相似形经典题解.doc

相似形经典题解例1：假设学生座位到黑板的距离是5米，老师在黑板上写字，究竟要写多大，才能使学生望去时，同他书桌相距30厘米的课本字感觉相同（即视角相同）？ 分析看黑板上的字和看课本的字有远与近的区别，若双眼去看，有一个调整视力焦距的问题，现在考虑二者的视角相等，要视角相等，只要两三角形相似。解：量得几何课本正文字的大小为0.cmX0.35cm(高X宽)。如图，假设看垂直课本和垂直黑板上一个字的视角相等，于是有OABOAB则 = 即AB =这里 OC=5m=500cm，OC=30cm字高度AB=0.4cm，AB=500*0.4/307字宽度：AB=0.35cm，AB=500*0.35/306因此，老师的黑板字大小应为7cm*6cm（宽*高）。说明 相似三角形对应线段之比等于相似比，这一性质应用较多。例如利用影长计算大树或建筑物的高度；利用某种物质的固定长度，计算该物体与观测者的距离等等。例2 大江的一侧有甲、乙两个工厂，它们有垂直于江边的小路，长度分别为m千米及n 千米. 设两条小路相距L千米。现在要在江边建立一个抽水站，把水送到甲、乙两厂去，欲使供水管路最短，抽水站应建在哪里？ 解 如图所示，AD垂直于江边于D，BE垂直江边于E，则AD=m千米，BE=n千米，DE=L千米。延长BE至F，使EF=BE。连接AF交DE于C，则在C点建抽水站，到甲、乙两厂的供水管路AC+CB为最短。 设CE=X千米，因为RtADCRtFEC，所以CD/CE=AD/EF，即x/（l-x）=m/n，解得x=ml/（m+n）千米说明此题用其它方法远不及几何解法简单、明确。例3如图，工地上两根电灯杆相距L米，分别在高为4米、6米的 A、C处用铁丝将两杆固定，求铁丝AD与铁丝BC的交点M处离地面的高MH。 解 设 MH=x米，BHm米，DH=n米，则 Lmn 由于BMHBCD，DMHDAB，故有x/6=m/L，x/4=n/L 由此推得x=2.4米 所以交点M处离地面的高为2.4米。说明（1）答案与L无关，可任意取定L的几个不同的长度，画出图形进行验证。（2）若令AB=h1，CD=h2 则1/x1/h1 + h1/h2 ，即X=h1h2/（h1+h2） 例4 例4 一条笔直的公路L穿过草原，公路边有一卫生站A，距离公路30千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是90千米（如图）有一天，某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点B，汽车在公路上的最快速度是60千米/时，而在草地上的最快速度是30千米时问该司机应以怎样的路线行驶，所用的行车时间最短？最短时间是多少？ 分析 虽然A、B间的最短路线是线段AB，但由于草地上的车速较慢（需3小时），如果利用一段公路，即使路途长了，而时间有可能缩短（如先从公路上开到C，再从C开到B只需2.414小时），那么在何处离开公路最好呢？假设在P处离开公路，从草地开往B，行车时间最短。由于公路上速度是草地上速度的2倍，设想把公路上行驶路程变为草地上行驶路程。过A作CAE=30，过P作PFAE于F则PF=1/2AP，这样转化后，行车所需时间相当于草地行车程为（BP十PF）所需的时间，但从B点到定射线AE的最短线是垂线段BE，BE交AC于D，因此，P点应与D点重合（否则BP十PFBD十DE）。 解 过A作CAE=30，过B作射线AE的垂线段BE交AC于D，D点就是应离开公路的地点，因此，所行路线为AD十DB。 又因为BEAE、BCAC，所以DBC=DAE=30， BC=30，AB=90，则 AC=60 DC= 10 AD=60一10 BD=20 DE=30一5 所以最短行车时间为 （BD+DE）/30=（30+ 15）/30= +/2 说明 当AB2AC时，情况会有变化，请同学们自己讨论。例5 黄金矩形（宽与长之比成黄金比）是一种特殊的矩形，被古希腊人认为是最美的矩形，如图是一幢房子的正面视图，房顶是一个三角形，下面就是一个黄金矩形。