中考数学培优满分专题突破专题2图形变式与拓展

1 专题专题 2 2 图形变式与拓展图形变式与拓展 常考类型分析常考类型分析 专题类型突破专题类型突破 类型类型 1 1 关于三角形的变式拓展问题关于三角形的变式拓展问题 例 1 在图 1 至图 3 中 直线 mn 与线段 ab 相交于点 o 1 2 45 1 如图 1 若 ao ob 请写出 ao 与 bd 的数量关系和位置关系 2 将图 1 中的 mn 绕点 o 顺时针旋转得到图 2 其中 ao ob 求证 ac bd ac bd 3 将图 2 中的 ob 拉长为 ao 的 k 倍得到图 3 求 思路分析思路分析 通过观察可以猜想 ao 与 bd 相等且互相垂直 在后面的问题中 通过添加 bd 的垂线 使问题转化为全等三角形和相似三角形问题加以解决 解 1 ao bd ao bd 2 证明 如图 1 过点 b 作 be ca 交 do 于点 e 延长 ac 交 db 的延长线于点 f aco beo 又 ao ob aoc boe aoc boe ac be 又 1 45 aco beo 135 deb 45 2 45 be bd ebd 90 ac bd be ac afd 90 ac bd 2 3 如图 2 过点 b 作 be ca 交 do 于点 e beo aco 又 boe aoc boe aoc 又 ob kao 由 2 的方法易得 be bd 满分技法满分技法 图形拓展类问题的解答往往需要借助几何直观 转化 类比的思想方法 在原 图形中具备的位置和数量关系 在图形变化后这种关系是否存在或又存在着怎样的新的关 系 可通过类比进行推理 验证 所用方法和第 1 问所用方法相似 可借鉴原结论方法 并进行拓展 只要沿着这样的思路进行即可解决 满分变式必练满分变式必练 1 已知 abc 中 ab ac bc 6 点 p 从点 b 出发沿射线 ba 移动 同时点 q 从点 c 出发沿 线段 ac 的延长线移动 点 p q 移动的速度相同 pq 与直线 bc 相交于点 d 1 如图 1 过点 p 作 pf aq 交 bc 于点 f 求证 pdf qdc 2 如图 2 当点 p 为 ab 的中点时 求 cd 的长 3 如图 3 过点 p 作 pe bc 于点 e 在点 p 从点 b 向点 a 移动的过程中 线段 de 的长度 是否保持不变 若保持不变 请求出 de 的长度 若改变 请说明理由 解 1 ab ac b acb pf ac pfb acb b pfb bp fp 由题意 得 bp cq fp cq pf ac dpf dqc 又 pdf qdc pdf qdc 2 如图 过点 p 作 pf ac 交 bc 于点 f 点 p 为 ab 的中点 2 如图 1 abc 中 abc 45 ah bc 于点 h 点 d 在 ah 上 且 dh ch 连接 bd 3 线段 de 的长度保持不变 如图 过点 p 作 pf ac 交 bc 于点 f 由 1 知 pb pf pe bc be ef 由 1 知 pdf qdc cd df 3 1 求证 bd ac 2 将 bhd 绕点 h 顺时针旋转 得到 ehf 点 b d 分别与点 e f 对应 连接 ae 如图 2 当点 f 落在 ac 上时 f 不与 c 重合 若 bc 4 tanc 3 求 ae 的长 如图 3 当 ehf 是由 bhd 绕点 h 逆时针旋转 30 得到时 设射线 cf 与 ae 相交于点 g 连接 gh 试探究线段 gh 与 ef 之间满足的等量关系 并说明理由 解 1 在 rt ahb 中 abc 45 ah bh 在 bhd 和 ahc 中 bhd ahc sas bd ac 2 在 rt ahc 中 tanc 3 设 ch x 则 bh ah 3x bc 4 3x x 4 x 1 ah 3 ch 1 由旋转 知 ehf bhd ahc 90 eh ah 3 fh dh ch 1 eha fhc eah c tan eah tanc 3 如图 过点 h 作 hp ae 于点 p hp 3ap ae 2ap 在 rt ahp 中 ap2 hp2 ah2 ap2 3ap 2 9 ef 2gh 理由如下 设 ah 与 cg 交于点 q 由 知 aeh 和 fhc 都为等腰三角形 又 旋转角为 30 fhd bhe 30 eha fhc 120 hcg gah 30 agq chq agq chq 90 又 gqh aqc gqh aqc 3 教材改编题 1 问题发现 如图 1 acb 和 dce 均为等边三角形 点 a d e 在同 4 一直线上 连接 be 则 aeb 的度数为 线段 ad be 之间的关系为 2 拓展探究 如图 2 acb 和 dce 均为等腰直角三角形 acb