空间几何体的表面积和体积

1 空间几何体的表面积和体积 能够熟练运用柱 锥 台 球的表面积和体积公式计算一些组合体的表面积和体积 用联系 类比的方法解决一些有关空间几体的实际问题 一 展开图定义 一些简单的多面体可以沿着多面体的某些棱将它剪开而成平面图形 这个平面图形叫做 该多面体的平面展开图 二 特殊几何体的定义 1 直棱柱 的棱柱叫做直棱柱 2 正棱柱 的直棱柱叫做正棱柱 3 正棱锥 底面是 并且顶点在底面的 是底面的中心的棱锥叫正棱 锥 正棱锥的性质 1 正棱锥的侧棱相等 2 侧面是全等的等腰三角形 3 侧棱 高 底面构成直角三角形 4 正棱台 正棱锥被平行于底面的平面所截 截面和底面之间的部分角正棱台 正棱台的性质 1 正棱棱台的侧棱长相等 2 侧面是全等的等腰三角形 3 高 侧棱 上 下底面的边心距构成直角梯形 三 侧面积与表面积公式 1 正棱柱 正棱锥 正棱台的侧面积与表面积公式 1 设直棱柱高为 h 底面多边形的周长为 c 则直棱柱侧面积计算公式 S直棱柱侧 ch 即直棱柱的侧面积等于它的 和 的乘积 2 设正 n 棱锥的底面边长为 a 底面周长为 c 斜高为 h 则正 n 棱锥的侧面积的计算 公式 S正棱锥侧 即正棱锥的侧面积等于它的 和 乘积的一半 1 2 1 2 3 设正 n 棱台下底面边长为 a 周长为 c 上底面边长为 a 周长为 c 斜高为 h 则正 n 棱台的侧面积公式 S 正棱台侧 1 2 1 2 4 棱柱 棱锥 棱台的表面积 或全面积 等于底面积与侧面积的和 即 S 表 2 2 圆柱 圆锥 圆台的侧面积与表面积公式 1 S 圆柱侧 r 为底面半径 l 为母线长 2 rl 2 S 圆锥侧 r 为底面圆半径 l 为母线长 rl 3 S 圆台侧 R r 分别为上 下底面半径 l 为母线长 r l 4 圆柱 圆锥 圆台的表面积等于它的侧面积与底面积的和 即 S 表 S 底 S 侧 5 若圆锥底面的半径为 侧面母线长为 侧面展开图扇形的圆心角为则 rl 360 r l A 3 由球的半径 R 计算球表面积的公式 S 球 即球面面积等于它的大圆面积的 4 倍 4 2 四 体积 1 长方体的体积 长方体的长 宽和高分别为 a b c 长方体的体积 V长方体 2 棱柱和圆柱的体积 1 柱体 棱柱 圆柱 的体积等于它的底面积 S 和高 h 的积 即 V柱体 2 底面半径是 r 高是 h 的圆柱体的体积计算公式是 V圆柱 3 棱锥和圆锥的体积 1 如果一个锥体 棱锥 圆锥 的底面积为 S 高是 h 那么它的体积 V锥体 h 2 如果圆锥的底面半径是 r 高是 h 则它的体积是 V圆锥 4 棱台和圆台的体积 1 如果台体的上 下底面面积分别为 S S 高是 h 则它的体积是 V台体 2 如果圆台的上 下底面半径分别是 r r 高是 h 则它的体积是 V圆台 5 球的体积 如果球的半径为 R 那么球的体积 V球 6 祖暅原理 幂势既同 则积不容异 这就是说 夹在两个平行平面间的两个几何体 被平行于这两个平面的任意平面所截 如果截得的两个截面的面积总相等 那么这两个几何体的体积相等 应用祖暅原理可说明 等 等 的两个柱体或锥体的体积相等 7 球面距离 在球面上 两点之间的最短连线的长度 就是经过这两点的 在这两点 间的一段劣弧的长度 我们把这个弧长叫做两点的球面距离 类型一类型一 表面积表面积 例 1 2014 江西九江三中高一月考 已知正四棱台的上 下底面边长分别为 3 和 6 其侧面 积等于两底面面积之和 则该正四棱台的高是 A 2 B 5 2 C 3 D 7 2 3 练习 1 某四棱锥的三视图如图所示 该四棱锥的表面积是 A 32 B 16 16 2 C 48 D 16 32 2 练习 2 若一个圆锥的轴截面是等边三角形 其面积为 则这个圆锥的全面积是 3 A 3 B 3 3 C 6 D 9 练习 3 3 2014 甘肃天水一中高一期末测试 球的表面积与它的内接正方体的表面积之比 是 A B 3 4 C D 2 例 2 2014 陕西宝鸡园丁中学高一期末测试 用长为 4 宽为 2 的矩形做侧面围成一个圆 柱 此圆柱的轴截面面积为 A 8 B 8 C D 4 2 练习 1 2014 浙江理 3 某几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则此几何体的表面积 是 A 90cm2 B 129cm2 C 132cm2 D 138cm2 练习 2 2014 河南洛阳高一期末测试 已知圆锥的表面积为 12 cm2 且它的侧面展开图是 一个半圆 则圆锥的底面半径为 A cm B 2cm 3 C 2cm D 4cm 3 练习 3 2014 浙江理 3 某几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则此几何体的表面积 是 A 90cm2 