如果从一个黄金矩形中取走一个正方形，（如图），那么剩下的是一个什么样的矩形？ 说明本题选自英国世纪数学教材，结论很明显，请读者自己研究。例6 例6 某出版社一位编辑在设计一本书的封面时，想把封面划分为四个矩形，其中左上角矩形与右下角矩形相似（如图），以给人一种和谐的感觉，这样的两个相似矩形怎样画出来？ 分析 在封面矩形ABCD中（如图），我们先作出一条横向分割线EF，此时要作出纵向分割线GH，使矩形AEPG相似于矩形PHCF，关健要确定两条分割线的交点P.当然利用相似比EP/PF=AE/CF=AE/EB，可以算出或画出EP来.但是在设计时，两相似矩形的大小会根据不同需要而改变，每次都计算就很麻烦，能不能找到更好的方法呢？如果能找到P点位置的规律就更好了。现在假设两个相似的矩形已经作出来了，如图连结AP、PC，则AE/CF=EP/FP(对应边成比例), AEP=CFP=90（对应角相等）， 于是 AEPCFP， 便有APE=CPF。 这样,A、P、三点共线，即P点必在对角线AC上。解 作对角线AC，在AC上根据需要取一点P，过P作EFBC，作GHAB，则矩形AEPG和矩形CFPH就是两个相似的矩形。 因为矩形AEPG和矩形CFPH的每一个内角都是直角，又由AEFC，AGCH，可得AE/CF=EP/FP=AP/CP , PG/PH=GA/HC=AP/CP ,于是AE/CF=EP/FP=PG/PH=GA/HC ,所以矩形AEPG矩形CFPH.说明 这样的封面设计还可以进一步推广：1、 1、 该编辑又想改矩形为四边形，便过对角线上一点P，尝试着画了两斜线分别与两组对边相交于E、F和G、H（如图）这样仍有四边形AEPG四边形CFPH，你想想为什麽？ 2、如图在平行四边形ABCD中，对角线AC上任一点P，作两条直线分别与两组对边相交于E、F和和G、H，这时EG与HF有何关系？图中有哪些是相似形？总之，生活或工作中的许多问题，都存在一定的数学规律，就看你是不是去留心、去思考了。例6 暑假里，小强帮母亲到鱼店去买鱼。鱼店里有一种“竹篓鱼”，个个都长得非常相似，现有大小两种不同的价钱，如图所示，鱼长10cm的每条10元；鱼长13cm的每条15元，小强不知道买哪种更好些，你们看怎么办？ 分析 这里要用到“立体相似”的知识，两个相似的立体，若相似比(对应线段长度之比)为m/n,则体积之比是m3/n3.解 设两条相似的鱼A、B的长分别为10cm和13cm，即B对于A的相似比是13/10,则体积之比就是133/103=2193/1000=2.197;而A是10元，B是15元，这样B对于A的价格比是15/10=1.5这里,论体积B是A的2.197倍，但价格B才是A的1.5倍,很显然，买日比买A更合算。说明 这虽然是小强遇到的事，但在我们的日常生活中有时也会碰到，我们已经学习过“相似形面积比”的知识，如果再有“立体相似”的知识，遇到这类问题就不会感到困难了。练习1如图，一人拿着一支刻有厘米分划的小尺，他站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分划恰好遮住电线杆，已知臂长约60厘米，求电线杆的高。 2射击瞄准时，要求枪的标尺缺口上沿中央A、准星尖B和瞄准点C在一条直线上（下图），这样才能命中目标。已知某种冲锋枪基线AB长38.5cm（下图），如果射击距离AC=100m，当准星尖在缺口内偏差BB为1mm时，弹着偏差CC是多少（BB CC）？经典题解例1：假设学生座位到黑板的距离是5米，老师在黑板上写字，究竟要写多大，才能使学生望去时，同他书桌相距30厘米的课本字感觉相同（即视角相同）？ 分析看黑板上的字和看课本的字有远与近的区别，若双眼去看，有一个调整视力焦距的问题，现在考虑二者的视角相等，要视角相等，只要两三角形相似。解：量得几何课本正文字的大小为0.cmX0.35cm(高X宽)。