dce 90 点 a d e 在同一直线上 cm 为 dce 中 de 边上的高 连接 be 请判断 aeb 的度数 并说明理由 当 cm 5 时 ac 比 be 的长度多 6 时 求 ae 的长 解 1 60 相等 2 aeb 90 理由如下 acb 和 dce 均为等腰直角三角形 ca cb cd ce acb dce 90 acd bce 在 acd 和 bce 中 acd bce sas ad be adc bec dce 为等腰直角三角形 cde ced 45 点 a d e 在同一直线上 adc 135 bec 135 aeb bec ced 90 在等腰 rt dce 中 dce 90 cm de 则有 dm cm me 5 在 rt acm 中 am2 cm2 ac2 设 be ad x 则 ac 6 x x 5 2 52 x 6 2 解得 x 7 ae ad dm me 17 类型类型 2 2 关于四边形的变式拓展问题关于四边形的变式拓展问题 例 2 如图 1 在 abc 中 点 d e 分别是 ab ac 的中点 可以得到 de bc 且 de 不需要证明 探究 如图 2 在四边形 abcd 中 点 e f g h 分别是 ab bc cd da 的中点 判断 四边形 efgh 的形状 并加以证明 应用 1 在 探究 的条件下 四边形 abcd 中 满足什么条件时 四边形 efgh 是菱形 你添加的条件是 只添加一个条件 2 如图 3 在四边形 abcd 中 点 e f g h 分别是 ab bc cd da 的中点 对角线 ac bd 相交于点 o 若 ao oc 四边形 abcd 面积为 5 则阴影部分图形的面积和为 5 思路分析思路分析 探究探究 利用三角形的中位线定理可得出 ef hg ef gh 继而可判断出四 边形 efgh 的形状 应用 1 同 探究 的方法判断出 即可判断出 ef fg 即 可得出结论 2 先判断出 s bcd 4s cfg 同理 s abd 4s aeh 进而得出 再判断出 om on 进而得出 解 探究 四边形 efgh 是平行四边形 证明 如图 1 连接 ac e 是 ab 的中点 f 是 bc 的中点 ef ac 综上 ef hg ef hg 故四边形 efgh 是平行四边形 应用 1 添加 ac bd 理由 连接 ac bd ac bd ef fg 又 四边形 efgh 是平行四边形 efgh 是菱形 故答案为 ac bd 2 如图 2 由 探究 得四边形 efgh 是平行四边形 f g 分别是 bc cd 的中点 s bcd 4s cfg 同理 s abd 4s aeh 四边形 abcd 面积为 5 设 ac 与 fg eh 相交于点 m n ef 与 bd 相交于点 p oa oc om on 6 易知 四边形 enop fmop 是面积相等的平行四边形 满分技法满分技法 此题是四边形综合题 主要考查了三角形的中位线定理 平行四边形的判定 菱形的判定 相似三角形的判定和性质 解 探究 的关键是判断出 解 应用 的关键是判断出 是一道基础题目 满分变式必练满分变式必练 1 阅读下面材料 在数学课上 老师请同学思考如下问题 如图 1 我们把一个四边形 abcd 的四边中点 e f g h 依次连接起来得到的四边形 efgh 是平行四边形吗 小敏在思考问题时 有如下思路 连接 ac 结合小敏的思路作答 1 若只改变图 1 中四边形 abcd 的形状 如图 2 则四边形 efgh 还是平行四边形吗 说明 理由 参考小敏思考问题方法解决一下问题 2 如图 2 在 1 的条件下 若连接 ac bd 当 ac 与 bd 满足什么条件时 四边形 efgh 是菱形 写出结论并证明 当 ac 与 bd 满足什么条件时 四边形 efgh 是矩形 直接写出结论 解 1 四边形 efgh 是平行四边形 理由如下 如图 连接 ac e 是 ab 的中点 f 是 bc 的中点 ef hg ef hg 故四边形 efgh 是平行四边形 2 当 ac bd 时 四边形 efgh 为菱形 理由如下 由 1 知 四边形 efgh 是平行四边形 当 ac bd 时 fg hg efgh 是菱形 当 ac bd 时 四边形 efgh 为矩形 2 如图 1 将一张矩形纸片 abcd 沿着对角线 bd 向上折叠 顶点 c 落到点 e 处 be 交 ad 于 点 f 7 1 求证 bdf 是等腰三角形 2 如图 2 过点 d 作 dg be 交 bc 于点 g 连接 fg 交 bd 于点 o 判断四边形 bfdg 的形状 并说明理由 若 ab 6 ad 8 求 fg 的长 解 1 证明 根据折叠的性质 得 dbc dbe 又 ad bc dbc adb dbe adb df bf