 由正弦定理可得a b c sin A sin B sin C 1 3 2 5 D 解析 A1B1C1的三个内角的余弦值均大于 0 则 A1B1C1是锐角三角形 若 A2B2C2不是钝角三角形 由 112 112 112 2 sincossin 2 sincossin 2 sincossin CCC BBB AAA 得 12 12 12 2 2 2 CC BB AA 那么 A2 B2 C2 2 3 A1 B1 C1 2 与A2 B2 C2 矛盾 用心 爱心 专心6 所以 A2B2C2是钝角三角形 6 C 解析 由 A a sin B b sin 得 sin A b Basin 22 2 2 32 2 3 而b a 有两解 即 A 60 或 A 120 7 A 解析 由方程可得 sin A sin C x2 2xsin B sin A sin C 0 方程有两个不等的实根 4sin2 B 4 sin2 A sin2 C 0 由正弦定理 A a sin B b sin C c sin 代入不等式中得 b2 a2 c2 0 再由余弦定理 有 2ac cos A b2 c2 a2 0 0 A 90 8 B 解析 由余弦定理得 cos A 2 1 从而 sin A 2 3 则AC边上的高BD 2 33 9 A 解析 由 cba cba 333 c2 a3 b3 c3 a b c c2 a3 b3 c2 a b 0 a b a2 b2 ab c2 0 a b 0 a2 b2 c2 ab 0 1 由余弦定理 1 式可化为 a2 b2 a2 b2 2abcos C ab 0 得 cos C 2 1 C 60 由正弦定理 A a sin B b sin 60sin c 得 sin A c a 60sin sin B c b 60sin si n A sin B 2 2 60sin c ab 4 3 用心 爱心 专心7 2 c ab 1 ab c2 将ab c2代入 1 式得 a2 b2 2ab 0 即 a b 2 0 a b ABC是等边三角形 用心 爱心 专心8 10 D 解析 由正弦定理得 sin A b Basin 中 sin A 1 中 sin A 9 35 分析后可 知 有一解 A 90 有两解 A可为锐角或钝角 二 填空题二 填空题 11 60 或 120 解析 由正弦定理 A a sin B b sin 计算可得 sin A 2 3 A 60 或 120 12 等腰 解析 由已知得 2sin Bsin C 1 cos A 1 cos B C 即 2sin Bsin C 1 cos Bcos C sin Bsin C cos B C 1 得 B C 此三角形是等腰三角形 13 21或61 解 S 2 1 absin C sin C 2 3 于是 C 60 或 C 120 又c2 a2 b2 2abcos C 当 C 60 时 c2 a2 b2 ab c 21 当 C 120 时 c2 a2 b2 ab c 61 c的长度为21或61 14 10 53 解析 由余弦定理可得c2 a2 b2 2abcos C 然后运用函数思想加以处理 2x2 3x 2 0 x1 2 x2 2 1 又 cos C是方程 2x2 3x 2 0 的一个根 用心 爱心 专心9 cos C 2 1 由余弦定理可得c2 a2 b2 2ab 2 1 a b 2 ab 则c2 100 a 10 a a 5 2 75 当a 5 时 c最小 且c 75 53 此时a b c 5 5 53 10 53 ABC周长的最小值为 10 53 15 13 解析 由正弦定理及 sin A sin B sin C 2 5 6 可得a b c 2 5 6 于是 可设a 2k b 5k c 6k k 0 由余弦定理可得 cos B ab cba 2 222 kk kkk 622 25 36 4 222 8 5 sin B B 2 cos 1 8 39 由面积公式S ABC 2 1 ac sin B 得 2 1 2k 6k 8 39 4 393 k 1 ABC的周长为 2k 5k 6k 13k 13 本题也可由三角形面积 海伦公式 得 6 2 13 5 2 13 2 2 13 2 13 k k k k k kk 4 393 即 4 393 k2 4 393 k 1 a b c 13k 13 16 6 5 4 解析 本例主要考查正 余弦定理的综合应用 由正弦定理得 c a C A sin sin C C sin 2sin 2cos C 即 cos C c a 2 由余弦定理 cos C ab cba 2 222 ab bcaca 2 2 a c 2b 用心 爱心 专心10 cos C ab ca bcab 2 2 2 a ca ca 2 2 2 c a 2 a ca ca 2 2 2 整理得 2a2 5ac 3c2 0 解得a c或a 2 3 c A 2 C a c不成立 a 2 3 c b 2 ca 2 2 3 cc c 4 5 a b c 2 3 c c 4 5 c 6 5 4 故此三角形三边之比为 6 5 4 三 解答题三 解答题 17 b 43 c 8 C 90 B 60 或b 43 c 4 C 30 B 120 解 由正弦定理知 A a sin B b sin 30sin 4 Bsin 34 sin B 2 3 b 43 B 60 或 B 120 C 90 或 C 30 c 8 或c 4 18 分析 设山对于地平面的倾斜角 EAD 这样可在 ABC中利用正弦定理求出 BC 再在 BCD中 利用正弦定理得到关于 的三角函数等式 进而解出 角 解 在 ABC中 BAC 15 AB 100 米 ACB 45 15 30 根据正弦定理有 30sin 100 15sin BC BC 30sin 15sin100 又在 BCD中 CD 50 BC 30sin 15sin100 CBD 45 CDB 90 根据正弦定理有 45sin 50 90sin 30sin 15sin100 第 18 题 用心 爱心 专心11 解得 cos 3 1 42 94 山对于地平面的倾斜角约为 42 94 19 解 由已知及正弦定理可得 sin Bcos C 2sin Acos B cos Bsin C 2sin Acos B sin Bcos C cos Bsin C sin B C 又在三角形ABC中 sin B C sin A 0 2sin Acos B sin A 即 cos B 2 1 B 3 b2 7 a2 c2 2accos B 7 a2 c2 ac 又 a c 2 16 a2 c2 2ac ac 3 S ABC 2 1 acsin B 即S ABC 2 1 3 2 3 4 33 20 分析 由于所证明的是三角