如图，假设看垂直课本和垂直黑板上一个字的视角相等，于是有OABOAB则 = 即AB =这里 OC=5m=500cm，OC=30cm字高度AB=0.4cm，AB=500*0.4/307字宽度：AB=0.35cm，AB=500*0.35/306因此，老师的黑板字大小应为7cm*6cm（宽*高）。说明 相似三角形对应线段之比等于相似比，这一性质应用较多。例如利用影长计算大树或建筑物的高度；利用某种物质的固定长度，计算该物体与观测者的距离等等。例2 大江的一侧有甲、乙两个工厂，它们有垂直于江边的小路，长度分别为m千米及n 千米. 设两条小路相距L千米。现在要在江边建立一个抽水站，把水送到甲、乙两厂去，欲使供水管路最短，抽水站应建在哪里？ 解 如图所示，AD垂直于江边于D，BE垂直江边于E，则AD=m千米，BE=n千米，DE=L千米。延长BE至F，使EF=BE。连接AF交DE于C，则在C点建抽水站，到甲、乙两厂的供水管路AC+CB为最短。 设CE=X千米，因为RtADCRtFEC，所以CD/CE=AD/EF，即x/（l-x）=m/n，解得x=ml/（m+n）千米说明此题用其它方法远不及几何解法简单、明确。例3如图，工地上两根电灯杆相距L米，分别在高为4米、6米的 A、C处用铁丝将两杆固定，求铁丝AD与铁丝BC的交点M处离地面的高MH。 解 设 MH=x米，BHm米，DH=n米，则 Lmn 由于BMHBCD，DMHDAB，故有x/6=m/L，x/4=n/L 由此推得x=2.4米 所以交点M处离地面的高为2.4米。说明（1）答案与L无关，可任意取定L的几个不同的长度，画出图形进行验证。（2）若令AB=h1，CD=h2 则1/x1/h1 + h1/h2 ，即X=h1h2/（h1+h2） 例5 例4 一条笔直的公路L穿过草原，公路边有一卫生站A，距离公路30千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是90千米（如图）有一天，某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点B，汽车在公路上的最快速度是60千米/时，而在草地上的最快速度是30千米时问该司机应以怎样的路线行驶，所用的行车时间最短？最短时间是多少？ 分析 虽然A、B间的最短路线是线段AB，但由于草地上的车速较慢（需3小时），如果利用一段公路，即使路途长了，而时间有可能缩短（如先从公路上开到C，再从C开到B只需2.414小时），那么在何处离开公路最好呢？假设在P处离开公路，从草地开往B，行车时间最短。由于公路上速度是草地上速度的2倍，设想把公路上行驶路程变为草地上行驶路程。过A作CAE=30，过P作PFAE于F则PF=1/2AP，这样转化后，行车所需时间相当于草地行车程为（BP十PF）所需的时间，但从B点到定射线AE的最短线是垂线段BE，BE交AC于D，因此，P点应与D点重合（否则BP十PFBD十DE）。 解 过A作CAE=30，过B作射线AE的垂线段BE交AC于D，D点就是应离开公路的地点，因此，所行路线为AD十DB。 又因为BEAE、BCAC，所以DBC=DAE=30， BC=30，AB=90，则 AC=60 DC= 10 AD=60一10 BD=20 DE=30一5 所以最短行车时间为 （BD+DE）/30=（30+ 15）/30= +/2 说明 当AB2AC时，情况会有变化，请同学们自己讨论。例5 黄金矩形（宽与长之比成黄金比）是一种特殊的矩形，被古希腊人认为是最美的矩形，如图是一幢房子的正面视图，房顶是一个三角形，下面就是一个黄金矩形。如果从一个黄金矩形中取走一个正方形，（如图），那么剩下的是一个什么样的矩形？ 说明本题选自英国世纪数学教材，结论很明显，请读者自己研究。例7 例6 某出版社一位编辑在设计一本书的封面时，想把封面划分为四个矩形，其中左上角矩形与右下角矩形相似（如图），以给人一种和谐的感觉，这样的两个相似矩形怎样画出来？ 分析 在封面矩形ABCD中（如图），我们先作出一条横向分割线EF，此时要作出纵向分割线GH，使矩形AEPG相似于矩形PHCF，关健要确定两条分割线的交点P.当然利用相似比EP/PF=AE/CF=AE/EB，可以算出或画出EP来.