bdf 是等腰三角形 2 四边形 abcd 是矩形 ad bc fd bg 又 dg be 即 dg bf 四边形 bfdg 是平行四边形 df bf 四边形 bfdg 是菱形 ab 6 ad 8 假设 df bf x af ad df 8 x 在 rt abf 中 ab2 af2 bf2 即 62 8 x 2 x2 3 如图 1 在正方形 abcd 中 点 e f 分别是边 bc ab 上的点 且 ce bf 连接 de 过点 e 作 eg de 使 eg de 连接 fg fc 1 请判断 fg 与 ce 的数量关系是 位置关系是 2 如图 2 若点 e f 分别是边 cb ba 延长线上的点 其他条件不变 1 中结论是否仍 然成立 请作出判断并给予证明 3 如图 3 若点 e f 分别是边 bc ab 延长线上的点 其他条件不变 1 中结论是否仍 然成立 请直接写出你的判断 8 解 1 fg ce fg ce 2 成立 证明 如图 过点 g 作 gh cb 的延长线于点 h eg de geh dec 90 geh hge 90 dec hge 在 hge 与 ced 中 hge ced aas gh ce he cd ce bf gh bf gh bf 四边形 ghbf 是平行四边形 fg bh fg ch fg ce 四边形 abcd 是正方形 cd bc he bc he eb bc eb bh ec fg ec 3 仍然成立 类型类型 3 3 关于圆的变式拓展问题关于圆的变式拓展问题 例 3 如图 1 至图 4 中 两平行线 ab cd 间的距离均为 6 点 m 为 ab 上一定点 思考思考 如图 1 圆心为 o 的半圆形纸片在 ab cd 之间 包括 ab cd 其直径 mn 在 ab 上 mn 8 点 p 为半圆上一点 设 mop 当 度时 点 p 到 cd 的距离最小 最 小值为 探究一探究一 在图 1 的基础上 以点 m 为旋转中心 在 ab cd 之间顺时针旋转该半圆纸片 直到不能再 转动为止 如图 2 得到最大旋转角 bmo 度 此时点 n 到 cd 的距离是 探究二探究二 将图 1 中的扇形纸片 nop 按下面对 的要求剪掉 使扇形纸片 mop 绕点 m 在 ab cd 之间 顺时针旋转 1 如图 3 当 60 时 求在旋转过程中 点 p 到 cd 的最小距离 并请指出旋转角 bmo 的最大值 2 如图 4 在扇形纸片 mop 旋转过程中 要保证点 p 能落在直线 cd 上 请确定 的取值 范围 9 思路分析思路分析 在 思考 的图 1 中 当 op cd 时 点 p 到 cd 的距离最小 在 探究一 的图 2 中 半圆形纸片不能再转动时 o 与 cd 相切于点 y 在 探究二 的图 3 中 当 pm ab 时 点 p 到 cd 的距离最小 当 与 ab 相切时 旋转角 bmo 的度数最 大 图 4 中 当弦 mp 6 时 取最小值 当 与 cd 相切于点 p 时 即半径 op cd 于点 p 时 取最大值 解 思考 根据两平行线之间垂线段最短 直接得出答案 当 90 度时 点 p 到 cd 的 距离最小 mn 8 op 4 点 p 到 cd 的距离最小值为 6 4 2 故答案为 90 2 探究一 以点 m 为旋转中心 在 ab cd 之间顺时针旋转该半圆形纸片 直到不能再转 动为止 如图 1 mn 8 mo 4 oy 4 uo 2 得到最大旋转角 bmo 30 度 此时点 n 到 cd 的距离是 2 故答案为 30 2 探究二 1 由已知得 m 与 p 的距离为 4 当 mp ab 时 点 p 到 ab 的最大距离为 4 从而点 p 到 cd 的最小距离为 6 4 2 当扇形 mop 在 ab cd 之间旋转到不能再转时 与 ab 相切 此时旋转角最大 bmo 的最大值 为 90 2 如图 2 由探究一可知 点 p 是 与 cd 的切点时 达到最大 即 op cd 此时延长 po 交 ab 于点 h 最大值为 omh ohm 30 90 120 如图 3 当点 p 在 cd 上且与 ab 距离最小时 mp cd 达到最小 连接 mp 作 oh mp 于点 h 由垂径定理 得 mh 3 在 rt moh 中 mo 4 moh 49 2 moh 98 最小为 98 的取值范围是 98 120 满分技法满分技法 在拓展变化的图形中求最值 比如最大 小 距离 角的最大 小 度数 线段的最 大 小 长度等 关键是确定相关图形的特殊位置 确定几何图形中角度的取值范围 要考 查它的最大角度和最小角度两种极端情况 另外 几何直观与生活经验的积累与训练也是 图 1 图 2 图 3 10 不容忽视的 本题中很多结论如果用纯粹的数学原理严格论证起来 是很困难的 比如 思考 中 为什么 op ab 