高中数学第三章3.2.3直线与平面的夹角课后导练新人教选修.docx

3.2.3 直线与平面的夹角课后导练基础达标1.直线a与平面内任一条线所成最小的角为，a是平面的斜线，b是平面内与a异面的任意直线，则a与b所成的角（ ）A.最小值为,最大值为- B.最小值为,最大值为C.最小值为,无最大值 D.无最小值，最大值为答案：B2.如右图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1C1与平面ABC1D1所成的角（ ）A.30 B.60 C.45 D.90答案：A3.正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B和面BB1D1D所成的角为（ ）A.15 B.45 C.60 D.30答案：D4.如左下图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，求BE与平面B1BD所成角的余弦值_. 答案：5.如右上图，S是ABC所在平面外一点，SA，SB，SC两两垂直，判断ABC的形状_.答案：锐角三角形6.四面体S-ABC中，SA、SB、SC两两垂直，SBA=45，SBC=60，M为AB的中点，求：（1）BC与平面SAB所成的角；（2）SC与平面ABC所成角的正弦值.解析：(1)如右图,SA、SB、SC两两垂直,SC面SAB.CBS是BC与平面SAB所成的角.CBS=60,BC与平面SAB所成的角为60.(2)连结MC,在RtASB中,SBA=45,则SMAB.又SC面SAB,SCAB,AB面SMC.过S作SOMC于点O,则SOAB,SO面ABC, SCM是SC与平面ABC所成的角.设SB=a,则SC=a,SM=a,在RtCSM中,CM=a,sinSCM=.7.在RtABC中，A=90，AB=3，AC=4，PA是平面ABC的斜线，PAB=PAC=60，（1）求PA与平面ABC所成角的大小；（2）PA的长等于多少时，点P在平面ABC上的射影O恰好在BC边上？解：(1)如右图,过P作PO平面ABC于O,则PAO为PA与平面ABC所成的角,易证AO为BAC的平分线,则OAB=45.由公式cos=cos1cos2可得cosPAO=,PAO=45.PA与平面ABC所成的角为45.(2)若OBC,在AOB中,BO=,sinB=,由正弦定理可求得AO=.PA=f,即PA=时,点P在平面ABC上的射影O恰好在BC边上.8.如右图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,P是侧棱CC1上的一点,CP=m.试确定m,使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3.解：建立如右图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1)所以=(-1,1,0), =(0,0,1),=(-1,1,m),=(-1,1,0),又由=0,=0知, 为平面BB1D1D的一个法向量.设AP与平面BB1D1D所成的角为,则sin=cos(-)=依题意有,解得m=,故当m=时，直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为32.9.如右图，已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，E为BC的中点，F为直线CC1上的动点，设C1F=FC.当=3时，求EF与平面ABCD所成的角.解析：如右图建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),E(1,2,0).当=3时,F(0,2,1),=(-1,0,1).设平面ABCD的法向量为n,则n=(0,0,1).设与n的夹角为,则cos=EF与平面ABCD所成的角为45.综合运用10.如下图所示，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1=8，BD1与侧面BC1所成的角为30.求：BD1和底面ABCD所成的角.解：正四棱柱AC1中,CC1底面A1C1,CC1D1C1,底面是正方形,D1C1B1C1,D1C1侧面BC1,D1C1BC1,D1BC1就是BD1与侧面BC1所成的角.D1BC1=30,D1B=8,D1C1=4,B1D1=BD.D1D底面AC,D1BD就是BD1与底面AC所成的角.D1BD中,cosD1BD=.D1BD=45,即BD1和底面ABCD所成的角为45.11.正三棱柱ABC-A1B1C1底面边长为a，侧棱长为a.(1)建立适当的坐标系，并写出点A、B、A1、C1的坐标；（2）求AC1与侧面ABB1A1所成的角.解：(1)以点A为坐标原点O,以AB所在直线为Oy轴,以AA1所在直线为Oz轴,以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为Ox轴,建立空间直角坐标系,由已知,得A(0,0,0)、B(0,a,0)、A1(0,0,2a)、C1(-a,a).(2)坐标系如右图，取A1B1的中点M，于是有M（0，,a）,连结AM、MC1,有=(a,0,0)且=(0,a,0),=(0,0,a).由于=0,=0,MC1面ABB1A1.AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角.=(a,a),=(0,a),=0+2a2=a2.而|=a,|=a.cos,=.与所成的角,即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30.12.如下图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C平面C1BD.证明：因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以A1A平面ABCD.连结AC,则AC是A1C在平面ABCD内的射影.又BDAC,故由三垂线定理知BDA1C.又A1B1平面B1BCC1,连结B1C,则B1C是A1C在平面B1BCC1内的射影.因为BC1B1C,所以由三垂线定理知BC1A1C.因为BDBC1=B，所以A1C平面C1BD.拓展研究13.如下图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点.（1）证明PA平面EDB；（2）求EB与底面ABCD所成的角为正切值.分析：如下图所示建立空间直角坐标系,D是坐标原点,设DC=a.(1)证明:连结AC,AC交BD于G,连结EG.依题意得A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,).因为底面ABCD是正方形,所以G是此正方形的中心.故点G的坐标为(,0).所以=(a,0,-a).=(,0,-).所以=2.这表明PAEG.而EG平面EDB且PA平面EDB，因为PA平面DEB.(2)解:依题意得B(a,a,0),C(0,a,0).取DC的中点F(0, ,0),连结EF,B