但是在设计时，两相似矩形的大小会根据不同需要而改变，每次都计算就很麻烦，能不能找到更好的方法呢？如果能找到P点位置的规律就更好了。现在假设两个相似的矩形已经作出来了，如图连结AP、PC，则AE/CF=EP/FP(对应边成比例), AEP=CFP=90（对应角相等）， 于是 AEPCFP， 便有APE=CPF。 这样,A、P、三点共线，即P点必在对角线AC上。解 作对角线AC，在AC上根据需要取一点P，过P作EFBC，作GHAB，则矩形AEPG和矩形CFPH就是两个相似的矩形。 因为矩形AEPG和矩形CFPH的每一个内角都是直角，又由AEFC，AGCH，可得AE/CF=EP/FP=AP/CP , PG/PH=GA/HC=AP/CP ,于是AE/CF=EP/FP=PG/PH=GA/HC ,所以矩形AEPG矩形CFPH.说明 这样的封面设计还可以进一步推广：2、 1、 该编辑又想改矩形为四边形，便过对角线上一点P，尝试着画了两斜线分别与两组对边相交于E、F和G、H（如图）这样仍有四边形AEPG四边形CFPH，你想想为什麽？ 2、如图在平行四边形ABCD中，对角线AC上任一点P，作两条直线分别与两组对边相交于E、F和和G、H，这时EG与HF有何关系？图中有哪些是相似形？总之，生活或工作中的许多问题，都存在一定的数学规律，就看你是不是去留心、去思考了。例6 暑假里，小强帮母亲到鱼店去买鱼。鱼店里有一种“竹篓鱼”，个个都长得非常相似，现有大小两种不同的价钱，如图所示，鱼长10cm的每条10元；鱼长13cm的每条15元，小强不知道买哪种更好些，你们看怎么办？ 分析 这里要用到“立体相似”的知识，两个相似的立体，若相似比(对应线段长度之比)为m/n,则体积之比是m3/n3.解 设两条相似的鱼A、B的长分别为10cm和13cm，即B对于A的相似比是13/10,则体积之比就是133/103=2193/1000=2.197;而A是10元，B是15元，这样B对于A的价格比是15/10=1.5这里,论体积B是A的2.197倍，但价格B才是A的1.5倍,很显然，买日比买A更合算。说明 这虽然是小强遇到的事，但在我们的日常生活中有时也会碰到，我们已经学习过“相似形面积比”的知识，如果再有“立体相似”的知识，遇到这类问题就不会感到困难了。练习1如图，一人拿着一支刻有厘米分划的小尺，他站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分划恰好遮住电线杆，已知臂长约60厘米，求电线杆的高。 2射击瞄准时，要求枪的标尺缺口上沿中央A、准星尖B和瞄准点C在一条直线上（下图），这样才能命中目标。已知某种冲锋枪基线AB长38.5cm（下图），如果射击距离AC=100m，当准星尖在缺口内偏差BB为1mm时，弹着偏差CC是多少（BB CC）？经典题解例1：假设学生座位到黑板的距离是5米，老师在黑板上写字，究竟要写多大，才能使学生望去时，同他书桌相距30厘米的课本字感觉相同（即视角相同）？ 分析看黑板上的字和看课本的字有远与近的区别，若双眼去看，有一个调整视力焦距的问题，现在考虑二者的视角相等，要视角相等，只要两三角形相似。解：量得几何课本正文字的大小为0.cmX0.35cm(高X宽)。如图，假设看垂直课本和垂直黑板上一个字的视角相等，于是有OABOAB则 = 即AB =这里 OC=5m=500cm，OC=30cm字高度AB=0.4cm，AB=500*0.4/307字宽度：AB=0.35cm，AB=500*0.35/306因此，老师的黑板字大小应为7cm*6cm（宽*高）。说明 相似三角形对应线段之比等于相似比，这一性质应用较多。例如利用影长计算大树或建筑物的高度；利用某种物质的固定长度，计算该物体与观测者的距离等等。例2 大江的一侧有甲、乙两个工厂，它们有垂直于江边的小路，长度分别为m千米及n 千米. 设两条小路相距L千米。现在要在江边建立一个抽水站，把水送到甲、乙两厂去，欲使供水管路最短，抽水站应建在哪里？ 