时点 p 到 cd 的距离最小 探究一 中 怎样说明半圆形纸 片不能再转动时 o 与 cd 相切于点 p 探究二 1 中 为什么 mp ab 时点 p 到 cd 的 距离最小 为什么当 与 cd 相切于点 p 时 旋转角 bmo 的度数最大 2 中 为什么当弦 mp 6 时 取最小值 为什么当半径 op cd 于点 p 时 取最大值 对于 这些问题 在考场上是没有时间 也没有必要深究的 其结论的得出主要依靠几何直观与 生活经验 满分变式必练满分变式必练 1 如图 1 水平放置一个三角板和一个量角器 三角板的边 ab 和量角器的直径 de 在一条 直线上 acb 90 bac 30 od 3cm 开始的时候 bd 1cm 现在三角板以 2cm s 的速度向右移动 1 当点 b 与点 o 重合时 求三角板运动的时间 2 三角板继续向右运动 当 b 点和 e 点重合时 ac 与半圆相切于点 f 连接 ef 如图 2 所示 求证 ef 平分 aec 求 ef 的长 解 1 当点 b 与点 o 重合时 bo od bd 4 cm 三角板运动的时间为 2s 2 证明 如图 连接点 o 与切点 f 则 of ac ace 90 ec ac of ce ofe cef of oe ofe oef oef cef 即 ef 平分 aec 由 知 of ac afo 是直角三角形 bac 30 of od 3cm 2 如图所示 点 a 为半圆 o 直径 mn 所在直线上一点 射线 ab 垂直于 mn 垂足为 a 半圆 绕 m 点顺时针转动 转过的角度记作 设半圆 o 的半径为 r am 的长度为 m 回答下列 问题 探究 1 若 r 2 m 1 如图 1 当旋转 30 时 圆心 o 到射线 ab 的距离是 如图 2 当 时 半圆 o 与射线 ab 相切 11 2 如图 3 在 1 的条件下 为了使得半圆 o 转动 30 即能与射线 ab 相切 在保持线段 am 长度不变的条件下 调整半径 r 的大小 请你求出满足要求的 r 并说明理由 发现 3 如图 4 在 0 90 时 为了对任意旋转角都保证半圆 o 与射线 ab 能够相 切 小明探究了 cos 与 r m 两个量的关系 请你帮助他直接写出这个关系 cos 用含有 r m 的代数式表示 拓展 4 如图 5 若 r m 当半圆弧线与射线 ab 有两个交点时 的取值范围是 并求出在这个变化过程中阴影部分 弓形 面积的最大值 用 m 表示 解 1 如图 1 作 o e ab 于点 e mf o e 于点 f 则四边形 amfe 是矩形 ef am 1 在 rt mfo 中 mo f 30 mo 2 如图 2 设切点为 f 连接 o f 作 o e oa 于点 e 则四边形 o eaf 是矩形 ae o f 2 am 1 em 1 2 如图 3 设切点为 p 连接 o p 作 mq o p 则四边形 apqm 是矩形 在 rt o mq 中 o m r mo q 30 3 如图 4 设切点为 p 连接 o p 作 mq o p 则四边形 apqm 是矩形 在 rt o qm 中 o q r cos qp m o p r r cos m r 4 如图 5 当半圆与射线 ab 相切时 此时 90 之后开始出现两个交点 当 n 落 在 ab 上时 为半圆与 ab 有两个交点的最后时刻 此时 mn 2am amn 60 120 当半圆弧线与射线 ab 有两个交点时 的取值范围是 90 120 故答案为 90 120 12 当 n 落在 ab 上时 阴影部分面积最大 3 如图 1 至图 5 o 均作无滑动滚动 o1 o 2 o3 o4均表示 o 与线段 ab 或 bc 相切于端点时刻的位置 o 的周长为 c 阅读理解 1 如图 1 o 从 o1的位置出发 沿 ab 滚动到 o2的位置 当 ab c 时 o 恰好自转 1 周 2 如图 2 abc 相邻的补角是 n o 在 abc 外部沿 a b c 滚动 在点 b 处 必须 由 o1的位置旋转到 o2的位置 o 绕点 b 旋转的角 o1bo2 n o 在点 b 处自 实践应用 实践应用 1 在阅读理解的 1 中 若 ab 2c 则 o 自转 周 若 ab l 则 o 自转 周 在阅读理解的 2 中 若 abc 120 则 o 在点 b 处自转 周 若 abc 60 则 o 在点 b 处自转 周 2 如图 3 abc 90 o 从 o1的位置出发 在 abc 外部沿 a b c 滚动到 o4的位置 o 自转 周 拓展联想 拓展联想 1 如图 4 abc 的周长为 l o 从与 ab 相切于点 d 的位置出发 在 abc 外部 按顺 时针方向沿三角形滚动 又回到与 ab 相切于点 d 的位置 o 自转了多少周 请说明理由 2 如图 5 多