第一讲--计算问题

第一讲 计算问题 例1 例2 例3 例4 例5中所使用的计算方法都是四则运算的定律与性质 比如加法与乘法的交换律 结合律 乘法的分配律等等 这类题目相对比较简单 一般在题目中可以很直观地看出需要使用的方法 例6 例7 例8都是有关分数的计算问题 主要是使用约分法 对于这类问 题 需要灵活地将分子 分母转化变形 找出其公约数 分子和分母同时除以此 公约数 从而简化计算 例 9 例 10 例 11 例 12 例 13 例 14 是需要使用拆项法的问题 对于 这类问题 可以通过灵活运用分数拆分的方法使复杂的分数求和计算变得非常简 便 常用的拆项形式有 公式 公式 1 注 1 1 nnn 1 1 1 n 2 11 2 1 2 1 nnnn 2 mnn m n 1 nm 1 3 2 1 1 nnn2 1 1 1 nn 2 1 1 nn 4 b a baabba 1111 练习 练习 1 2003 3002 3002 2003 2003 3002 2 0002 2 156 23 157 3 5 3 315 6 6 3 18 5 85 4 4 1 4 2004 1 3 1 2 1 2005 1 3 1 2 1 1 2005 1 3 1 2 1 2004 1 3 1 2 1 1 5 686 99 686 7 686 5 686 3 343 98 343 6 343 4 343 2 6 7 571571571571 714714714714 1512963 54321 8 21212121 13131313 212121 50505 2121 202 21 1 9 4 3695 3 5 3694 32003 10 90 1 72 1 56 1 42 1 30 1 20 1 12 1 6 1 2 1 11 483 1 399 1 63 1 35 1 15 1 3 1 12 20 19 20 18 19 18 20 3 5 3 4 3 20 2 5 2 4 2 3 2 20 1 4 1 3 1 2 1 13 2 1 6 5 12 11 20 19 90 89 110 109 14 1 21 1 321 1 100 321 1 15 4321 1 5432 1 20191817 1 整数裂项 1 2 2 3 3 4 n 1 n 1 1 1 3 nnn 16 计算 17 18 18 19 19 20 29 30 的值 二 繁分数计算 二 繁分数计算 1 繁分数的运算必须注意多级分数的处理 如下所示 甚至可以简单地说 先算短分数线的 后算长分数线的 找到最长的分 数线 将其上视为分子 其下视为分母 2 一般情况下进行分数的乘 除运算使用真分数或假分数 而不使用带分 数 所以需将带分数化为假分数 3 某些时候将分数线视为除号 可使繁分数的运算更加直观 例 1 计算 例 2 计算 711 4 7 1826 2 135 8 133 3416 1 1 1 1 1 1 1987 例 3 计算 已知 则 x 等于多少 18 1 11 1 1 2 1 x 4 例 4 求这 10 个数的和 94 4 43 443 44 43 个 例 5 如图 每一线段的端点上两数之和算作线段的长度 那么图中 6 条线段的 长度之和是多少 例 6 从和式中必须去掉哪两个分数 才能使得余下的 111111 24681012 分数之和等于 1 例 7 计算 111 11 1 2 23 310 10 例 8 已知 问 a 的整数部 11 66 12 67 13 68 14 69 15 70 a 100 11 65 12 66 13 67 14 68 15 69 分是多少 例 9 试求的和 11 11 21 11 31 11 43 11 4 1 2005 2005 A A A A A A 三 定义新运算三 定义新运算 新的运算符号 等 解答问题的关键 按新定义的式子代入数值 把定义的新运算转化成我们熟悉的 四则运算 例 1 规定 a b 3a b 其中 a b 是自然数 求 10 6 的值 6 10 的 2 1 值 例 2 请你发明一种新运算 使 9 6 70 并用 a b 表示其法则 再用你创造 的法则分别计算 10 15 1 1 2 2 的值 例 3 P Q 表示两个数 P Q 求 3 6 9 的值是多少 3 QP 例 4 P Q 5P 3Q 当 x 9 37 时 x 的值是多少 5 1 3 1 例 5 规定 a b a a 1 a 2 a b 1 其中 a b 表示自然数 求 1 100 的值 已知 x 10 75 求 x 例 6 规定 x y 且 5 6 6 5 求 3 2 1 10 的值是多少 xy yAx 例 7 对于任意的整数 x y 定义新运算 x y 其中 m 是一个 ymx xy 2 6 确定的整数 已知 1 2 2 求 2 9 的值 例 8 用 A B 表示整数 且 A B A B 1 A B A B 1 求 4 6 8 3 5 的值 例 9 表示一种运算符号 它的含义是 x y xy 1 1 1 Ayx 已知 2 1 求 1998 1999 的值 3 2 例 10 对于整数 a b 规定运算 为 a b a 1 1 b 若 a a a 1 a 1 a a 成立 则 a 第一讲 计算问题的作业 作业 一 1 5 5 4 66 6 5 77 7 6 88 8 7 9 2 5 2 145 0 4 3 9 0 4 1 69 0 3 24 11 1 35 9 1 7 2 11 5 25 8 168 1 32 4 6 1 2 4 9 5 7 5 9 2 7 7 2 9 5 119891988 198719891988 6 19 1 1917 2 1715 2 1513 2 1311 2 7 1816 1 1614 1 1412 1 1210 1 8 987 1 876 1 765 1 9 9 1 1 5 1 1 3 1 1 10 1 1 4 1 1 2 1 1 10 90 1 17 72 1 15 56 1 13 42 1 11 30 1 9 20 1 7 12 1 5 6 1 31 11 9 1 63 2 35 2 15 2 3 2 12 19901989 1985 19891988 1985 19881987 1985 19871986 1985 19861985 1985 13 565 564 564564 14 1 6 5 12 7 20 9 30 11 42 13 56 15 72 17 90 19 作业作业 二 分数比大小 二 分数比大小 方法 1 通分母 分子大的分数就大 2 通分子 分母大的分数就小 3 取倒数 分数大的反而小 4 当分子小于分母时 分子 分母同时加一个数 所得分数比原分数大 分子 分母同时减一个数 所得分数比原分数小 当分子大于分母时 正好相反 1 2 3 354 273 354 237 与 754 523 745 523 与 137 68 113 57 与 4 5 6 13 3 31 7 与 3281 3279 4323 4321 与 35 6 63 11 与 7 8 100 100 100 100 33 333 22 222 55533 333 55522 222 与 432145321 432154321 45321 54321 与 9 把从大到小排列 10 把用 符号连接起 6 5 7 6 9 8 29 6 13 2 57 10 23 2 来 作业 三 作业 三 1 定义两种运算 和 a b a b 1 a b ab 1 求 4 6 8 3 5 的 值 2 对两个数 a b a b 表示 ab 1 求 2 49 497 4 的值 3 规定 x y xA 而且 1 2 2 3 求 3 4 的值 xy yx 4 x y 求 10 10 10 的值 yx xy 5