解 如图所示，AD垂直于江边于D，BE垂直江边于E，则AD=m千米，BE=n千米，DE=L千米。延长BE至F，使EF=BE。连接AF交DE于C，则在C点建抽水站，到甲、乙两厂的供水管路AC+CB为最短。 设CE=X千米，因为RtADCRtFEC，所以CD/CE=AD/EF，即x/（l-x）=m/n，解得x=ml/（m+n）千米说明此题用其它方法远不及几何解法简单、明确。例3如图，工地上两根电灯杆相距L米，分别在高为4米、6米的 A、C处用铁丝将两杆固定，求铁丝AD与铁丝BC的交点M处离地面的高MH。 解 设 MH=x米，BHm米，DH=n米，则 Lmn 由于BMHBCD，DMHDAB，故有x/6=m/L，x/4=n/L 由此推得x=2.4米 所以交点M处离地面的高为2.4米。说明（1）答案与L无关，可任意取定L的几个不同的长度，画出图形进行验证。（2）若令AB=h1，CD=h2 则1/x1/h1 + h1/h2 ，即X=h1h2/（h1+h2） 例6 例4 一条笔直的公路L穿过草原，公路边有一卫生站A，距离公路30千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是90千米（如图）有一天，某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点B，汽车在公路上的最快速度是60千米/时，而在草地上的最快速度是30千米时问该司机应以怎样的路线行驶，所用的行车时间最短？最短时间是多少？ 分析 虽然A、B间的最短路线是线段AB，但由于草地上的车速较慢（需3小时），如果利用一段公路，即使路途长了，而时间有可能缩短（如先从公路上开到C，再从C开到B只需2.414小时），那么在何处离开公路最好呢？假设在P处离开公路，从草地开往B，行车时间最短。由于公路上速度是草地上速度的2倍，设想把公路上行驶路程变为草地上行驶路程。过A作CAE=30，过P作PFAE于F则PF=1/2AP，这样转化后，行车所需时间相当于草地行车程为（BP十PF）所需的时间，但从B点到定射线AE的最短线是垂线段BE，BE交AC于D，因此，P点应与D点重合（否则BP十PFBD十DE）。 解 过A作CAE=30，过B作射线AE的垂线段BE交AC于D，D点就是应离开公路的地点，因此，所行路线为AD十DB。 又因为BEAE、BCAC，所以DBC=DAE=30， BC=30，AB=90，则 AC=60 DC= 10 AD=60一10 BD=20 DE=30一5 所以最短行车时间为 （BD+DE）/30=（30+ 15）/30= +/2 说明 当AB2AC时，情况会有变化，请同学们自己讨论。例5 黄金矩形（宽与长之比成黄金比）是一种特殊的矩形，被古希腊人认为是最美的矩形，如图是一幢房子的正面视图，房顶是一个三角形，下面就是一个黄金矩形。如果从一个黄金矩形中取走一个正方形，（如图），那么剩下的是一个什么样的矩形？ 说明本题选自英国世纪数学教材，结论很明显，请读者自己研究。例8 例6 某出版社一位编辑在设计一本书的封面时，想把封面划分为四个矩形，其中左上角矩形与右下角矩形相似（如图），以给人一种和谐的感觉，这样的两个相似矩形怎样画出来？ 分析 在封面矩形ABCD中（如图），我们先作出一条横向分割线EF，此时要作出纵向分割线GH，使矩形AEPG相似于矩形PHCF，关健要确定两条分割线的交点P.当然利用相似比EP/PF=AE/CF=AE/EB，可以算出或画出EP来.但是在设计时，两相似矩形的大小会根据不同需要而改变，每次都计算就很麻烦，能不能找到更好的方法呢？如果能找到P点位置的规律就更好了。现在假设两个相似的矩形已经作出来了，如图连结AP、PC，则AE/CF=EP/FP(对应边成比例), AEP=CFP=90（对应角相等）， 于是 AEPCFP， 便有APE=CPF。 这样,A、P、三点共线，即P点必在对角线AC上。解 作对角线AC，在AC上根据需要取一点P，过P作EFBC，作GHAB，则矩形AEPG和矩形CFPH就是两个相似的矩形。 因为矩形AEPG和矩形C