高考导数题型总结.doc

高考导数题型总结篇一:强大 导数知识点各种题型归纳方法总结 导数的基础知识 一导数的定义： 1.(1).函数y=f(x)在x=x0处的导数:f(x0)=y|x=x=lim f(x0+Dx)-f(x0) Dx Dx0 (2).函数y=f(x)的导数:f(x)=y=lim Dx0 f(x+Dx)-f(x) Dx DyDx 2.利用定义求导数的步骤： 求函数的增量：Dy=f(x0+Dx)-f(x0)；求平均变化率：取极限得导数：f(x0)=lim（下面内容必记） DyDx = f(x0+Dx)-f(x0) Dx ； Dx0 二、导数的运算： （1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式： C=0(C为常数)；(x)=nx n n-1 ；( 1x n m )=(x x -n )=- nx x -n-1 ；=(x)= x n mn m x n -1 (sinx)=cosx； (cosx)=-sinx (e)=e (a)=alna(a0,且a1)； (lnx)= 1 xxlna 法则1：f(x)g(x)=f(x)g(x)；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). x ； (logax)= 1 (a0,且a1) 法则2：f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号) 法则3： f(x)g(x) = f(x)g(x)-f(x)g(x) g(x) 2 (g(x)0) (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号) （2）复合函数y=f(g(x)的导数求法： 换元，令u=g(x)，则y=f(u)分别求导再相乘y=g(x)f(u)回代u=g(x) 题型一、导数定义的理解 题型二：导数运算 1、已知f (x)= x x+2x-sinp，则f 2 (0)= 2、若f(x)= 10 esinx ，则f 13 (x)=C.163 D.193 3.f(x)=ax3+3x2+2 ，f(-1)=4，则a=（ ） 33 三导数的物理意义 A. B. 1.求瞬时速度：物体在时刻t0时的瞬时速度V0就是物体运动规律S=f(t)在t=t0 时的导数f(t0)， 即有V0=f(t0)。 / 2.Vs(t) 表示即时速度。a=v(t) 表示加速度。 四导数的几何意义： 函数f(x)在x0处导数的几何意义，曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处切线的斜率是k=f(x0)。于是相应的切线方程是：y-y0=f(x0)(x-x0)。 题型三用导数求曲线的切线 注意两种情况： （1）曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处切线：性质：k切线=f(x0)。相应的切线方程是：y-y0=f(x0)(x-x0) （2）曲线y=f(x)过点P(x0,y0)处切线：先设切点，切点为Q(a,b) ,则斜率k=f(a)，切点Q(a,b) 在曲线y=f(x)上，切点Q(a,b)在切线y-y0=f(a)(x-x0)上，切点Q(a,b)坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=f(a)，确定切线方程。 例题在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程； 解析：（1）k=y|x=x=3x02+6x0+6=3(x0+1)2+3当x0=-1时，k有最小值3， 此时P的坐标为（-1，-14）故所求切线的方程为3x-y-11=0 五函数的单调性：设函数y=f(x)在某个区间内可导， （1）f(x)0f(x)该区间内为增函数； （2）f(x)0f(x)该区间内为增函数； f(x)0，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为减区间 题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题） 思路一.（1）f(x)在该区间内单调递增f(x)0在该区间内恒成立； （2）f(x)在该区间内单调递减f(x)0在该区间内恒成立； 思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子 集。 注意：若函数f（x）在（a，c）上为减函数，在（c，b）上为增函数，则x=c两侧使函数f（x）变号，即x=c为函数的一个极值点，所以f(c)=0 例题若函数f(x)= lnxx ，若a=f(3),b=f(4),c=f(5)则( ) A. a b c B. c b a C. c a b D. b a c 六、函数的极值与其导数的关系： 1.极值的定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，且若对x0附近的所有的点都有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数的一个极大（或小）值，x0为极大（或极小）值点。 可导数f(x)在极值点（即f(x0)=0），但函数f(x)在某点x0处的导数为0，并不一定函数f(x)在x0处的导数为0 3 该处取得极值（如f(x)=x在x0=0处的导数为0，但f(x)没有极值）。 求极值的步骤： 第一步：求导数f(x)； 第二步：求方程f(x)=0的所有实根； 第三步：列表考察在每个根x0附近，从左到右，导数f(x)的符号如何变化， 若f(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值； 若f(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值； 若f(x)的符号不变，则f(x0)不是极值，x0不是极值点。 2、函数的最值： 最值的定义：若函数在定义域D内存x0，使得对任意的xD，都有f(x)f(x0)，（或f(x)f(x0)）则称f(x0)为函数的最大（小）值，记作ymax=f(x0)（或ymin=f(x0)） 如果函数y=f(x)在闭区间a,b上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间a,b上必有最大值和最小值。 求可导函数f(x)在闭区间a,b上的最值方法： 第一步；求f(x)在区间a,b内的极值； 第二步：比较f(x)的极值与f(a)、f(b)的大小： 第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。 注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值 点、不可导点、区间的端点处取得。极值最值。函数f(x)在区间a,b上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。 2函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值） 3、注意：极大值不一定比极小值大。如f(x)=x+ / / 1x 的极大值为-2，极小值为2。 注意：当x=x0时，函数有极值 f(x0)0。但是，f(x0)0不能得到当x=x0时，函数有极值； 判断极值，还需结合函数的单调性说明。 题型一、求极值与最值 题型二、导数的极值与最值的应用 题型四、导数图象与原函数图象关系 导函数 原函数 f(x)的符号 f(x)单调性 f(x)与x轴的交点且交点两侧异号 f(x)极值 f(x)的增减性 f(x)的每一点的切线斜率的变化趋势 （f(x)的图象的增减幅度） f(x)的增 f(x)的每一点的切线斜率增大（f(x)的图象的变化幅度快） f(x)减 f(x)的每一点的切线斜率减小 （f(x)的图象的变化幅度慢） 例1. 已知f(x)=e-ax-1. （1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围； （3）是否存在a,使f(x)在（-，0上单调递减，在0，+）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 解： f(x) x =e-a.（1）若a0， x x x f(x) =e-a0恒成立，即f(x)在R上递增. x 若a0,e-a0,ea,xlna.f(x)的单调递增区间为(lna,+). （2）f（x）在R内单调递增， x x f(x) 0在R上恒成立. x x e-a0，即ae在R上恒成立.a（e）min，又e0，a0. （3） 由题意知，x=0为f(x)的极小值点. 3 2 f(0) =0,即e-a=0,a=1. 23 例2. 已知函数f(x)=x+ax+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=时，y=f(x）有极值.（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在-3，1上的最大值和最小值. 解 （1）由f(x)=x+ax+bx+c,得 3 2 f(x) =3x+2ax+b, 2 当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0 当x=时，y=f(x)有极值，则 32 2f3 =0,可得4a+3b+4=0 由解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,f(1)=4.1+a+b+c=4.c=5. （2）由（1）可得f(x)=x+2x-4x+5, 3 2 f(x) =3x+4x-4,令 2 f