B 129cm2 C 132cm2 D 138cm2 练习 4 2014 陕西汉中市南郑中学高一期末测试 长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3 4 5 且它的 8 个顶点都在同一球面上 则这个球的表面积是 类型二类型二 体积体积 例 3 2014 江西九江三中高一月考 正三棱锥底面三角形的边长为 侧棱长为 2 则其 3 4 体积为 A B 1 4 1 2 C D 3 4 9 4 练习 1 2014 陕西宝鸡园丁中学高一期末测试 已知正四棱锥 P ABCD 的底面边长为 6 侧棱长为5 求四棱锥 P ABCD 的体 积和侧面积 练习 2 2014 四川文 4 某三棱锥的侧视图 俯视图如图所示 则该三棱锥的体积是 A 3 B 2 C 3 D 1 例 4 将长为 a 宽为 b a b 的长方形以 a 为轴旋转一周 所得柱体的体积为 V1 以 b 为 轴旋转一周 所得柱体的体积为 V2 则有 A V1 V2 B V1 V2 C V1 V2 D V1与 V2的大小关系不确定 练习 1 如图 某几何体的主视图是平行四边形 左视图和俯视图都 是矩形 则该几何体的体积为 A 6 3 B 9 3 C 12 3 D 18 3 练习 2 一个圆柱的高缩小为原来的 底面半径扩大为原来的 n 倍 1 n 则所得的圆柱的体积为原来的 例 5 在球面上有四个点 P A B C 如果 PA PB PC 两两垂直且 PA PB PC a 求这个球的体积 练习 1 体积为 8 的一个正方体 其全面积与球 O 的表面积相等 则球 O 的体积等于 练习 2 平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1 球心 O 到平面 的距离为 则此球的 2 体积为 A B 4 63 C 4 D 6 63 1 将一个棱长为 a 的正方体 切成 27 个全等的小正方体 则表面积增加了 A 6a2 B 12a2 C 18a2 D 24a2 2 正方体的八个顶点中有四个恰为正四面体的顶点 则正方体的全面积与正四面体的全面 积之比为 A B 23 5 C D 6 2 2 3 3 3 正四棱柱的体对角线长为 6 侧面对角线长为 3 则它的侧面积是 3 4 若一棱锥的三视图如图所示 该三棱锥的体积为示 是边长为 3 3 2 的三角形 则该 圆锥的侧面积为 5 2014 沈阳高一检测 已知某几何体的俯视图是如图所示矩形 主视图是一个底边长为 8 高为 4 的等腰三角形 左视图是一个底边长为 6 高为 4 的等腰 三角形 1 判断该几何体形状 2 求该几何体的侧面积 S 6 若长方体的三个面的面积分别为 则长方体的体积为 其对角线长为 2 3 6 答案 66 7 若圆锥的侧面展开图是半径为 的半圆 则这个圆锥的体积是 1 8 正四棱台的斜高与上 下底面边长之比为 体积为 则棱台的高为 5 2 8 3 14cm 基础巩固基础巩固 1 如果圆锥底面半径为 轴截面为等腰直角三角形 那么圆锥的全面积为 r A B C D 2 2 r 2 21r 2 1 21 3 r 2 2 3 r 2 一个圆台的母线长等于上 下底面半径和的一半 且侧面积是 则母线长为 32 A B C D 22 248 3 轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是 A B C D 1 22 31 31 4 4 2014 山东威海市高一期末测试 某三棱锥的三视图如图所示 该三棱锥的体积为 6 A 2 B 3 C 4 D 6 5 已知圆锥的母线长为 8 底面周长为 6 则它的体积是 A 9 B 9 5555 C 3 D 3 5555 6 2014 重庆文 7 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 12 B 18 C 24 D 30 7 将半径为 R 的半圆卷成一个圆锥 这个圆锥的体积为 8 已知 ABCD A1B1C1D1是棱长为 a 的正方体 E F 分别为棱 AA1与 CC1的中点 求四 棱锥 A1 EBFD1的体积 能力提升能力提升 9 正过球面上三点 A B C 的截面到球心的距离是球半径 R 的一半 且 AB 6 BC 8 AC 10 则球的表面积是 A 100 B 300 C D 100 3 400 3 10 一圆锥的底面半径为 4 用平行于底面的截面截去底面半径为 1 的小圆锥后得到的圆 台是原来圆锥的体积的 A B 63 64 1 16 C D 1 4 1 64 11 2014 广东揭阳一中高一阶段测试 如图 一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长 为 1 的正方形 俯视图是一个圆 那么这个几何体的全面积